Đang tải... (xem toàn văn)
2.. Giaûi phöông trình.. Chuù yù qua nghieäm keùp khoâng ñoåi daáu.1. Ví duï.. 6) Phöông trình truøng phöông..[r]
(1)ÔN TẬP ĐẦU NĂM ĐAI SỐ LỚP 12 Phương trình bậc ax+b =
Ví dụ Giải phương trình: a)2x- 3=0 b)
x
- + = c)
2
x+ - x- =
Chú ý Với a¹ ax= Û0 x=0
Giaûi
BÀI TẬP
Bài Giải phương trình
a)
2 x
- + = b)2
2
x x
ổ ửữ
ỗ + ữ= +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
c) 2
2
x- - x- +x+ = d)3 1 2
2
x- + x- - x- = x
Baøi Biện luận phương trình
(2)2 4
b ac
D =
- Neáu D <0, PTVN
Nếu D =0, PT có no keùp 1 2
2 b x x
a = = - Nếu D >0, PT có hai nghiệm phân biệt
1 2
b x
a - - D
= , 2
2 b x
a - + D =
2 ' b' ac
D = - ỗốỗỗỗổb'=b2ửữữữữứ Neỏu D <' 0, PTVN
Neáu D =' 0, PT có no kép x1 x2 b'
a = = - Nếu D >' 0, PT có hai nghiệm phân bieät
1
' '
b x
a - - D
= ,x2 b' '
a - + D =
Ví dụ Giải phương trình (giải cách tính Dvà D' được):
a) x2- 4x+ =3 0 b) x2+6x+ =9 0 c) x2+ + =x 5 0 Giaûi
Chú ý Cho phương trình bậc hai ax2+ bx + c =
i) Nếu a+b+c = x1= 1, x2 c a =
(3)-Ví dụ.a) x2- 4x+ =3 0
Ta coù a + b + c = 1+ -( )4 + = Þ3 x1= 1, 2 3
1 c x
a
= = = b) x2- 6x- 7=0
Ta coù a–b + c = 1- -( ) ( )6 + - = Þ0 x1=–1, 2 7
1 c
x
a -= - = - = Chú ý Phương trình bậc hai khuyết không lập D
i) Dạng ax2+ bx = (khuyết c ) Đặt thừa số chung
Ví dụ.Giải phương trình:
a)2x2- 3x=0 b) mx2- 2x=0 Giải
ii) Dạng ax2+ c = (khuyết b ) Chuyễn c qua bên phải
Ví dụ.Giải phương trình:
a) 2x2- 8=0 b) 3x2+ =6 0 c) x2- 2m=0 Giaûi
Nhận xét Nếu A > 0, x2=A Û x= ± A
Nếu A < 0, x2=A vơ nghiệm 3) Phương trình bậc hai hệ thức viet
Cho phương trình bậc hai ax2+ bx + c = ; đặt
1 c P x x
a
= = , S x1 x2 b a = + = -a) Phương trình bậc có hai nghiệm trái dấu Û P <0
b) Phương trình bậc có hai nghiệm dương phân biệt
0 0 P S ìï D > ïï ï Û íï >
(4)c) Phương trình bậc có hai nghiệm âm phân biệt
0 0 P S ìï D > ïï ï Û íï >
ï < ïïỵ
Ví dụ.Xác định m để phương trình (m- 2)x2+2(m- 1)x+m+ =2 0 a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm d) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải
Ví dụ Xác định m để phương trình x2- mx- 2=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
1
2 10 x x x +x =
Giaûi
Tam thức bậc hai f x( ) =ax2+bx c+
(a 0) 1) f x( ) ³ " Ỵ ¡x Û
0 a ìï £ ïí ï > ïỵ
V
2) f x( ) £ " Ỵ ¡x Û 0 a ìï £ ïí ï < ïỵ
V
3) x1< <a x2 Û af a( ) <0
4) x1<x2<a Û ( )
0
2 af S
a a ìïï
ï D > ïï
ï > íï
ïï ï < ïïỵ
5) a<x1<x2 Û ( )
0
2 af S
a a ìïï
ï D > ïï
ï > íï
(5)Ví du Cho biểu thức f x( ) =x2- 2(m+1)x+m2- m a) Xác định m để f x 0 với x
b) Xác định m để phương trình f x 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1<x2<2 Giải
BÀI TẬP
Bài Giải phương trình ( lập D'nếu được)
a) x2- 6x+ =5 0 b) x2- 7x- 8=0 c) x2+7x+12=0 d) x2- 2x- 1 0= e) - 2x2+6x=0 f) x2+ =9 0 g) - x2+10=0 h) x2- 10x+25=0
Bài Giải phương trình, m tham soá
a) 2x2- m+ =1 0 b) mx2- 3x=0 Bài Cho phương trình :x2- (2m+3)x m+ 2+2m+ =1 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (Đáp số : m = -1) b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn :
2 2 x +x = (Đáp số :m=0 ) Bài Cho phương trình f x( ) (= 3- m x) 2- 2(m- 1)x m- =0
(6)Bài Cho phương trình :x2- 6x m+ - 2=0
Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (Đáp số :2<m<11) Bài Cho phương trình :mx2+2(m+3)x+m=0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (Đáp số : m>0) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu
(Đáp số :
2
m> - Ùm¹ ) Bài Cho phương trình : f x( ) = - x2+6x+m- 2=0
a) Xác định m để f x 0 với x
b) Tìm m để phương trình cố hai nghiệm phân biệt số nằm hai nghiệm c) Xác định m để phương trình f x 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
1
3 x x
- < < .
5 Quy tắc xét dấu biểu thức Cho ( )
1
1
1
1
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a f x
b x a x bx b
-+ +×××+ +
=
+ +×××+ +
Để xét dấu biểu thức f x( ) trước tiên ta tìm nghiệm tử mẫu sau áp dụng quy tắc “ngoài trái với dấu a bn m” Chú ý qua nghiệm kép không đổi dấu.
Ví dụ.Xét dấu biểu thức f x sau giải bất phương trình f x 0 f x 0 a)f x x2 3x 4
b)f x x26x9 c)f x( ) =x3- 4x
d) ( ) ( )( )
2
2
3 2
7 12
x x x
f x
x x
- + - +
=
+ +
Giaûi
(7)BÀI TẬP
Xét dấu biểu thức sau giải bất phương trình f x 0 f x 0 a) f x( ) =x2- 3x- 4
b) f x( ) = - x2- 2x+3 c) f x( ) =x2+3x+4
d) f x( ) = - x2+2x- 4 e) f x( ) =x2- 6x+9
f) f x( ) = - 4x2+12x- 9 g) f x( ) =x2- 3x
h) f x( ) = - 2x2+6x i) f x( ) = - x2+9
j) f x( ) =2x2- 8 k) f x( ) =x2+10
l) f x( ) = - 2x2- 4 m) f x( ) =x3- 9x
n) f x( ) = - 2x3+6x o) f x( ) =3x3+6x
p) f x( ) = - 4x3- 12x
q) ( ) ( )2
2 f x
x =
- r) ( ) ( )2
3 f x
x -=
+
s) ( )
( )
2
2
2
1
x x
f x
x - -=
- t) ( )
( )( )
( )( )
2 3 4 2 2
3
x x x
f x
x x
- - - +
=
(8)6) Phương trình trùng phương Ví dụ.Giải phương trình:
a) x4- 3x2+ =2 0 b) x4 8x2 9 0
c)x4 3x2 2 0
d)x44x2 0
Giaûi
(9)(10)Tổng quát:
4 0
ax bx c (1) Đặt t x2 0
, phương trình (1) tương đương: at2bt c 0 (2)
i) (1) có bốn nghiệm (2)
ii) (1) có hai nghiệm (2)
iii) (1) vô nghiệm (2)
iv) (1) có ba nghiệm (2)
v) (1) có nghiệm (2)
BÀI TẬP
1) Giải phương trình:
a)2x4- 3x2- 5=0 b) 4x4 12x2 9 0
2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :x3- 2mx=0
3) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:x4- (2m- 1)x+m2+4m=0 Giới hạn
Quy ước:
i) chan , le , le
ii) (dương) , (âm)
(dương) , (aâm)
(Áp dụng quy tắc nhân dấu thông thường)
iii)
0 dương
; dương
; 0
aâm
; 0
âm
Chú ý
1
lim n n
n n
x a x a x a x a
= (an)
n
1
lim n n
n n
x a x a x a x a
= (an)
n
Ví dụ: a) b) c) d)
4) Tính giá trị hàm số
Ví dụ Cho hàm soá y = 3 2 7
(11)Tính f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2), f(3), f(-3), f(1
2), f(-1 2)
Giaûi
Ví dụ Cho hàm số y=x4 2x2
Tính f(0),f(1),f(-1),f(2),f(-2),f( 2),f(- 2),f( 3) Giải
4) Biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ
Biểu diễn điểm sau hệ trục tọa độ Oxy :
A(2;1), B(-3;2), C(-4;-1), D(0;-4), E(3;0), F(-2;0), G(0;2) Giaûi
(12)CÁC QUY TẮC VÀ CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1 Định nghĩa. Đạo hàm hàm số y = f(x) kí hiệu y’ hay f’(x).
o Nếu y = C (C số) thì: y’ = C’ = Ví dụ. (2004)’ = (828676)’ = o Nếu y = x thì: y’ = x’ = Hệ quả. (k.x)’ = k.(x)’ = k
2 Các quy tắc.
a) Quy tắc 1.Đạo hàm tổng tổng đạo hàm. (u + v + w)’ = u’ + v’ + w’
o Trong u, v, w hàm số theo x o Nếu C số (u C)’ = u’
o Ví dụ. (x3 2x2 + 3)’ = (x3)’ (2x2)’ + (3)’
b) Quy tắc 2. (đạo hàm tích) (u.v)’ = u’v + v’u
o Nếu C số (u.C)’ = C.u’
c) Quy tắc 3. (đạo hàm mt thng) '
u v ổ ửữ ỗ ữ ç ÷ ç ÷
çè ø =
' '
u v v u v
-
' v ổửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ =
' v v
d) Quy tắc 4. (đạo hàm hàm số hợp)
o Nếu hàm số u = (x) có đạo hàm x : u’x = ’(x)
o Nếu hàm số y = g(u) có đạo hàm u : y’u = g’(u)
Thì hàm số hợp: y = f(x) = g[(x)] có đạo hàm x : y’x = f’(x)= g’(u).’(x)
hay y’x = y’u.u’x 3.
Các công thức
Nhoùm
(13)Lũy thừa Lũy thừa
(x)’ = .x –
' x ổửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ỗố ø = x ( x)' =
2 x
(u)’ = .u – 1.u’
' u ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ỗố ứ = ' u u ( u)' = '
2 u
u
Lượng giác Lượng giác
(sinx)’ = cosx (cosx)’ = sinx
(tgx)’ = 12 cos x = + tg2x
(cotgx)’= 12 sin x = (1 + cotg2x)
(sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = u’.sinu
(tgu)’ = 2' cos
u u = u’(1 + tg2u)
(cotgu)’ = 2' sin
u u
= u’(1 + cotg2u) Hàm số mũ
Hàm số muõ (e(axx)’)’ = e= axx.lna (e
u)’ = u’eu
(au)’ = u’au.lna
Logarit Logarit
(ln x)’ =
x (loga x)’ =
ln x a
(lnu)’ = u' u (logau)’= '
ln u u a
BÀI TẬP
1) Tìm đạo hàm hàm số
a) y = x4 + x2 – b)
2 x y x + = - c)
2 2 3 x x y x - + = -2) Chứng minh đẳng thức đạo hàm:
a) Cho y = x sin x, Chứng minh rằng: xy – ( y’ – sin x ) +xy” = a) Cho hàm số y =sin3 cos3
1 sin cos
x x
x x +
- Chứng minh rằng: y’' = –y
d) Cho y = xx+- 34 Chứng minh : 2(y’)2 = (y–1)y’’
d) Cho f(x) = cos2 2 sin
x x
+ Chứng minh : f( ) '( )4 p - p =
3) Giải bất phương trình f(x) < với f(x) =
3x
3–x2+
4) Cho hàm soá f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = 1cos4
4 x
Chứng minh : f ’(x) = g’(x), xR
5) Cho hàm số y = f(x) = x3
3x2+1, có đồ thị (C)
a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ 6) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2–2x–3 qua M
1(5;3)
(14)8) Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) =x–2+
x- qua A(0;3) 9) Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) =
1 x x
-+ ñi qua H(1;1) 10) Cho (C) : y = f(x) = x4–x2.
a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) :
i) Tại điểm có hồnh độ ii) Tại điểm có tung độ
iii) Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007
iv) Biết tiếp tuyến vng góc với d2 : y = 10
24x-
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
0
6 p
4 p
3 p
2 p
Sin
2
2
3
2
Cos
2
2
1
2
Tan
3
Cot 3 1
3
Liên hệ độ radian: 00 180
rian
a a
p =
Cơng thức lượng giác cos2 x + sin2 x =1
tanx sin cos x x =
cotx cos sin x x =
tan cotx x =1
1 tan+ x 12 cos x =
2
1 cot+ x 12 sin x =
Cung đối
cos(–α ) = cos α sin(–α ) =–sin α
tan(–α ) =–tan α
cot(–α ) =–cot α
Cung buø
cos(p–α ) =–cos α
sin(p–α ) = sin α tan(p–α ) =–tan α cot(p–α ) =–cot α
Cung phuù cosổỗỗỗ2p- aửữữữữ
ỗố ứ = sin sin
p a
ổ ửữ
ỗ - ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ = cos
tanổỗỗỗp2- aửữữữữ
ỗố ứ = cot
cotổỗỗỗ2p- aửữữữữ
ỗố ứ = tan α
Hơn
cos(p+α ) =–cos α sin(p+ α ) =–sin α
tan(p+ α ) = tan α
cot(p+ α ) = cot α
Hơn 2 Tuần hồn Cơng thức cng
( )
(15)cosổỗỗỗ2p+aửữữữữ
ỗố ứ=sin
sinổỗỗỗ ửữữữữ
ỗố ứ
+ a
2 = cos
tanổỗỗỗ2p+aửữữữữ
ỗố ứ=cot
cotổỗỗỗ2p+aửữữữữ
ỗố ứ=tan
cos(α+k2p)= cosα
sin(α+k2p)= sin α
tan(α+kp) = tanα
cot(α+kp) = cotα
( )
cosa b- =cos cosa b+sin sina b
( )
sin a b+ =sin cosa b+cos sina b
( )
sina b- =sin cosa b- cos sina b
( )
tan a b+ = tan tan tan tan
a b
a b +
-( )
tan a b- = tan tan tan tan
a b
a b
-+ Nhân đôi
sin2a = 2sina cosa cos2a= cos2a - sin2a
= 2cos2a -1
= - 2sin2a
Hạ bậc
cos a = cos2
a +
2
sin a = cos2
a
-Tích thành tổng
cos cosa b =1 cos( ) cos( ) 2éêë a b+ + a b- ùúû sin sina b =1cos( ) cos( )
2éêë a b- - a b+ ùúû sin cosa b =1 sin( ) sin
2éêë a b+ + a b- ùúû
Tổng thành tích cosa+cosb =2cos cos
2
a b+ a b
-cosa- cosb= 2sin sin
2
a b+ a b
-sina+sinb=2sin cos
2
a b+ a b
-sina- sinb =2cos sin
2
a b+ a b
-Công thức nghiệm phương trình lương giác bản
o sinx = sinα é = +ê = -êxx ap ak2+pk2p ê
ë (1)
o cosx = cosα êé = +ê = - +xx aa k2kp2p ê
ë (2)