A-Định nghĩa Tứ giác nội tiếp là tứ giác sao cho tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác đó B-Các cách CM tứ giác nội tiếp Đối với tứ giác ABCD cho trước thì các mệnh đề sau là tương đương: 1/ ABCD là tứ giác nôi tiếp 2 µ µ 0 A C 180+ = 3/ABC =ABC 4/AC.BD=AB.CD+AD.BC 5/H;L;K thẳng hàng ,trông đó H;L;K là đường vuông góc hạ từ D xuống AB;BC;CA 6/ ,trong đó là giao điểm của và 7/ R .R R .R a c b d = , trong đó R ;R ;R ;R a c b d theo thứ tự là chân bán kính ĐTR ngoại tiếp các tam giác BCD;CDA;DAB;ABC 8/Tứ giác O O O O 1 2 3 4 là HCN,trong đó O O O O 1 2 3 4 ; ; ; theo thứ tự là tâm ĐTR ngoại tiếp các tam giác ABD;ABC;BCD:CDA 9/ S (p a)(p b)(p c)(p d)= − − − − trong đó a=AB;b=BC;c=CD;d=DA và a b c d p 2 + + + = 3/Mở rộng Một tứ giác nội tiếp có thể được chia nhỏ thành vô số các tứ giác nội tiếp khác. Một hình vuông (chữ nhật) có thể chia thành vô số các hình vuông, hình chữ nhật, vốn là các tứ giác nội tiếp. Một hình thang cân có thể chia nhỏ thành vô số các hình thang cân bằng (vô số) các đường thẳng song song với đáy và cắt hai cạnh bên. Một tứ giác nội tiếp bất kì cũng có thể được chia thành bốn tứ giác sau: Từ đa giác nội tiếp lớn ban đầu hãy sắp đặt đa giác sao cho cạnh kề với hai góc nhọn ở dưới. Sau đó kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh để tạo thành hai hình thang cân (1) và (2). Hình thang còn lại, (3), tuy không phải là cân nhưng là tứ giác nội tiếp. Hình (4) có các cạnh song song với tứ giác nội tiếp ban đầu nên đồng dạng và do đó cũng là tứ giác nội tiếp. Ta có thể áp dụng cách như trên đối với hình (4) để được (vô số) các tứ giác nội tiếp; cũng như phân chia các hình thang cân (1) và (2) thành vô số các hình thang cân (nội tiếp) khác. 4/Ví dụ minh họa Ví dụ 1:Cho tam giác có DTR nội tiếp tâm tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại .Các đường thẳng lần lượt cắt tại .CMR 4 điểm cùng thuộc 1 DTR Lời giải: *Nếu M thuộc tia đối của tia EF,ta có: Vậy tứ giác IFMC nội tiếp do đó *Nếu thuộc đoạn ,bằng cách làm tương tự ta cũng suy ra .Vậy ta luôn có . Tương tự ,do đó 4 điểm cùng thuộc 1 DTR Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn là đường cao xuất phát từ .Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông đồng dạng với nhau (vuông tại M;N).Gọi là trung điểm của ,CMR các điểm cùng thuộc 1 DTR Lời giải: Gọi lần lượt là trung điểm của .Do các tam giác AMB và ANC đồng dạng với nhau suy ra: ~ => (1) Do là tứ giác nội tiếp nên Mặt khác nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: Vậy 4 điểm cùng thuộc 1 DTR Và sau đây là 1 số bài tập ứng dụng: Bài 1:CMR là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi các DTR nội tiếp tam giác tiếp xúc nhau Bài 2:CMR là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp khi và chỉ khi Bài 3: Giả sử tồn tại 1 ĐTR tiếp xúc với 4 cạnh của tứ giác tại .CMR là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi Bài 4: Giả sử tồn tại 1 ĐTR có tâm trên cạnh và tiếp xúc với 3 cạnh còn lại của tứ giác Chứng minh rằng ĐK cần và đủ để nội tiếp được 1 ĐTR là: Cho hỏi tại sao tứ giác nội tiếp thì Cảm ơn! chứ ! 2 góc cùng chắn 1 cùng AD Bắt đầu từ công thức -Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì -Nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp thì do đó Cho tứ giác ; cắt ở ; cắt tại .Chứng minh iều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp là Bài 1: Cho tam giác biết . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, H là trực tâm. Tính các góc của tam giác IHC. Bài 2: Cho tứ giác lồi biết .Tính các góc giữa 2 đường chéo. Bài 3: Cho 2 góc có các cạnh cắt nhau tại . Đường phân giác 2 góc vuông góc với nhau. CM tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, trên cạnh huyền AB lấy các điểm biết CD là đường cao của tam giác ABC. CK và CM là đường phân giác tương ứng của các góc và . CMR tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCM trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Bài 5: Trong hình vuông lấy một điểm M sao cho . Tính ? Bài 6: Cho 4 điểm ở trên đường tròn, M là giao điểm của AC và BD. Qua M vẽ đường thẳng cắt đường tròn tại và , cắt đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác tại và . CMR : Bài 7: Cho tam giác cân , đáy BC vẽ chiều cao AD. Trên AD lấy điểm M và trên AC lấy điểm F sao cho . Tính Bài 8: Hai tiếp tuyến CA và CB (A và B là tiếp điểm) của đường tròn , vẽ đường tròn qua C tiếp xúc với AB tại B, cắt đường tròn tại M. CMR: AM chia BC thành 2 phần bằng nhau. Bài 9: Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại K, vẽ trung tuyến chung ngoài AD với 2 đường tròn, vẽ đường kính AB của đường tròn . Từ B vẽ trung tuyến BM với đường tròn . Chứng minh Bài 10: Xét xem ABC thuộc loại tam giác nào nếu Trong đó là 3 cạnh tam giác, là bán kính đường tròn ngoại tiếp Bài 1 cho em nhé vì nó chả có gì liên quan đến đường tròn cả Trước tiên quy ước trước 3 góc của tam giác IHC tui chỉ gọi là Bài làm: Ta có: ~ => Bài 3: Giả sử tia phân giác 2 góc và với nhau tại , tại Giả sử giao lần lượt tại và Dễ thấy cân tại nên <=> mà nên suy ra => nội tiếp Bài 10: Ta có: và Đẳng thức xảy ra <=> và ,nghĩa là tam giác này vuông cân tại Bài 2: Vẽ tại ,ta có: nên => => nên => => Bài 4: Ta có: => Chứng minh tương tự được Từ đó=>đpcm Bài 6: Đề anh sai rồi A, C,M thẳng hàng mà phải là .MAB,MCD . mới đúng. Ta làm như sau: Gọi O,K,S là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, tam giác MAB và tam giác MCD. Dễ dàng chứng minh Tứ giác OKMS là hình bình hành do đó OK=MS=SN2; KN1=KM=OS Bằng cách cộng góc, dùng góc hình bình hành, góc nội tiếp ta được góc OKN1= Góc OSN2 nên tam giác OKN1= tam giác OSN2 suy ra ON1=ON2 mà OM2=OM1 nên N1M1=M2N2 (Sorry, tôi không biết đánh CT toán học) Bài 10: Đề anh sai rồi phải là R(b+c) thì mới làm được chứ. . số bài tập ứng dụng: Bài 1:CMR là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi các DTR nội tiếp tam giác tiếp xúc nhau Bài 2:CMR là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp. -Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì -Nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp thì do đó Cho tứ giác ; cắt ở ; cắt tại .Chứng minh iều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp là Bài