Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Kỳ khảo sát chất lợng học sinh giỏi lớp năm học 2009-2010
Thi gian lm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang
Bài 1(3 điểm)
1) Chứng minh r»ng 33 125 3 125
27 27
x lµ số nguyên
2) Giải phơng trình:
2011 2010 2009 2008
x x x x 3) Cho ba sè thùc a, b, c ( a, b, c kh¸c 0) tho¶ m·n :
2010
1 1
2010
a b c a b c
Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba sè a, b, c b»ng 2010 Bµi 2(3 điểm)
1) Giải hệ phơng trình :
3
x y z
y z x
y z x
x y z
xyz
2) Tìm ba số nguyên dơng đôI khác thoả mãn : x3 y3 z3 (x y z)2
Bài 3(3 điểm)
Cho ng trịn (O) có tâm O điểm A nằm A nằm bên ngồi đờng trịn Qua A kẻ hai đờng thẳng cắt đờng tròn (O) điểm B, C D, E tơng ứng ( B nằm A C, D nằm A E) Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai F Đờng thẳng AF cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai G Hai đờng thẳng EG BC cắt điểm M Chứng minh:
1)
AM MG ME
2) 1
AM ABAC
Bµi 4(1 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a Chøng minh r»ng: sin 2
A a
bc
. _HÕt
Kỳ khảo sát chất lợng học sinh giỏi lớp năm học 2009-2010 Hớng dẫn chấm thi môn toán
( Hớng dẫn gồm có 02 trang)
Bài ý Nội dung Điểm
Họ tên thí sinh:SBD:
Chữ ký giám thị 1:
(2)Bài ( 3đ)
1 ( 1đ)
Đặt 33 125
27
a , 33 125
27
b th×
5
ab x a b
0,25 đ Khi x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = – 5x
Hay x3 + 5x – = (x -1)(x2 + x + 6) =0 0,5 ® Do x2 + x + > nªn x – = x = 1
=> x số nguyên => đpcm 0,25 đ
2 ( 1®)
Phơng trình cho tơng đơng:
1
1 1
2011 2010 2009 2008
x x x x
0,25®
1 1
( 2012)
2011 2010 2009 2008
x
0,25®
Do 1 1
2011 2010 2009 2008 nªn x + 2012 = <=>x = -2012
0,25đ Phơng trình cho có nghiệm x = -2012 0,25đ
3 ( 1®)
Với a, b, c khác 0, giả sử ba số a, b, c khác 2010, theo giả thiết ta có: 1 1
2010
a b c
hay (2010 ) 1
2010
c
ab c
0,5®
<=> 2010c +ab = <=> ( a + b + c)c + ab =
<=> (b + c)(a + c) = <=>(2010 – a)(2010 – b) = (v« lÝ)
=> điều giả sử sai => ba số 2010 0,5đ
Bài (3 đ)
1 (1,5®)
Để thức có nghĩa x, y, z phải khác dấu * Giả sử x, y, z âm xyz < => xyz khơng tồn ( vơ lí) => x, y, z số dơng
0,5®
áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số khơng âm, ta có:
6
3
x y z x y z
y z x y z x ( DÊu “=” x¶y <=>x = y = z)
0,5®
Suy
1
xyz x => x = y = z =1 0,25®
Thử lại thấy thoả mãn nêm nghiệm hệ cho x = y = z=1 0,25đ Vì vai trị x, y, z nh nên giả sử x<y<z 0,25đ
2 (1,5®)
Ra đợc bất đẳng thức:
3 3
, , ,
3
x y z x y z
x y z
0,5đ
áp dụng BĐT trªn ta cã: x + y + z nhng dấu lhông xảy
ra v, y, z đôi khác nên x + y + z
Mµ x + y + z + + = nªn x + y + z {6,7,8}
0,5đ Kết hợp với phơng trình cho tìm đợc (x,y,z)=(1,2,3)
ho¸n vị 0,25đ
Bài ( 3đ)
1 ( 1®)
1) -Ra dợc MAG đồng dạng
víi MFG (g.g)
0,5® Suy ra: (*)
2 .
MA MG
MA MG ME ME MA
0,5®
2) -Ra đợc :
(3)2
( 2®) Tõ (*) vµ (**), suy ra:MA2 = MB MC 0,25®
Hay AM2 = (AB – AM)(AC – AM)
=AB.AC – AM(AB+AC) + AM2 0,25®
=> AB AC = AM(AB + AC) 0,25®
<=> 1
AM ABAC => ®pcm
0,25®
Bµi ( ®)
Kẻ AD phân giác góc BAC, BHAD, CKAD.Ta có:
BH = sin
A
.c, CK = sin
A
.b =>BH + CK = sin
2
A
.(b + c)
0,25®
Mà theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: b + c 2 bc
=> sin
A
.(b + c) 2 bc sin
2
A
hay BH + CK 2 bc sin
2
A
(1)
0,25®
Mặt khác BD BH, CDCK => BH + CK BC = a (2) 0,25đ Từ (1) (2) => a 2 bc sin
2
A
<=> sin 2
A a
bc