Đang tải... (xem toàn văn)
+ Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút
––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh tổng bình phương ba số ngun liên tiếp khơng phải bình phương số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Hãy tính giá trị biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng:
3
3
3 5 2 6 5 2 6 ; 17 12 2 17 12 2
b
a (Khơng sử dụng máy
tính cầm tay) Câu 3: (3 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB, BC CA tam giác ABC
a.- Viết phương trình đường thẳng BC
b.- Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Câu 4: (5 điểm)
a.- Cho x > 0; y > Chứng minh x y y
x y
x ;
4
1
b.- Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Đặt p = a 2b c Chứng minh p1a p1 b p1 c a2 b2 2c
tam giác tam giác
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có độ dài cạnh BC, AC, AB a, b, c
Chứng minh rằng: aSinA b.SinB c.SinC (abc)(SinASinB SinC)
Câu 6: (4 điểm)
Gọi H chân đường vng góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD hình chữ nhật ABCD Gọi P Q trung điểm đoạn BH CD Chứng minh điểm A, P, Q D nằm đường tròn
––––––––––––––
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ
-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN
(2)Gợi ý giải:
+ Để ý n số nguyên số dư chia n2 cho 0 (1) (Thật vậy: Nếu n = 3k n2 chia hết cho 3; n = 3k n2 = 3p + nên n2 chia dư với k; p số nguyên )
+ Gọi a – 1, a, a + ba số nguyên liên tiếp Đặt m = (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 m = 3a2 + (2)
Vậy từ (1) (2) suy tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp khơng phải bình phương số ngun
Câu 2: (2 điểm) Gợi ý giải:
Từ giả thiết suy a3 = 10 + 3a; b3 = 34 + 3b Suy P = (a3 – 3a) + (b3 – 3b) + 2008 = 2052. Câu 3: (3 điểm)
Gợi ý giải:
a.- + Viết phương trình đường thẳng MP y = 32 x – 31
+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y = 32 x + b Vì N thuộc đường thẳng BC suy b = –
Vậy phương trình đường thẳng BC y = 32 x – b.-
+ Tương tự ta có PTĐT AC y = – 5x + 28 PTĐT AB y = 27 x –
+ Giải hệ
6 2 7
28 5
x y
x y
ta suy tọa độ đỉnh A A (4; 8) Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2)
+ Gọi d1 đường thẳng đia qua A song song với BC, d2 đường thẳng qua C song song với AB
Lập luận, xác định phương trình dường thẳng d1 y = (1) 16
2
x ; phương trình
của đường thẳng d2 y = 72 x – 23 (2)
Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta có nghiệm hệ (x = 10; y = 12) tọa độ giao điểm d1 d2 Vậy D(10; 12)
Câu 4: (5 điểm) Gợi ý giải:
a.- Vì x > 0; y > nên 1x 1y x 4y (x – y)2
Vậy x > 0; y > x y y
x y
x ;
4
1
Dấu “=” xảy x = y
b.- Từ giả thiết suy b 2c a a
p
> ;
1 ;
b p c
(3)Áp dụng kết câu a ta có: p1a p1 b 2p 4(a b) 4c
Tương tự, suy p1 a p1 b p1 c a2 b2 c2
Dấu “=” xảy a cb
ap cp
cp bp
bp ap
ba pc p
ac pb p
cb pa p
4 1 1
4 1 1
4 1 1
Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 5: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Vẽ đường cao AH Ta có SinC HCAH SinBb SinCc HB
AH B
Sin ;
Tương tự, suy ra: 0
k
SinC SinB
SinA
c b a SinC
c SinB
b SinA
a
Vậy aSinA bSinB cSinC (SinA SinB SinC) k (1)
Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k
Suy ra: (abc)(SinASinBSinC) (SinA SinB SinC) k (2)
Từ (1) (2) ta có đ.p.c.m Câu 6: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Gọi I trung điểm AH Chứng minh IP AD từ suy I trực tâm tam
giác APD Suy DI AP (1)
Chứng tỏ tứ giác DIPQ hình bình hành, suy DI // PQ (2) Từ (1) (2) suy AP PQ suy đ.p.c.m
* Chú ý:
+ Điểm tối đa phần chấm với làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp. Điểm tổng cộng tồn khơng làm trịn.