IV. ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI 1. Cho ( ) 2 ( ) 3 2 1 1 0f x x m x m = + − + + = Tìm m để PT có hai nghiệm 1 2 ,x x sao cho a) 1 2 4x x < − < b) ( ) 1 4;6x ∈ − và [ ] 2 4;6x ∉ − c) 1 2 4 6x x − ≤ ≤ < d) 1 2 1 2x x − < < < e) 1 2 1 3x x < < < f) 1 2 3x x ≤ < g) 1 2 1 x x < < 2. Tìm m để PT: ( ) 2 2 1 1 0mx m x − + + = a) có nghiệm thuộc khoảng ( ) 1;1 − b) có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;1 3. Tìm m để PT: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 6 0m x m x m − − + + − = có nghiệm thuộc khoảng ( ) 1;1− 4. Tìm a để PT: ( ) ( ) 2 1 8 1 6 0a x a x a + − + + = có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;1 5. Cho ( ) 2 ( ) 3 2 1 1f x x m x m = + − + + . Tìm m để a) ( ) 0f x x ≥ ∀ b) ( ) ( ) 0 1;f x x > ∀ ∈ +∞ c) ( ] ( ) 0 ; 1f x x > ∀ ∈ −∞ − d) ( ] ( ) 0 0;1f x x> ∀ ∈ e) [ ] ( ) 0 0;1f x x< ∀ ∈ 6. Tìm m để ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 6 0 2m x m x m x − + − + − > ∀ > 7. Tìm m để PT: ( ) 2 4 3 5 0m x x − + + = có đúng một nghiệm 1x < 8. Tìm m để hệ ( ) 2 2 1 3 2 x y m xy m m + = +  = + +  có nghiệm thỏa mãn đk 1; 1x y≤ ≥ 9. Tìm k để PT: 2 2 2 0k x kx + − = có hai nghiệm 1 2 ,x x sao cho 1 2 1; 1x x< > 10. Tìm m để PT: ( ) 2 1 2 0mx m x + + + = có hai nghiệm pb với giá trị tuyệt đối bé hơn 1 11. Cho PT: ( ) ( ) 2 ( ) 3 2 2 5 2 5 0f x m x m x m = − − − − + = .Tìm m để PT có hai nghiệm pb thỏa mãn đk 2 2 0x x+ − < 12. Tìm m để PT: ( ) 2 2 2 2 2 1 3 4 0 1 1 x x m m m x x     + − + =  ÷  ÷ + +     có ít nhất một nghiệm 13. Tìm m, k để PT: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 1 1 1 x x k m m m x x x     + − + =  ÷  ÷ + +     + có đúng ba nghiệm 14. Tìm p để PT: 2 2 2 4 2 4 2 1 0 1 2 1 x px p x x x + + − = + + + có ít nhất một nghiệm I. Phương pháp biến đổi tương đương 7. 2 2 3 7 2x x x + + = + 8. 2 3 4 4 2 5x x x − − = + 9. 3 2 1 3 2x x x + − − = − 10. 5 1 3 2 1 0x x x − − − − − = 11. 16 17 8 13x x + = − 12. ( ) 2 2 3 10 12x x x x + − = − − 13. 2 3 4 2 3 2 0x x x + − − + + = 14. 4 2 1 4x x + = + + 15. 2 3 2 1 3 2 x x x x − − = − − 16. 3 3 3 1 2 2 3x x x − + − = − 17. ( ) ( ) 2 1 2 2x x x x x− + + = 18. ( ) 2 2 2 3 1 2 1x x x x − − + − = + 19.a. 9 5 2 4x x + = − + b. 3 4 2 1 3x x x + − + = + 20. 2 4 1 4 1 1x x − + − = GBPT: 1.a. 2 6 8x x − − − < b. 1 3 4x x + > − + c. ( ) ( ) ( ) 5 3 4 4 1x x x + + > − 2.a. 3 8 5 3 6x x x − − + > + b. 7 1 3 18 2 7x x x + − − ≤ + 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 2 1 4x x x x − − > + − − 4. 2 2 6 1 2 0x x x − + − + > 5. ( ) 2 2 3 2 3 2 0x x x x− − − ≥ 6. 5 1 1 2 4x x x − − − > − 7. 2 3 4 2 2 x x x − + + + < 8. 2 51 2 1 1 x x x − − < − 9. 2 1 1 4 3 x x − − < 10. 2 4 3 2 x x x − + − ≥ 11. 2 1 1 2 1 2 3 5 x x x > − + − 12. ( ) 2 2 3 4 9x x x − − ≤ − 13. 2 2 1 3 1 1 1 x x x > − − − 14. a. 2 2 2 2 3 7 3 3 4 2 3 5 1x x x x x x x − + + − + > − + − − b. ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x − + − − = − − − − + c. 2 2 2 2 12 22 3 18 36 2 12 13x x x x x x − + + − + = − + − d. 2 2 1 1 2 2 4x x x x   − + − = − +  ÷   e. ( ) 3 2 2 2 6x x x + − = + + 15. 4 2 2 1 1x x x − + ≥ − 16. 2 2 2 3 2 4 3 2 5 4x x x x x x − + + − + ≥ − + 17. 2 2 2 3 2 6 5 2 9 7x x x x x x + + + + + ≤ + + 18. 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18x x x x x x − + + + − ≤ − + 19. 2 2 4 3 2 3 1 1x x x x x − + − − + ≥ − 20. Cho BPT: ( ) 2 1a x a x + − ≥ + a) GBPT khi 1a = b) Tìm a để BPT có nghiệm [ ] 0;2x∈ 21. Tìm m để BPT ( ) 2 2 2 1 0f x x x m m m = + − + + − ≤ có nghiệm 22. GBL theo m a. 3 2x m x m+ = − b. 2 2 2x m x m+ = − + b. ( ) 2 2 1 2 0mx m x m + − + − = c. 4 2 1 2 1 x m x − = − − 23. Tìm m để PT sau có nghiệm: a. 2 1 2x mx m − + + = b. 2 4 3x x m − = + c. 2 2 3x m x mx = + + − 24. GBL các PT sau theo tham số a : a. ( ) 1 1 1 1 1 a x x x x − + = + − b. 1 1 2 4 x x x a + + + + = c. a a x x − + = d. a x a a x + = − − e. 1 1x a x + − − = 25. GBPT: 2 1 1 2 4 x x x + + − ≤ − II. Đặt ẩn phụ GPT: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 12;x x x x− − + + = (252) 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 24;x x x x+ + + + = (120) 3. 2 3 1 2 1 2 3 x x x x − + + = + − 4. 2 1 2 2 3 0x x x x   − − + − =  ÷   5. 4 3 2 2 5 2 1 0x x x x − − + + = 6. 2 2 3 2 1x x x x − + − + − = 7. 1 2 2 1 2 2 1;x x x x− + − − − − − = (m) 8. 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = 9. a. 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = b. 3 2 1 2 1 2 x x x x+ − + − − > 10. 5 1 5 2 4 2 2 x x x x + = + + 11. 2 2 1 1 3 x x x x+ − = + − 12. 2 2 11 31x x + + = 13.a. ( ) ( ) 2 5 2 3 3x x x x + − = + b. ( ) ( ) 2 1 4 3 5 2 6x x x x + + − + + = 14. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2x x x x + − = + − 15. 2 2 1 3 1 0x x x − + − + = 16. 2 2 4 2 3 4x x x x + − = + − 17. ( ) ( ) 1 4 1 4 5x x x x + + − + + − = 18. 3 3 34 3 1x x + − − = 19.a. 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x − + − = − + − + b. ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1x x x x + − = − 20. 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = 21.a. 3 2 1 1x x − = − − b. 3 1 1 1 2 2 x x + + − = 22. ( ) ;a x x b a b a b − + − = − > 23. 2 2 2 7 2 3 3 19x x x x x x + + + + + = + + 24. 2 2 2 5 2 2 2 5 6 1x x x x + + − + − = 25.a. ( ) 2 2 4 1 1 2 2 1x x x x − + = + + b. ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1x x x x x − + − = − − GBPT: 1. 2 2 2 4 3 3 2 1x x x x + + − − > 2. 2 2 5 10 1 7 2x x x x + + ≥ − − 3. ( ) ( ) 2 1 4 5 5 28x x x x + + < + + 4. 3 1 3 2 7 2 2 x x x x + < + − 5. 5 1 5 2 4 2 2 x x x x + < + + 6. 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x + + − + + − < − 7. 1 2 3 1 x x x x + − > + 8. 2 2 1 1x x x x + − < − 9. ( ) ( ) 2 2 4 4 2 3x x x x x − − + + − < 10. 3 2 1 1 3 1 0x x x x + + + + + > 11. ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 2 10 1 3 2x x x + < + − + 12. ( ) 2 2 4 1 1 x x x > − + + 13. ( ) 2 2 2 21 3 9 2 x x x < + − + 14. Tìm m để BPT sau có nghiệm : 3 1mx x m − − ≤ + 15. GBPT: 1 1x m x m − + > + 16. Cho BPT: ( ) ( ) 2 4 6 2x x x x m + − ≤ − + a) GBPT khi 12m = − b) Tìm m để BPT nghiệm đúng [ ] 4;6x ∀ ∈ − c) Tìm m để BPT có nghiệm 17. Tìm m để BPT ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 5 3x x m x x + − > + − + nghiệm đúng 1 ;3 2 x   ∀ ∈ −     18. Tìm m để PT sau có nghiệm a. 4 4 4 4x x x x m+ − + + − = b. 6 9 6 9 6 x m x x x x + + − + − − = c. 1 2 3 0mx x + − − = d. ( ) ( ) 2 3 8 26 11x x x x m − − + = − + + e. ( ) ( ) 1 3 1 3x x x x m + + − − + − = f. ( ) ( ) 1 8 1 8x x x x m + + − + + − = g. 2 9 9x x x x m + − = − + + 19. GPT: ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1x x x x   + − + − − = + −     HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN b. 2 1 2 1 2 2 1 x y y y x y x y  − + + =  + −   + =  c. 2 2 1 3 2 10 x y y x x y y x  − − − =  − + − =  d. 6 2 3 2 2 3 4 1 2 2 x y x y x y x y  + =  − +    + = −  − +  2. Cho HPT ( ) ( ) 1 1 1 2 a x y a x a y  + − = +  + − =  a. GHPT khi 3 2a = ; b. GBL hệ theo tham số a c. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất sao cho ( ) x y+ bé nhất 3. Cho HPT: ( ) 2 4 4 3 2 3 mx y m x m y m  + = +   + + = +   a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ( ) ;x y và x y ≥ b. Với m vừa tìm được ở câu a) , tìm ( ) min x y+ 4. Cho HPT: ( ) 2 2 . 1 x ay b a x a y b + =   + − =  Tìm b sao cho a∀ hệ có nghiệm 5. Cho HPT: ( ) ( ) 6 . 2 3 1 2 a x a y a x ay  + − =  − − =  a. GBL hệ theo a b. Khi hệ có nghiệm ( ) ;x y . Tìm hệ thức giữa x và y độc lập với a 6. GBL theo a và b hệ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a b x a b y a a b x a b y b  + + − =  − + + =  7. Cho hệ PT: 2 .a x y b x ay c c + =   + = +  a. GBL hệ theo a và c khi b = 0 b. Tìm b và c sao cho a ∀ ∈ ¡ hệ có nghiệm c. Tìm b sao cho a ∀ ∈ ¡ ta luôn tìm được c để hệ có nghiệm 8. Giả sử hệ PT: .a x by c bx cy a cx ay b + =   + =   + =  có nghiệm CMR: 3 3 3 3a b c abc+ + = 9. Tùy theo m hãy tìm GTNN của các biểu thức a. ( ) ( ) 2 2 2 1 2 5 , ,P x y x my x y= − + + + + ∀ ∈ ¡ b. 2 1 3 5 , ,Q x y mx y x y= − + + − + ∀ ∈ ¡ c. ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 1 , ,A x my x m y x y = + − + + − − ∀ ∈    ¡ d. ( ) 2 4 2 2 1B x my x m y = + − + + − − 10. GBL theo a hệ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 3 2 1 a x a y a x a y  − + − =  + + + = −  HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I 1.GHPT: a. ( ) 3 2 x y xy x y xy + + =   + =  b. 2 2 3 3 30 35 x y xy x y  + =  + =  c. 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y  + =  − + =  d. 2 2 4 4 2 2 7 21 x y xy x y x y  + + =  + + =  e. 35 30 x x y y x y y x  + =   + =   f. ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 2 3 6 x y x y xy x y  + = +    + =  g. 2 2 102 69 x y x y xy x y  + − − =  + + =  h. 3 1 1 4 x y xy x y  + − =   + + + =   2. GPT: a. 4 4 18 1 3x x − + − = b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 7 7 2 3x x x x − + + − + − = 3. Tìm a để PT sau có nghiệm: 3 3 1 1x x a − + + = 4. GHPT: a. 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y  + + + =     + + + =   b. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 5 1 1 49 x y xy x y x y    + + =   ÷        + + =  ÷     c. 7 1 78 x y y x xy x xy y xy  + = +    + =  d. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 19 7 x xy y x y x xy y x y  + + = −   − + = −   5. Tìm m để hệ sau có nghiệm a. 2 2 2 4x y x y m + =   + =  ; b. 2 2 2 x y xy m x y m + + =   + =  ; c. 1 1 3 x y x x y y m  + =   + = −   6. CMR m∀ hệ sau có nghiệm 2 2 2 1 2 3 x y m x y y x m m + = +   + = − −  7. Giả sử ( ) ; ;x y z là nghiệm của hệ 2 2 2 8 4 x y z xy yz zx  + + =  + + =  CMR: 8 8 , , ; 3 3 x y z   ∈ −     8. Các số a, b, c thỏa mãn hệ 2 2 2 2 1 a b c ab bc ca  + + =  + + =  CMR: 4 4 , , ; 3 3 a b c   ∈ −     9. GBL theo a hệ phương trình x y a x y xy a  + =   + − =   10. Tìm a để hệ sau có nghiệm a. 1 1 4 3 x y x y a  − + − =   + =   ; b. 1 2 3 x y a x y a  + + + =   + =   ; c. 1 2 3 x y a x y a  + − + =   + =   11. Cho HPT 2 2 2 1 x xy y m x y y x m + + = +   + = +  a. GHPT khi 3m = − b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 12. Cho HPT: ( ) 2 2 1x xy y m xy x y m m + + = +   + = +  . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 13. Biện luận theo a số nghiệm của hệ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 x y a x y  + = +   + =   14. GHPT: a. 5 5 9 9 4 4 1x y x y x y  + =  + = +  b. 2 2 5 5 3 3 1x y x y x y  + =  + = +  c. 4 4 6 6 1 1 x y x y  + =  + =  15. Cho HPT: 1 1 3 1 1 1 1 x y x y y x y x m  + + + =   + + + + + + + =   a. GHPT khi 6m = b. Tìm m để hệ có nghiệm 15. Tìm nghiệm ( ) ;x y của hệ 2 2 2 3 x y x y xy + ≤   + + =  sao cho ( ) 2 2 x y xy + − max, min HD: ( ) 2 2 , 0x y x y a a+ ≤ ⇒ + = − ≥ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II 1. GHPT: a. 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y y x  − = −  − = −  b. 3 3 3 8 3 8 x x y y y x  = +  = +  c. 3 3 1 2 1 2 x y y x  + =  + =  d. 1 3 2 1 3 2 x y x y x y  + =     + =   e. 2 2 3 2 3 2 x y x y x y  + =     + =   f. 2 2 1 2 1 2 x y y y x x  = +     = +   2. GPT: a. 2 1 1x x − = + b. 3 3 1 2 2 1x x + = − 3. GHPT: a. 2 5 7 5 2 7 x y x y  − + + =   + + − =   b. 3 5 2 5 3 2 x y x y  − + − =   − + − =   c. 3 3 6 6 3 3 1 x x y y x y  − = −  + =  d. 3 1 1 2 1 x y x y y x  − = −    = +  e. 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y  + =    +  =   4. Tìm m để hệ sau có nghiệm a. 1 8 8 1 x y m x y m  + + − =   − + + =   b. 1 2 1 2 x y m y x m  + + − =   + + − =   5. CMR 0a ∀ ≠ hệ sau có nghiệm duy nhất: 3 2 3 2 7 0 7 0 a x y x a x y y  + − =     + − =   6. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : ( ) ( ) 2 2 1 1 xy x m y xy y m x  + = −   + = −   7. GBL hệ sau theo m : 2 1 2 1 x y m y x m  + − =   + − =   HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 1. GHPT a. 2 2 2 5 1 7 3 1 x y y xy  − =  − =  b. 2 2 2 2 2 3 12 3 11 x xy y x xy y  + + =  − + =  c. 2 2 2 2 2 3 9 2 2 2 x xy y x xy y  + + =  + + =  d. ( ) 2 3 3 2 19 x y y x y  − =   − =   e. 2 2 2 2 3 5 4 3 9 11 8 6 x xy y y xy x  − − = −  + − =  f. 2 2 2 3 0 2 x xy y x x y y  + − =   + = −   2. Cho HPT: 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y m  + + =  + + = +  a. GH khi m = 0 b. Tìm m để hệ có nghiệm 3. Cho các số x, y thỏa mãn điều kiện 2 2 2x xy y+ + = . Hãy tìm max, min của biểu thức 2 2 3 2A x xy y = + + 4. Cho HPT: 2 2 2 4 3 4 x xy y k y xy  − + =  − =  a. GH khi 1k = b. Tìm k để hệ có nghiệm 5. Tìm a để hệ sau có nghiệm 2 2 2 2 4 3 2 2 3 8 2 4 5 4 4 12 105 x xy y x xy y a a a  − − =   + + = − + − +   6. Cho các số x, y thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1x xy y + + ≤ . Hãy tìm max của biểu thức 2 2 4 5M x xy y= − + . − + + − = 18. 3 3 34 3 1x x + − − = 19.a. 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x − + − = − + − + b. ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1x x x x + − = − 20. 3 4 1 3 2 5 x x x +. a. 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y y x  − = −  − = −  b. 3 3 3 8 3 8 x x y y y x  = +  = +  c. 3 3 1 2 1 2 x y y x  + =  + =  d. 1 3 2 1 3 2 x y x y