Đề số 1: Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 . 49 ( . ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Đề số 2: Bi 1:(4 im)a) Thc hin phộp tớnh: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 Bi 2:(4 im)Tỡm x bit:a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x + = + b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = Bi 3: (4 im) a, S A c chia thnh 3 s t l theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s ú bng 24309. Tỡm s A. b. Cho a c c b = . Chng minh rng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bi 4: (4 im)Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao cho ME = MA. Chng minh rng: a) AC = EB v AC // BE b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . Chng minh ba im I , M , K thng hng c) T E k EH BC ( ) H BC . Bit ã HBE = 50 o ; ã MEB =25 o .Tớnh ã HEM v ã BME Bi 5: (4 im)Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú à 0 A 20= , v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC b. AM = BC Đề số 3: Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9 10 và nhỏ hơn 9 11 Câu 3. Cho 2 đa thức P ( ) x = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( ) x = x 2 + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: = = = x y a / ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = 1 + x +5 B = 3 15 2 2 + + x x Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC Đề số 4: Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : a- ) 1 3 1 (:1 3 1 .3 3 1 .6 2 + b- ( ) 32 2003 23 12 5 . 5 2 1. 4 3 . 3 2 Câu 2 ( 2 điểm) a, Tìm số nguyên a để 1 3 2 + ++ a aa là số nguyên b. Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm) a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì d c b a = với b,d khác 0 b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đ ợc một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 45 0 , góc C bằng 120 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm)Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x 2 - 2y 2 =1 Đề số 5: Bi 1 (3):1, Tớnh: P = 1 1 1 2 2 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 + + + + 2, Bit: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3, Cho: A = 3 2 2 2 3 0,25 4x x xy x y − + − + Tính giá trị của A biết 1 ; 2 x y= là số nguyên âm lớn nhất. Bài 2 (1đ):Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ):Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ):Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, · 0 120BMC = Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2,Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: Bài 1 (4đ):Cho các đa thức:A(x) = 2x 5 – 4x 3 + x 2 – 2x + 2 B(x) = x 5 – 2x 4 + x 2 – 5x + 3 C(x) = x 4 + 4x 3 + 3x 2 – 8x + 3 4 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25− 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết:3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2 3 2x x x− − = − Bài 3 (4đ):Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 1, P = 2 6 m− có giá trị lớn nhất 2, Q = 8 3 n n − − có giá trị nguyên nhỏ nhất Bài 4 (5đ):Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, · 0 100BAC = . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho · · 0 0 10 , 20DBC DCB= = . Tính góc ADB ? §Ò sè 7: Bài 1 (3đ): Tính:1, 3 1 1 1 6. 3. 1 1 3 3 3   − − −       − + − −    ÷  ÷  ÷           2, (6 3 + 3. 6 2 + 3 3 ) : 13 3, 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 − − − − − − − − − Bài 2 (3đ): 1, Cho a b c b c a = = và a + b + c ≠ 0; a = 2005. Tính b, c. 2, Chứng minh rằng từ hệ thức a b c d a b c d + + = − − ta có hệ thức: a c b d = Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bi 4 (3):V th hm s: y = 2 ; 0 ; 0 x x x x < Bi 5 (3):Chng t rng:A = 75. (4 2004 + 4 2003 + . . . . . + 4 2 + 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100 Bi 6 (4):Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 60 0 . Tia phõn giỏc ca gúc B ct AC ti D, tia phõn giỏc ca gúc C ct AB ti E. Cỏc tia phõn giỏc ú ct nhau ti I.Chng minh: ID = IE Đề số 8: Bi 1 (5): 1, Tỡm n N bit (3 3 : 9)3 n = 729 2, Tớnh : A = 2 2 2 9 4 + 7 6 5 4 3 2 7 3 5 2 3 1 )4(,0 + Bi 2 (3): Cho a,b,c R v a,b,c 0 tho món b 2 = ac. Chng minh rng: c a = 2 2 )2007( )2007( cb ba + + Bi 3 (4): Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon thnh cụng vic ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i l 2 ngi v nng sut ca mi cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ? Cõu 4 (6): Cho ABC nhn. V v phớa ngoi ABC cỏc u ABD v ACE. 1, Chng minh: BE = DC. 2, Gi H l giao im ca BE v CD. Tớnh s o gúc BHC. Bi 5 (2): Cho m, n N v p l s nguyờn t tho món: 1 m p = p nm + .CMR : p 2 = n + 2. Đề số 9: Bài 1: (2 điểm)a, Cho 64,31)25,1. 5 4 7.25,1).(8.07.8,0( 2 ++= A 25,11:9 02,0).19,881,11( + = B Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ? b) Số 410 1998 = A có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ? Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ? Câu 3: a) Cho cbxaxxf ++= 2 )( với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng tỏ rằng: 0)3().2( ff . Biết rằng 0213 =++ cba b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức x A = 6 2 có giá trị lớn nhất. Câu 4: (3 điểm)Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90 0 , B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90 0 . F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB. a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB EC. Câu 5: (1 điểm)Tìm chữ số tận cùng của 9 6 9 1 0 9 8 1 95 219 += A §Ị sè 10: C©u 1: (2 ®iĨm) a) TÝnh 115 2005 1890 : 12 5 11 5 5,0625,0 12 3 11 3 3,0375,0 25,1 3 5 5,2 75,015,1 +             −−+− ++− + −+ −+ = A b) Cho 20052004432 3 1 3 1 . 3 1 3 1 3 1 3 1 ++++++= B Chøng minh r»ng 2 1 < B . C©u 2: (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu d c b a = th× dc dc ba ba 35 35 35 35 − + = − + (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Ịu cã nghÜa). b) T×m x biÕt: 2001 4 2002 3 2003 2 2004 1 − = − − − + − xxxx C©u 3: (2®iĨm) a) Cho ®a thøc cbxaxxf ++= 2 )( víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) §é dµi 3 c¹nh cđa tam gi¸c tØ lƯ víi 2; 3; 4. Ba ®êng cao t¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lƯ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iĨm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm D, trªn tia ®èi cđa tia CB lÊy ®iĨm E sao cho BD = CE. C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kỴ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn lỵt ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iĨm I cđa MN. c) §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh khi D thay ®ỉi trªn c¹nh BC. C©u 5: (1 ®iĨm) T×m sè tù nhiªn n ®Ĩ ph©n sè 32 87 − − n n cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm BC và BC = 2. AB . Gọi D là trung điểm của BM . CMR: AC = 2.AD . ( HD: Vẽ E sao cho D là trung điểm AE ; C/m: △AME = △AMC (c-g-c). Bài 2: Cho △ABC có ∠ ABC = 30 0 ; ∠ BAC = 130 0 . Đường phân giác ngoài ở đỉnh A cắt phân giác trong ở đỉnh B tại D. Hai đường thẳng CD và AB cắt nhau tại E . CMR: CA = CE . ( HD: CD là phân giác ngoài ở đỉnh C của △ABC => ∠ ACD = 80 0 và ∠ CAE = 50 0 ). Bài 3: Cho △ABC có E là trung điểm BC sao cho ∠EAB = 15 0 ; ∠EAC = 30 0 . Tính ∠ACB ? (HD: Vẽ F sao cho AE là trung trực của CF => △ACF đều; gọi I là trung điểm FC => △BFC vuông tại F => △BFA cân tại F => △BFC vuông cân tại F => ∠C = 105 0 ). Bài 4: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 80 0 . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 10 0 ; ∠MCB = 30 0 . Tính ∠AMB ? ( HD: Vẽ △BCD đều, D nằm trong △ABC => △ABD = △MBC (g-c-g) => △ABM cân có ∠ABM = 40 0 ). Bài 5: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 100 0 . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 20 0 ; ∠MCB = 30 0 . Tính ∠AMB ? (Giải tương tự BT4). Bài 6: Cho △ABC có AB < AC ; gọi D là điểm tùy ý nằm giữa A và B. Gọi E là điểm nằm giữa A và C sao cho CE = BD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và DE . Đường thẳng MN lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q . CMR: △APQ cân. (HD: Gọi I là trung điểm BE … ) Bài 7: Cho △ABC có ∠A = 15 0 và ∠B = 45 0 . Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = 2.CB . Tính ∠ADC ? (HD: Kẽ DE ⊥ AC tại E => △DEC là nửa tam giác đều => △BCE cân => △AEB cân và △AED vuông cân). Bài 8: Cho △ABC có hiệu∠C - ∠B = 90 0 ; AD và AE lần lượt là các đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ( D, E ∈ BC ). CMR: AD = AE . (HD: Kẽ AH ⊥ BC tại H c/m: ∠DAH = ( ∠C - ∠B ): 2 => △DAE vuông cân). Bài 9: Cho △ABC có AH là đường cao. Về phía ngoài tam giác vẽ △ABD vuông cân tại B, vẽ △ACE vuông cân tại C . CMR: AH ; BE ; CD đồng quy. (HD: Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC => △ABK = △ BDC (c-g-c) => CD ⊥ BK ). Bài 10: Cho P nằm bên trong △ABC sao cho ∠PAC = ∠PBC . Gọi M , L lần lượt là hình chiếu của P lên AC và BC . Gọi D là trung điểm AB . CMR: DL = DM. (HD: Gọi I , K lần lượt là trung điểm PA và PB => △DIM = △DKL (c-g-c)). Bài 11: Cho △ABC vuông tại A và AC = 3.AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 3.AE = 2.AC . CMR: ∠AEB + ∠ACB = 45 0 . (HD: Gọi D là trung điểm AE ; vẽ hình vuông ADKH ( H không trùng B) => △BKC vuông cân => △BAE = △KDC ). Bài 12: Cho △ABC nhọn; AH là đường cao ( H ∈ BC ) . Vẽ M sao cho AB là trung trực đoạn HM , vẽ N sao cho AC là trung trực đoạn HN. Đường thẳng MN lần lượt cắt các cạnh AB ; AC tại E và F . CMR: AH ; BF ; CE đồng quy. (HD: HA là phân giác góc ∠EHF ; c/m: HB và EB là các đường phân giác ngoài △HEF => FB là phân giác trong △HEF ). Bài 13: Cho hình thang vuông ABEC ( ∠A = ∠C = 1v) và ∠ABC = 75 0 ; CE = 2.CA . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △BEC vẽ △BMC đều ; H là hình chiếu của M lên CE => △CME cân => △CME = △BME (c-g-c) => ∠BEC = 30 0 ). Bài 14: Cho △ABC cân tại A và ∠BAC = 20 0 . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = BC . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △ABC vẽ △BIC đều ). Bài 15: Cho hình thang ABCD có ∠A = ∠D = 1v ; CD = 2.AB . Gọi H là hình chiếu của D lên AC ; M là trung điểm của HC . Tính ∠BMD . (HD: Gọi I là trung điểm HD ; c/m: I là trực tâm △… ). Bài 16: Cho D nằm bên trong △ABC đều sao cho ∠DAB + ∠DCB = 60 0 và DC = 2.DA . Tính ∠ADB và ∠CDB ? (HD: Vẽ △BDE đều sao cho E và D nằm khác phía đối với AB => △ADE (?)). Bài 17: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ); AC ⊥ BD . Qua I là trung điểm BC kẽ đường thẳng song song AD cắt DC tại M . CMR: △BMD cân. (HD: Vẽ K sao cho I là trung điểm AK ; gọi R là trung điểm AD ). Bài 18: Cho △ABC cân tại C ; CM là đường trung tuyến ; AD là đường phân giác trong sao cho AD = 2.CM . Tính ∠ACB ? (HD: Gọi I là trung điểm AD => CDMI là hình thang cân ). Bài 19: Cho △ABC vuông cân ở B và M là điểm nằm bên trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3 . Tính ∠AMB ? (HD: Vẽ △BME vuông cân tại B ; E và M nằm khác phía dối với AB => AE = CM => △AME vuông tại M ). Bài 20: Cho △ABC đều và M nằm bên trong tam giác sao cho MA:MB:MC = 3 : 4 : 5 . Tính ∠AMB ? (HD: Giải tương tự BT19 ). Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 . Trên các cạnh AB ; BC ; CD ; DA lần lượt lấy M ; N ; P ; Q . CMR: MN + NP + PQ + QM ≥2.(HD: Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm PQ ; PM ; MN- dùng đường gấp khúc) Bài 22: Cho △ABC cân tại A ; gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C . Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C và vuông góc AC ở điểm K . Gọi I là trung điểm của MB . Tính ∠AIK ? (HD:Vẽ F sao cho I là trung điểm KF ). Bài 23: Cho hình thang ABCD ; trong đó ∠A = ∠D = 1v ; O là trung điểm AD sao cho AC ⊥ BO . CMR: BD ⊥ CO. (HD: Vẽ E sao cho O là trung điểm BE ) Bài 24: Cho △ABC có AB = 3cm , AC = 5cm và trung tuyến AM = 2cm ( M ∈ BC ) . Tính số đo ∠BAM ? (HD: Vẽ D sao cho M là trung điểm AD - Dùng Py-ta- go). Bài 25: Cho △ABC cân tại A , M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠AMB > ∠AMC . So sánh độ dài hai đoạn thẳng MB và MC. (HD: Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ tia AD sao cho ∠CAD = ∠MAB và AD = AM ; Dùng t/g cân và quan hệ góc cạnh đối diện trong t/g ) . Bài 26: Cho △ABC cân tại A ; M là điểm thay đổi luôn nằm giữa B và C . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB , AC . Đònh vò trí của M để độ dài DE nhỏ nhất . (HD: Gọi I là trung điểm AM - Dùng t/g cân góc ở đỉnh không đổi, cạnh đáy nhỏ nhất  cạnh bên nhỏ nhất - Quan hệ đường vuông góc và đường xiên ) Bài 27: Cho ∆ ABC cân tại A có · BAC 90 ° ≥ . Lấy điểm M nằm giữa A và C , hạ AH và CK cùng vuông góc với BM ( H, K ∈ BM ) sao cho BH = HK + KC . Tính độ lớn của · BAC . (HD: Trên tia đối của tia KH xác đònh D sao cho DK = KC ) Bài 28: Cho · · 0 0 ABC có ABC = 40 , ACB = 30∆ ; trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B có bờ là đường thẳng AC xác đònh điểm D sao cho DAC∆ cân tại D và · 0 ADC = 80 . CMR: ABD∆ là tam giác cân . (HD: Kẽ AK ⊥ BC tại K ; DH ⊥ AC tại H AKH đều AKB = AHD (g-c-g)⇒ ∆ ⇒ ∆ ∆ ) B . phía đối với AB => △ADE (?)). Bài 17: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ); AC ⊥ BD . Qua I là trung điểm BC kẽ đường thẳng song song AD cắt DC tại M . CMR:. nguyên âm lớn nhất. Bài 2 (1đ):Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 1 17 Bài 3 (1đ):Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng