α M 0 n ur I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng a. Định nghĩa: Nếu vectơ vuông góc với mp( ) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp( ) đó. n ( 0)≠ ur r α α M Cho điểm M 0 ( ). Điều kiện cần và đủ để điểm M bất kì thuộc mp( ) là ∈ α α gì? 0 M M n⊥ uuuuur ur * Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó. * * n ( ) kn ( ) (k R )⊥ α ⇒ ⊥ α ∈ ur ur ? ? 1 Qua một điểm M 0 cho trước có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với một vectơ cho trước? n ( 0)≠ ur r . n ur a r b ur a b 1 2 3 a (a ;a ;a )= r 1 2 3 b (b ;b ;b )= ur * Trong kg Oxyz cho mp( ) có cặp vectơ chỉ phương . Khi đó, mp( ) nhận vectơ làm VTPT. α ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 n a,b a b a b ; a b a b ; a b a b   = = − − −   ur r ur α α Chú ý: * Hai vectơ ; không cùng phương và có giá song song hoặc chứa trong mp( ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp( ) đó. b ur α a r α A B C 10− ( 1; 2;4 )− − AB = uuur VTPT : n AB,AC   ⇒ = =   ur uuur uuur 5− 5− Giải: mp(ABC) có cặp vectơ chỉ phương là ( 2 ;1; 3 )− AC = uuur A(2;0; 1); B(1; 2;3); C(0;1;2)− − Ví dụ 1: Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm không thẳng hàng . Tìm toạ độ cặp vectơ chỉ phương của mp( ) từ đó suy ra toạ độ VTPT của mp( ) ABC ABC ( ; ; ) 1 2 − − II- Phương trình tổng quát của mặt phẳng n ur g α ) x y M 0 z O Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm và có VTPT . Với điểm M(x; y; z) bất kì n (A;B;C)= ur α 0 0 0 0 M (x ;y ;z ) 0 n.M M 0= ur uuuuur 0 0 0 A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 (1)⇔ − + − + − = M ( )∈ α ⇔ ? 0 0 0 (Ax By Cz )+ + Pt (1) và (2) được gọi là phương trình mp( ) α Ax By Cz⇔ + + D (2) 0 0 0 2 2 2 D (Ax By Cz ) A B C 0 = − + +   + + ≠  0= Trong đó: * Định nghĩa: (SGK) − + n (A;B;C)= ur α Ax By Cz D 0+ + + = * Chú ý: Nếu mp( ) có pt: thì VTPT của nó là M Ví dụ 2: Viết pt mặt phẳng qua ba điểm M(1; 2; 1); N(2;1;0); P(3; 1;2)− − − (8; 1; 5)= − − 3 1 1 1 1 3 n MN,MP ; ; 1 3 3 2 2 1     = =  ÷     r uuuur uuur Giải: Ta có: mp(MNP) có VTPT là: MN (1;3;1) ;= uuuur MP (2;1;3)= uuur 8(x 1) (y 2) 5(z 1) 0− − + − + = mp(MNP) có phương trình tổng quát là 8x y 5z 15 0⇔ − − − = Ví dụ 3: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm và song song với mp(Q): M(3;2; 1)− n (1; 5;1)= − r Giải: mp(P) có VTPT là: (x 3) 5(y 2) (z 1) 0− − − + + = mp(P) có phương trình tổng quát là x 5y z 0− + = x 5y z 8 0⇔ − + + = Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 2;3); B( 5;0;1)− − Giải: Gọi I là trung điểm đoạn AB. Khi đó, mp cần tìm đi qua I và có VTPT là AB uuur I( 2; 1;2); AB ( 6;2; 2)− − = − − uuur 6(x 2) 2(y 1) 2(z 2) 0− + + + − − = mp cần tìm có phương trình tổng quát là 3x y z 3 0⇔ − + + = Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB * Lưu ý: Ta có thể lập pttq của mặt phẳng trung trực theo cách cho AM = BM với M(x; y; z) thuộc mp trung trực. 3- Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát x y z 1 (3) a b c + + = Cho mp( ) có phương trình: α Ax By Cz D 0+ + + = Hãy giải thích vì sao ta có các khẳng định sau α a. Mặt phẳng ( ) đi qua gốc toạ độ O khi và chỉ khi D = 0 α b. Mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox khi và chỉ khi A = 0 D D D a ; b ; c A B C = − = − = − Phát biểu tương tự cho trường hợp B = 0 hoặc C = 0 α c. Mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với mp(Oxy) khi và chỉ khi A = B = 0 Phát biểu tương tự cho trường hợp B = C = 0 hoặc C = A = 0 d. Trong trường hợp các hệ số A, B, C, D đều khác 0, khi đó ta đặt Ta đưa pt mặt phẳng về dạng Lúc này ta thấy mp cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M(a; 0; 0), N(0; b; 0), P(0; 0; c) Pt (3) được gọi là pt mặt phẳng theo đoạn chắn. 2. Các trường hợp riêng : Dạng phương trình Dạng phương trình Tính chất của các mặt so với các yếu tố của hệ Tính chất của các mặt so với các yếu tố của hệ trục toạ độ trục toạ độ Ax + By + Cz = 0 Ax + By + Cz = 0 Mp đi qua gốc toạ độ O Ax + By + D = 0 Ax + By + D = 0 song song với trục Oz hoặc chứa trục Oz Ax + Cz + D = 0 Ax + Cz + D = 0 song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy By + Cz + D = 0 By + Cz + D = 0 song song với trục Ox hoặc chứa trục Ox Ax + D = 0 Ax + D = 0 song song với mp Oyz hoặc trùng với mp Oyz By + D = 0 By + D = 0 song song với mp Oxz hoặc trùng với mp Oxz Cz + D = 0 Cz + D = 0 song song với mp Oxy hoặc trùng với mp Oxy Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho điểm M(30;15;6) Giải: a. Hình chiếu của M trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt có toạ độ là các điểm (30; 0; 0) ; (0; 15; 0) ; (0; 0; 6) x y z 1 x 2y 5z 30 0 30 15 6 + + = ⇔ + + − = mp cần tìm có phương trình là OH t.n= uuur ur a. Viết phương trình mp( ) đi qua các hình chiếu của M trên các trục toạ độ. b. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm O trên mp( ) α α b. Gọi H(x; y; z), vì H thuộc mp( ) nên α x 2y 5z 30 0+ + − = OH uuur Và ta có cùng phương với VTPT nên n(1;2;5) ur * x t y 2t (t R ) z 5t =   ⇔ = ∈   =  Thay vào pt trên ta tìm được t = 1 suy ra H(1; 2; 5) TÓM TẮT Trong không gian Oxyz mp( ) đi qua điểm và có VTPT . Có pttq là n (A;B;C)= ur α 0 0 0 0 M (x ;y ;z ) 0 0 0 A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0− + − + − = hay Ax By Cz D 0+ + + = 0 0 0 2 2 2 D (Ax By Cz ) A B C 0 = − + +   + + ≠  Trong đó: Cần nắm được các trường hợp riêng của phương trình tổng quát và làm các bài tâp trang 82-83 SGK . đó: Cần nắm được các trường hợp riêng của phương trình tổng quát và làm các bài tâp trang 82-83 SGK Quyù thỏửy, cọ, caùc em hoỹc sinh sổùc khoeớ vaỡ thaỡnh