§2. SO SÁNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x= =Û VD : Giải phương trình 2 3 2 1 2 4 x x+ − = Giải: 2 3 2 1 2 4 x x+ − = (Cần chuyển về cơ số 2 nên đặt vấn đề ? 1 2 4 = ) ⇔ 2 3 2 2 2 2 x x+ − − = (Vì 2 1 2 4 − = ) ⇔ 2 3 2 2x x+ − = − (Sử dụng tính chất cùng cơ số) ⇔ 2 3 0x x+ = (Cộng vào từng vế với 2) ⇔ 0x = hoặc 3x = − ● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x) 2 3 2 1 2 4 x x+ − = 2 ? 0 3 0 2 1 2 4 g+ − = ? 2 1 2 4 − = (đúng) 2 3 2 1 2 4 x x+ − = ( ) ( ) 2 ? 3 3 3 2 1 2 4 g− + − − = ? 2 1 2 4 − = (đúng) Vậy phương trình có nghiệm 0x = hoặc 3x = − 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: log log a a M N M N = ⇔ = VD : Giải phương trình 2 2 2 log log ( 3) log 4x x+ + = Giải: ● Điều kiện: 0 0 0 3 0 3 x x x x x > >   ⇔ ⇔ >   + > > −   ● Ta có: 2 2 2 log log ( 3) log 4x x+ + = ⇔ 2 2 log ( 3) log 4x x + = (dùng tổng hai logarit) ⇔ ( 3) 4x x + = (Sử dụng tính chất cùng cơ số) 2 3 4 0x x⇔ + − = 1x⇔ = (nhận) hoặc 4x = − (loại so với điều kiện) ● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x) 2 2 2 log log ( 3) log 4x x+ + = { ? 2 2 2 0 log 1 log (1 3) log 4+ + = ? 2 2 log 4 log 4= (đúng) Vậy phương trình có nghiệm: 1x = 2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. VD : Giải phương trình 25 2.5 15 0 x x − − = Giải: 25 2.5 15 0 x x − − = (Cần chuyển về cơ số nhỏ hơn là 5) ( ) 2 5 2.5 15 0 x x − − = (Vì ( ) ( ) 2 2 2 25 5 5 5 x x x x = = = ) Đặt 5 x t = ( điều kiện t > 0), phương trình trở thành 2 2 15 0t t− − = ⇔ 5t = hoặc 3t = − (loại) Với 5t = thì 5 5 1 x x= ⇔ = ● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x) 25 2.5 15 0 x x − − = ? 1 1 25 2.5 15 0− − = ? 0 0= (đúng) 2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. VD : Giải phương trình 2 2 2 log log 2 0x x+ − = Giải: ● Điều kiện: 0x > ● Ta có: 2 2 2 log log 2 0x x+ − = ⇔ ( ) 2 2 2 log log 2 0x x+ − = Đặt 2 logt x = ta được: 2 1 t 2 0 2 t t t =  + − = ⇔  = −  + Với t = 1 thì 2 log 1x = ⇔ 1 2 2x = = + Với 2t = − thì 2 log 2x = − ⇔ 2 2 1 1 2 2 4 x − = = = ● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x) Vậy phương trình có nghiệm 1x = 2 2 2 log log 2 0x x+ − = 2 2 2 log 2 log 2 2 0+ − = 1 1 2 0+ − = 2 2 2 log log 2 0x x+ − = 2 2 2 1 1 log log 2 0 4 4   + − =  ÷   4 2 2 0− − = Vậy phương trình có nghiệm 2x = hoặc 1 4 x = 3.Phương pháp 3: Lấy logarit hai vế VD : Giải phương trình 1 8 4 x = Giải: 1 8 4 x = 8 8 1 log 8 log 4 x = (lấy logarit cơ số 8 hai vế) 8 1 log ( ) 4 x = ● Thử lại: (thế giá trị vừa tìm được vào x) 1 8 4 x = 8 1 log ? 4 1 8 4      ÷  ÷     = (sử dụng máy tính đề tính vế trái) ? 1 1 4 4 = (đúng) Vậy phương trình có nghiệm 1x = 3. Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế VD : Giải phương trình 3 log (3 8) 2 x x− = − Giải: ● Điều kiện: 3 8 0 x − > ● Ta có: 3 log (3 8) 2 x x− = − 3 log (3 8) 2 3 3 x x − − ⇔ = 2 3 8 3 x x− ⇔ − = 9 3 8 3 x x ⇔ − = ( ) 2 3 8.3 9 0 x x ⇔ − − = ⇔ 3 1 x = − (loại) hoặc 3 9 x = Với 3 9 x = ⇔ 2x = (nhận vì thỏa điều kiện) ● Thử lại: (thế giá trị 2 vừa tìm được vào x) 3 log (3 8) 2 x x− = − ? 2 3 log (3 8) 2 2− = − ? 3 log 1 0= (đúng) Vậy phương trình có nghiệm 2x = 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) Ta thường sử dụng các tính chất sau: ☺ Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C (với C là hằng số) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) ☺ Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) VD : Giải phương trình 3 4 5 x x x + = Giải: 3 4 5 x x x + = , chia từng vế với 5 x ta được: 3 4 1 5 5 x x     + =  ÷  ÷     (*) ● Ta có 2x = là nghiệm của phương trình (*) vì 2 2 3 4 1 5 5     + =  ÷  ÷     ● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, xét 3 4 ( ) 5 5 x x f x     = +  ÷  ÷     Ta có ( )f x nghịch biến trên ¡ vì 3 3 4 4 '( ) ln ln 0 5 5 5 5 x x f x     = + <  ÷  ÷     , x∀ ∈¡ . Do đó + Với 2x > thì ( ) (2)f x f< hay 3 4 1 5 5 x x     + <  ÷  ÷     , nên phương trình (*) không thể có nghiệm 2x > + Với 2x < thì ( ) (2)f x f> hay 3 4 1 5 5 x x     + >  ÷  ÷     , nên phương trình (*) không thể có nghiệm 2x < ● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất 2x = VD : Giải phương trình ( ) 2 5 log log 2 1 2x x+ + = Giải: ● Điều kiện: 0x > ● Đặt ( ) 2 5 log log 2 1 2x x + + = (*) Ta có 2x = là nghiệm của phương trình (*) vì ( ) 2 5 log 2 log 2.2 1 2+ + = ● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, hàm số 2 logy x= và ( ) 5 log 2 1y x= + đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng biến. + Với 2x > , ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 2 5 log log 2 1 log 2 1 log 2.2 1 1 log log 2 1 2 x x x x > =   +  + > + =   ⇒ + + > Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi 2x > + Với 0 2x< < , ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 2 5 log <log 2 1 log 2 1 log 2.2 1 1 log log 2 1 <2 x x x x =   +  + < + =   ⇒ + + Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi 0 2x < < ● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất 2x = . §2. SO SÁNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng. Vậy phương trình có nghiệm 0x = hoặc 3x = − 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: log log a a M N M N = ⇔ = VD : Giải phương trình