Bai tap ve phuong trinh Luong giac co loi giai

Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm.. Ñaïi Hoïc Luaät TP..[r]

(1)

Bài tập phương trình lượng giác 1 2 sin x  4sin x cosx1 

 

2 sin x

sin x cosx

2 sin(x ) 2 sin x

4 sin x cosx sin x cosx

                    

sin(x ) x k

4

1

2 sin x sin x cosx 0 sin 2x 0

4 sin x cosx

2sin x cosx sin 2x

                                               

x k sin2x sin

4 x k (k Z)

4

sin 2x 2x k2 x k

2                                    

2 C1.sin3x cos3x 2(sin5x cos5x)    x x x

x 5

3 sin cos cos

sin   

 x x x x x x x

x 3

3 ( sin ) cos ( cos ) sin cos cos cos

sin     



3 3

cos2x cos2x cos2x

x m x k x m (m Z)

tgx 4

sin x cos x tg x

                                 

C2.sin3x cos3x 2(sin5x cos5x) 



  (sin3xcos3x)(sin2xcos2x)2(sin5xcos5x) ) sin (cos cos ) sin (cos sin cos sin sin cos cos

sin3x 2x 3x 2x 5x 5x 3x 2x 2x 3x 2x 2x                           x

xx x 0

0 x x 0 x x 0 x x x

x 3 32 32 2

2 sin cos sin cos sin cos sin cos ) sin )(cos sin (cos Z) (k cos sin cos sin cos sin

cos  

               2 k 4 x 0 x 2 0 x x x

xx x 0 2

2

3 sin2x cos22x cos23x 



1 cos 2x cos 4x cos 6x

(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x)

2 2

           x x x x x x x x x 2       

 cos cos cos cos (cos cos ) cos cos cos

Z) (k cos cos

cos                 k x k x k x x x x

4 sin6x cos6x 2(sin8x cos8x)    x x x

x 8

6 sin cos cos

sin   

 x x x x x x x

x 6

6 ( sin ) cos ( cos ) sin cos cos cos

sin     

 Z) (m cos cos cos

sincos    

                               m x k x m x

tgx2x

x tg 2x x

xx

6

(2)

 x x  x x 2 4

 sin cos sin cos

2 k x x x 2 x 2 x x x x

1              

 sin sin sin cos cos cos sin

6 2x

8 13 x

x

6 sin cos

cos  

x 13 x

x 3

2 ) (sin ) cos

(cos  

 x 13 x x x x x

x 4 2

2 sin )(cos sin sin cos ) cos

(cos    

 x 13 x 2 x x 13 x x 2 1 x

2 ( sin2 sin2 ) cos2 cos ( sin2 ) cos2

cos      

                   

 8cos22sinx 202x 13cos2x 8cos22(x1 cos0 22x) 13cos2x 2coscos2x22x0 13cos2x 6 0

(loại) cos cos

cos 2x

2 x x

2     

     k (kZ)

6 x k x 7 13tgx 2sin2x(*) Ñaët t tgx

                          k x tgx t t t t t t t t t t

1 2

2 ( )( )

(*)

8 3sinx2cosx23tgx

2 tgx tgx x tgx x x tgx

3       

 cos cos cos ( )

3 k

x k2 x tg tgx x                      

 (k Z) tg

cos

8 sin x3 2 sin x

4 

 

 

 

  (*) C1 Ta coù : sin x

sin x cosx          

3 3

2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)

4 2

                      x x x x x x 2

1 (sin cos )3 sin (sin cos )3 sin

(*)      Vì : có ta cos cho trình phương vế hai Chia trình phương mãn thỏa không

cosx 3x

  Z) (k ) )( ( ) ( )

(            k 

4 x tgx x tg tgx x tg tgx

tgx 2

C2 (*) (sinx cosx)3 4sinx (sinx cosx)(sinx cosx)2 4sinx        x x x x x x x x x x

x 2

        

 (sin cos )( sin cos ) sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x

x 2

         

 cos ( sin ) sin ( cos ) cos (cos ) sin (cos )

Z) (k (loại) cos ) sin )(cos

(cos    

          k 4 x 1

tgx x2 2

0 x x 2 x2

9 4 4x x 4x  

cos ) sin

(sin 2x 4x

2 1

4   

 ( sin ) sin

3 x x x x 2 x

3 

          

(3)

Z) (k            k 12 x k x

10 2(sin x cos x) sin x cos x8     2cos x cos x sin x 2sin x8   

6 6

cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x

     

6 6

x m

cos2x cos2x cos2x 4 2

x m (m Z)

tgx

sin x cos x tg x x k

4                                       11.

8 10 10 5

sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x 4

   

10 8

2cos x cos x 2sin x sin x cos2x

     

8 8

cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x cos x cos2x sin x cos2x cos2x

4           8 8 cos2x k

cos2x cos x sin x 5 x

4 sin x cos x vo ânghieäm 4                       

12

4 x x 2    cos

sin 41 22x 41 2x

  

 

 ( cos ) ( cos )

0 x x x 4 x

4 2

        

 cos cos cos cos

1

cos2x cos cos2x (loại) 2x k2 x k (k Z)

2 3

  

               

13.tg4x 4tg2x   

2

tg x tg x tgx tg tgx tg x k x k (k Z)

4

   

   

                     

   

14 cos42x cos22x 



4 2

cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x (loại)

        

Z) (k sin         k x k x x

15 22x 4x    sin

cos 2x 4x

  



 ( sin ) sin

0 x x x

1    

 sin sin sin  sin   cos   k (kZ) x x x

16.cos x cos 2x 12    cos2x(2cos2x1)2 10 cos2x4cos4x 4cos2x110

4 2

4 cos x 5cos x cos x cos x (loại) cosx x k (k Z)

4



             

17 2cos4x 3cos2x   ) cos cos ( cos ) cos (

cos x 32 x x 34 x x

2 2 4

                                   5 2 x2 1 0 x 5 2 x 2 0 x 5 1 x 1 x 0 1 x 6 x

5 2

(4)

3 sin x cos2x cos x k x k2 (k Z) với cos

5



               

18 2sin2 x tg2x (1) 

 Điều kieän : cosx 0

C1 2 x x x x

x x x

2

1 2 2

2

2 sin cos sin cos

cos sin sin ) (       x x x x x x x x

2( cos2 )cos2 cos2 cos2 cos2 cos4 cos2 cos2

         

4 2 2

2cos x cos x cos x (loại) cos x 2cos x 2cos x

            

Z) (k cos         k x k x x

C2 tg x 2tg x tg x tg x 2tg x x tg x tg

1 2

2          ) (

4 2

tg x tg x tg x tg x (loại) tgx tg x k (k Z)

4

 

 

                

  19 8 x 13 2x

   cos sin x 26 x x 13 x

8 4

       

 sin ( sin ) sin sin

4 2 2 1

4sin x 13sin x sin x sin x (loại) 2sin x cos 2x

4 2

             

Z) (k cos

cos         

 k x k x x

20.3 4x 4x  

 sin cos

0 x x x 3 x x

3 2 4

         

 ( cos ) cos ( cos cos ) cos

                 

 21 x 20x 3 2 x2x 01

3 x

4 x 0

x 6 x

8 2

2 cos cos ) cos ( cos cos cos cos cos

cosx cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)

2 3

    

                     

21 tg2x g2x 

cot

x tg

1 x tg2 2

 

 (1) Điều kieän :tgx 0

(1) tg4x 2tg2x tg2x 12        ( )

tg x tgx tg x k (k Z)

4

 

 

           

  22 cos (1)

x x tg

4 2



 Điều kiện :cosx 0

4 2

(1) 4tg x tg x 4tg x tg x tg x tg x (loại)

           

tgx tg x k (k Z)

4

 

 

         

  23 sin8xcos8x81

8 x x x x x

x 4 4

4      

(5)

4

2 4

1 1 1

(1 sin 2x) 2(sin x cosx) sin 2x sin 2x sin2x

2 8

 

          

 

1 x x

2 x 8 x x x

1        

 sin sin sin sin sin sin

4 2

sin 2x 8sin 2x sin 2x sin 2x (loại)

        

0 x 

 cos      (k Z)

k x k x

24 2(1 sin2x) 5(sinx cosx)30 x x x x   

 

 (sin cos ) (sin cos )

3

sin x cosx sin x cosx (loại) sin x sin

2 4

 

 

           

 

3

x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)

4 4

    

                  

25 5(1sin2x)12(sinxcosx)70

0 x x

12 x x

5

  

 

 (sin cos ) (sin cos )

7

sin x cosx sin x cosx sin x sin sin x sin

5 4

  

   

                

   

3

x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z

2 4

  

                  

26 3 4x 2x 2x 4x  

 cos sin sin cos

27 2 cos x2 42 5 2 cosx 15 0

cosx cos x

   

    

   

   

28 cos x2 12 2 cosx1 cosx 2 0

cos x

   

    

   

   

2

1 cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx

cosx cosx cosx cosx

       

                

       

1 cosx (1) cosx (2)

cosx cosx

      .Điều kiện :cosx 0

nghiệm) (vô

cos

cos )

(1 x x

  

 



Z) (k cos

) (cos cos

cos )

(2  2x x10 x12 0 x1 xk2 

29 x 1x

x

x 2

2

cos cos

cos

cos   

2

1 1

cosx cosx cosx cosx

     

               

     

1

cosx (1) cosx (2)

cosx cosx

      .Điều kiện :cosx 0

nghiệm) (vô

cos

cos )

(1 2x x

  



Z) (k cos

) (cos cos

cos )

(2  2x x10 x12 0 x1 xk2  30 cos x2 12 2 cosx 1 1

cosx cos x

 

    

 

2

1

cosx 2 cosx

cosx cosx

   

        

(6)

2

1

cosx cosx

   

        

   

0 x x

1 x

x

  

   



cos cos

] cos

[cos

0 x x

2

  

 cos cos

1 5

cosx (loại) cosx cos x k2 (k Z)

2

 

           

31 2 cos x2 12 7 cosx cosx1 2 0

cos x

   

    

   

   

2

1 1

2 cosx cosx 2 cosx cosx

cosx cosx cosx cosx

        

                   

       

 

 

1

cosx (1) cosx (2)

cosx cosx

      Điều kieän :cosx 0

Z) (k

(loại)

cos cos

cos

)(     

 

    

        

 x k2

1 2 1 x

2 1 x 0

1 x 2 x

1

2

(2) 2cos x 3cosx cosx cos cosx (loại) x k2 (k Z)

2 3

 

             

Vậy nghiệm phương trình : xk2 v k2 (k Z)

x 32 sin x2 12 sin x 1 0

sin x sin x

   

   

   

   

2

1

sin x sin x

   

        

   

1

sin x (1) sin x (2)

sin x sin x

      Điều kiện :sinx 0

nghiệm) (vô

sin

sin )

(1 2x x

  



Z) (k sin

) (sin sin

sin )

(           k2 

2 x x

1 x

1 x x

2 2

33 4 sin x sin x12 4 sin x sin x1  0

   

2

1 1

4 sin x sin x sin x sin x 15

sin x sin x sin x sin x

        

                   

       

 

 

1

sin x (1) sin x (2)

sin x sin x

      Điều kiện :sinx 0

nghiệm) (vô

sin

sin )

(1 2x x

  



2

(2) 2sin x 5sin x sin x 2(loại) sin x sin

2

  

          

 

x k2 x k2 (k Z)

6

 

        

34 C1 :tg2x cotg2x 2(tgx cotgx) (*)  

(7)

Điều kiện : sin cos   sin     (kZ) k x x x x gx tgx 2 gx tgx     

 ( cot ) ( cot )

(*) tgx gx 2 tgx gx

  

 

 ( cot ) ( cot )

tgx cot gx (1) tgx cot gx (2)

      Z) (k ) ( )

(                k  x tg tgx tgx tgx x tg tgx tgx

1 2

) sin( sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin ) ( x x 2 x x x x x x x x

2              

7

2x k2 2x k2 x k x k (k Z)

6 12 12

   

                

Vậy nghiệm phương trình : k

x         k (kZ) 12 x k 12 x

C2 : Đặt t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx       

 tg2xcotg2x2

4 x g x tg

2 2

   cot         

 t2 4 t 2 tt 22

 Khi t2 tgxcotgx2 tg x 2tgx tgx

tgx

tgx 2

          ( ) Z) (k           k x tg tgx

 Khi t 4 tgxcotgx  4 x x x x

x x x

x sin2 cos2 sin cos sin cos cos sin         2sin2x sin2x sin

2              7

6 12 12

   

                

Vậy nghiệm phương trình cho : k

x        k (kZ) 12 x k 12 x

35 tg2x cotg2x 5(tgx cotgx) (*)   



Điều kiện : sin cos   sin     (kZ) k x x x x gx tgx gx tgx      

( cot ) ( cot )

(*) tgx gx tgx gx

  

 

( cot ) ( cot )

tgx cot gx (1) tgx cot gx (2)

     

nghiệm) (vô

)

( tg x tgx

tgx tgx         ) sin( sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin ) ( x x 2 x x x x x x x x

2              

7

6 12 12

   

                

Vậy nghiệm phương trình cho :       k (kZ) 12 x k 12 x

36 cos 3cotg x 4(tgx cotgx) (1) x

3

2     

(8)

0 gx tgx x g x tg gx tgx x g x

1 2

2            

 cot ( cot ) ( ) cot ( cot )

cos ) ( gx tgx gx tgx gx tgx x g x tg

3 2

           

 ( cot ) ( cot ) [( cot ) ] ( cot )

0 gx tgx gx tgx     

 ( cot ) ( cot ) (*)

Đặt : t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx       

 tg2xcotg2x2

4 x g x tg

2 2

   cot         

 t2 4 t 2 tt 22

2

(*) 3t 4t t t (loại)

       

Khi : x x x x 2x

x x x

x

t 2

           

 sin cos sin cos sin

sin cos cos

sin

2x k2 x k (k Z)

2

 

        

37 sin 2tg x 5(tgx cotgx) (1) x

2

2     

Điều kiện : sin cos   sin     (kZ) k x x x x gx tgx x tg x g

1 2

     

 ( cot ) ( cot )

) ( gx tgx gx tgx gx tgx x g x tg

2 2

           

 ( cot ) ( cot ) [( cot ) ] ( cot )

0 gx tgx gx tgx 2    

 ( cot ) ( cot ) (*)

Đặt :t tgx cotgx t2 (tgx cotgx)2 tg2x cotg2x 2tgxcotgx         x g x

tg2

   cot x g x tg

2 2

   cot         

t2 4 t 2 tt 22 (*) 2t2 5t 0 t t (loại)

2

      

Khi      (sin cos ) sin cos  sin  sin sin cos cos sin x x x x x 2 x x x x

t 2

2x k2

x k x k (k Z)

2x k2 2

  

   

           

     

38.(sin x cosx)  2(1 sin 2x) sin x cosx    2 0

3

(sin x cosx) 2(sin x cosx) sin x cosx

       

đặt t sin x cosx cos x 

 

     

  điều kiện: t 

Phương trình trở thành : t3 2t2 t 2 0 (t 2)(t +1) = 02 t = 2

       

39. 2(sin x cosx) tgx cot gx   sin x cosx 2(sin x cosx)

cosx sinx

     2(sin x cosx)sin x cosx 1 

đặt t sin x cosx cos x 

 

     

  điều kiện: t 

Phương trình trở thành : t3 t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 02 t = 2

(9)

40.sin x cos x sin2x sin x cosx3

   

(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx

     

2

t đặt t sin x cosx cos x sin x cosx

4

 

 

      

  điều kiện:t 

Phương trình trở thành :

3 2

t 2t  t 0   (t 1)(t + 2t 5) = 0   t = t = (loại)   t =

41.cosx 1 sin x 1 10

cosx sin x 3

   

1 10

(sin x cosx)

sin x cosx

 

    

 

2

t đặt t sin x cosx cos x sin x cosx

4

 

 

      

 

điều kiện:t  2.Phương trình trở thành :

3 2 19 19

3t 10t 3t 10 (t 2)(3t 4t 5) = t = t = t = (loại)

3

 

          

42.(cos4x cos2x)  5 sin3x

2 2

VT (cos4x cos2x)  (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ :

2 2 cosx 0

sin 3xsin x sin x x k2

sin3x

sin3x sin3x



     

     

  



  

 

43.(cos4x cos2x)  5 sin3x

2 2

VT (cos4x cos2x)  (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ :

2 2 cosx 0

sin 3xsin x sin x x k2

sin3x

sin3x sin3x



     

     

  



  

 

44.sin x cosx  2(2 sin3x) VT sin x cosx sin x

4 

 

      

  VP 2(2 sin3x)  Vậy phương trình tương đương với hệ :

x k2

sin x x k2 4

vo ânghieäm

4 m2

sin3x x

2 sin3x 6 3

 

        

    

      

 

  

 

       



 

Vậy phương trình cho vơ nghiệm 45.sin x sin x 113  14 

13 14 2

sin x sin x sin x sin x

    Vì cosx 1  cos x cos x13  ; sin x 1  sin x sin x14 

Vaäysin x sin x 113 14

(10)

13 2 11

14 2 12

cos x cos x cos x(cos x 1) cosx cosx x k x m

2

sin x sin x

sin x sin x sin x(sin x 1) x k2

 

            

  

     

   



 

  

   

    

46.sinxcosx  2(2 sin3x) (1)

VT sin x cosx cos x 

 

     

 

2 2 x 2

VP (  sin ) (  )

Vaäy (1) cos x cos x cos x (1) sin3x sin3x (2) 2(2 sin3x)

          

   

 

      

           

     

   



        

 k2

4 x k x 1)

( ( k  Z)

theá vào (2) ta có : sin3x sin k6 sin3

4

 

 

      

 

Vậy phương trình vô nghiệm 47.(cos4x cos2x)2 sin3x

  

4 x x x x

VT 2

 



( sin sin ) sin sin VP5sin3x514

Vaäy

  

     

  

 

  

 

  (2) 1xsinsin (1) sin sin

sin sin sinsin

sinsinsin)( 3

22 22 2

4x3 1x 1x3 1x 1x3 1xx3 4x35 4xx341

Khi sin   k2 (kZ)

x x

thế vào (2) ta có : sin3x 3 41 thỏa mãn

Khi sin    k2 (kZ)

x x

thế vào (2) ta có : sin3x 3411 không thỏa

Vậy nghiệm phương trình :   k2 (k Z)

x 48 . sin22x sinx 2cosx

 

 (1)

5 x

VT

 

 sin Dấu xảy  sin2x =    (k Z)

2 k

x (*)

5 x x

4 x x

VP 2

 

  

(11)

Daáu xảy  tgx 21

x

  cos sin

(**)

Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm 49. 3sin2x cos2x 3sinxcosx4 (1)

2 x x

3 x 2 x 2

3

1) sin  cos  sin  cos  (

cos sin2x sin cos2x sin sin x cos cosx sin 2x cos x

6 3

       

            

    (*)

Vì sin 2x  61

  vaø cos x 

 

 

 

  neân (*)

sin 2x 6 sin 2x sin k4 sin

6 x k2

3

x k2

cos x x k2 x k2 3

3 3

             

      

 

        

         

           



  

 

              

  

     



Vậy nghiệm phương trình laø : k2

x (k  Z)

50.cos2xcosx 1

2 x x

3

x x

3

 

  

 (cos cos ) cos cos (*)

Vì cos3 x cosx 1 neân (*)  

  

     

 

 1341x 2kx1x

1x3x4 1x 1x3 1x

3 coscos coscos

cos cos

cos (k  Z)

51.cos2xx2 1 (*)

Vì cos2 x x2 1 

 neân (*) 0x 0x10

1x2 11x

2

   

     

  coscos

(12)

Vì cos3x1 cosx1 nên (*)  

  

   

 

     

 

 1x134 2kx1x

1x3x4 1x 1x3 1x

3 coscos coscos

cos cos

cos (k  Z)

53.cos x cosx tg x 02    

2 cosx

(cosx 1) tg x

tgx  

     

 

Z) (k cos

sincos       

  

 

 xx 01 x 1 x 2k

54.4sin x 3tgx 3tg x 4sin x 02     

2

4sin x 4sin x 3tg x 3tgx

      

2 sin x 1/ (1)

(2sin x 1) ( 3tgx 1)

tgx / (2) 

 

      

  

(1) x k2 x k2 (k Z)

6

 

         vào (2) ta có nghiệm k2

x , (k  Z)

55.x2 2xsin x 2cosx 0

   

2 2

x 2xsin x sin x cos x 2cosx

      

0x

2kx 002k

2k 2kxxx 1x xx01x

xx2 2 

  

      

     

  

 cossin)(cos)sin sin sinsin

(

Vậy nghiệm phương trình :x = 56

2

x cos2x

(13)

2

2 x

x (1 cos2x) 0 x 2sin x 0 x 0

sin x

2

 

          

 

57.Đại học An Giang khối D năm 2000

2 2 3

sin x sin 2x sin 3x 2

  

cos2x cos4x cos6x cos4x(2 cos2x 1)

      

1 k

cos4x cos2x x x k

2

  

          

58 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999

1 1

2 sin x

4 sin x cosx 

 

  

 

 

2 sin x

sin x cosx

2 sin x 2 sin x



 



 

  

     

       

   

sin x sin x

2 sin x 4 4

4

sin x cosx sin 2x

2

2sin x cosx sin 2x sin x cosx

     

      

       

 

    

   



  

   



  

  

  

x k sin 2x sin

4

x k

sin2x 4

sin2x 2x 2k x k

2

   

       



 

 

      

 

  

         

   

59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999

cosx cos2x cos3x cos4x 0   

5x x 5x x

4cosx.cos cos cosx cos cos

2 2

       

2k

x k x x 2k

2 5

  

          

3 5

sin x cos x 2(sin x cos x)  

3 2 5

(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)

    

3 2 5 2 2

sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)

       

3

cos2x cos2x cos2x k

co2xsin x cos2x cos x x

sin x cosx tgx

sin x cos x

  

    

          

 

  



2 2

sin x cos 2x cos 3x 

1 cos2x cos4x cos6x (cos2x cos4x) (1 cos6x) 0

2 2

  

(14)

2

2cos3x cosx cos 3x 2cos3x(cosx cos3x) cos3x.cos2x.cosx

       

k k

cos3x cos2x cosx x x x k

6 2

    

               

62 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999

6 8

sin x cos x 2(sin x cos x)  

6

sin x(1 2sin x) cos x(2cos x 1)

    

6 k

cos2x(sin x cos x) cos2x x

4

 

       

sin x cosx sin x cosx 2   

Bình phương vế ta cos2x sin2x x k



    

64 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000

6 13

cos x sin x 8

 

2

cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6)

   

1 k

cos2x cos2x (loại) cos2x x x k

2

  

            

1 3tgx 2sin 2x (*) 

Đặt : t tgx . (*) 3t 4t2 (1 3t)(1 t ) 4t2 3t3 t2 t

1 t

           



2

(t 1)(3t 2t 1)

     t x k

4        66 Học Viện Quân Y khối B năm 2001

3sin x cosx 3tgx  

3tgx cosx cosx 3tgx cosx(3tgx 2) 3tgx

        Ñaët : t tgx

3tgx tgx / tg x k

cosx cosx x 2k

       

  

     

   

  

67 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000

3

4 cos x sin2x 8cosx 

3

4 cos x sin x cosx 8cosx cosx(2 cos x sin x 4)

      

2

2cosx(2sin x sin x 2) cosx sin x (loại) sin x

         

3

x k x 2k x 2k

2 4

  

           

68 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001

(15)

2

2 2

2

1 t 2t 2t

(*) t t tg x sin x cos x

2t t t t



          

 

k cos2x (thỏa mãn điều kiện) x

4

 

    

69 Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001

3

sin x 2 sin x (*)

4 

 

 

 

 

Đặt : t x 4 x t  4

3

(*) sin t sin t sin t sin t cost sin t(1 cot t) sin t cost



 

          

 

cost cost

cost(1 sin t cot t) t k x k

sin t cost sin 2t (vônghiệm)

 

   

              

 

 

70 Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000

4

4(sin x cos x)  3 sin 4x 2

2

1

4 sin 2x sin 4x 2sin 2x sin 4x 2

 

        

 

1

cos4x sin 4x cos4x sin 4x cos 4x cos

2 2 3

 

 

         

 

2 k k

4x 2k x x

3 12

     

          

71 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997

2

4 cos x cos3x 6cosx 2(1 cos2x)   

2

4 cos x (4 cos x 3cosx) cosx cos x

    

3

4cos x 3cosx cosx(4cos x 3) cosx x k 

           

72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000

sin2x 4(cosx sin x) m  

a) Giải phương trình treân m 4

b) Với giá trị m phương trình có nghiệm? Giải

a) Khi m 4 , phương trình có dạng :

sin2x 4(cosx sin x) 4    (1 sin 2x) 4(cosx sin x) 0    

2

(cosx sin x) 4(cosx sin x)

     

cosx sin x

2 cos x x 2k x 2k

cosx sin x (vônghiệm)

 

   

             

   



b) sin2x 4(cosx sin x) m (cosx sin x)2 4(cosx sin x) m (*)

         

Đặt : t cosx sin x   cos x 4  t 

 

2

(16)

Neáu / 5 m 0 m 5

       phương trình vô nghiệm

Nếu / 5 m 0 m 5

       phương trình có hai nghiệm

/ /

1

t  2   t    2 (loại)

Vậy phương trình có nghieäm

/ / /

1

2 t 2 2 2 6

                

6 m 4 m

            

72 Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001

sinx cosx cos2x 2sin x cosx 0   

2

sinx 2sin x cosx(1 sin x)

     

sinx sinx

(1 sinx)(2sin x cosx 1) 2(sin x cosx) 1 sin x sin

4 2

 



 

               

   

 



x 2k x 2k x 2k

2 4

  

                Trong  góc có sin

2   73 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997

4

cos x sin x cos2x 

4 4

cos x sin x cos x sin x sin x sin x

      

4

2

sinx

sin x(sin x 1) x k

1 sin x (vo ânghieäm) 



       

 



74 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997

x 3x x 3x

cosx.cos cos sin x.sin sin

2  2 2

1cosx(cosx cos2x) 1sin x(cosx cos2x)

2 2

    

2

cos x cosx cos2x sin x cosx sin x cos2x cosx cos2x sin x cos2x sin x sin x cosx

        

cos2x(cosx sin x) sin x(sin x cosx) (cosx sin x)(cos2x sin x)

       

2

(cosx sin x)(1 2sin x sin x) (cosx sin x)(2sin x sin x 1)

         

1

tgx sin x sin x x k x 2k x 2k x 2k

2 6

   

                     

2 2

sin 3x sin 2x sin x 0  

2

1 cos6x cos2x sin 2x 0 1(cos2x cos6x) sin 2x 0

2 2

 

       

2 2

sin 4xsin 2x sin 2x 2sin 2x cos2x sin 2x sin 2x(2 cos2x 1)

        

1 k

sin 2x cos2x x x 2k

2

 

         

(17)

cos2x cos3x sin2x cos3x 2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x

sin 2x sin3x cos2x sin3x

 

       

 

2

3

2sin x cosx 2sin x(cos2x cos x) sin x (loại) sin2xsin3x sin3x cos2x sin2xsin3x cos2x



      đk

sin 2x 0

Vậy phương trình vô nghiệm

77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997

3

sin xsin 2x sin3x 6cos x 

2 3

2sin x cosx 3sin x 4sin x cos x

   

3 2

tg x 2tg x 3tgx (tgx 2)(tg x 3) tgx tg tgx

              

x k x k

3         

78 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1998 Xác định a để hai phương trình sau tương đương

2cosx cos2x cos2x cos3x  

2

4 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)    

Giaûi

 cosx cos2x cos2x cos3x    cos3x cosx 2cos x cos3x    cosx 2cos x cosx cosx 1/

   

 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)2     

2

4 cos x (4 cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x

     

3

4cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx cosx(2 cosx 1)(2 cos x a 3)

          

1 a

cosx cosx cosx

2



     

Hai phương trình sau tương đương

a 1 a 1 a 0 a a a a a 4

2 2 2

   

                

79 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001

Xác định a để phương trình sau có nghiệm : sin x cos x a sin2x6  

Giaûi

6 2

sin x cos x a sin 2x sin 2x a sin 2x 3sin 2x 4a sin2x (*)

       

Đặt : t sin 2x  t 1  (*) 3t2 4at 0 

Với t ta co ùf(0) 4 0  phương trình (1) ln có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

1

t 0 t

Như , phương trình cho có hai nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn

1

t 0 t  1 f(1) 0  4a 0   a 1/ 4

80 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B

2 2

(18)

1 cos6x cos6x cos10x cos12x

2 2

   

   

(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) cosx(cos11x cos7x) cosxsin 9xsin 2x

         

k k

sin 2x cos9x x x

2

 

       

81 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D

Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình :cos3x cos2x 3cosx 0   

Giaûi

3

cos3x 4cos2x 3cosx 0     4cos x 3cosx 4(2cos x 1) 3cosx 0     

3 2

4cos x 8cos x cos x(cos x 2) cosx cosx (loại) x k 

             

Vì x0;14  k k k k 3      

Vậy nghiệm phương trình là:x x x x

2 2

   

      

82 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A Tìm x thuộc đoạn x0;2nghiệm phương trình :

cos3x sin3x

5 sin x cos2x (*)

1 2sin 2x 

 

  

 



 

Giải Điều kiện : 2sin 2x 0   sin 2x 1/ (a)

 

(*) sin x 2sin xsin 2x cos3x sin3x   (cos2x 3)(1 2sin 2x) 

 

5 sin x cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)

       

 

5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)

     

 

5cosx 2sin 2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 5cosx cos x

          

2

2cos x 5cosx cosx (loại) cosx 1/ (thỏa đk (a))

       

x 2k

3 

    Vì x0;2  nghiệm phương trình là:x x

3

 

  

2 x 2 x

sin tg x cos (*)

2



 

  

 

 

Điều kiện : cosx x k 

    

2

1 cos x cos x

1 cosx sin x cosx

2

(*) tg x 0

2 2 cos x

 

   

       

 

   

       

2

1 sin x sin x. cosx 0 sin x cosx 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0

2 sin x 2(1 sin x)

  

          

 

(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sin x) (1 cosx)(sin x cosx)

          

cosx tgx x 2k x k

4 

(19)

2

cotgx tgx 4sin 2x (*)

sin 2x

  

Điều kiện : sin 2x 0  x k2

cosx sin x 2 cos2x

(*) 4sin2x 4sin 2x

sin x cosx sin2x sin2x sin 2x

      

2 2

2cos2x 4sin 2x cos2x 2(1 cos 2x) cos 2x cos2x

          

cos2x (loại) sin 2x sin2x

x k

cos2x 1/

   

 

     

 

2

5sin x 3(1 sin x)tg x (*)  

Điều kiện : cosx 0  x2 k

2

sin x sin x

(*) 5sin x 3(1 sin x) 5sin x 3(1 sin x)

cos x sin x

       



2

3sin x

5sin x (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x sin x

          



1

sin x (loại) sinx x 2k x 2k (thỏa mãn đk)

2 6

 

           

(2cosx 1)(2sin x cosx) sin2x sin x    (2 cosx 1)(2sin x cosx) 2sin x cosx sin x

    

2cosx cosx 1/ (2 cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2cosx 1)

sin x cosx tgx

  

 

        

  

 

x 2k x k

3

 

       

86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D

3cosx cos2x cos3x 2sin xsin 2x   

2

3t 2t 4t 3t 4(4 t )t (t cosx)

        

2 t cosx

2t 2t x k x 2k

t cosx

 

  

              

 

 

87 Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A

4 x x

cos sin sin 2x

2 2 

2 x x

cos sin sin2x cosx 2sin x cosx

2

    

cosx x k x 2k x 2k

sinx 1/ 2 6



   

             

 

(20)

2

(2sin x 1)(2sin 2x 1) cos x   

2sin xsin2x 2sin x 2sin 2x 4(1 sin x)

      

2

8sin x cosx 2sin x 4sin x cosx 4sin x sin x 4sin x cosx cosx 2sin x

         

x k sin x

5

4sin x cosx 2(sin x cosx) x 2k x 2k x 2k x 2k

6

  



 

      



                  



5

x k x 2k x 2k x 2k x 2k

6

   

                  

89 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A

Cho phương trình :4cos xsin x sin x cosx sin 4x m (*)5    Biết x  nghiệm (*) Hãy giải phương trình (*) trường hợp

Giải

4 2

4sin x cosx(cos x sin x) sin 4x m    2sin2x cos2x sin 4x m   sin 4x sin 4x m (1)  

Vì x  nghiệm phương trình (*) nên x  nghiệm phương trình (1) Nghĩa :sin 4x sin 4  0 từ (1) m 0

Vậy phương trình trở thành : sin 4x sin 4x 02    sin 4x 1sin 4x 0  xk4 x 8 k4 



90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

Cho phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4      Giaûi

4 6 2 2

4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m sin 2x sin 2x sin 2x m

2

   

            

   

2

4t 3t m (t sin 2x t 1)

       Ñaët :

2 / /

f(t) 4t  3t f (t) 8t 3;f (t) 0    t 3/ 8  f(3/ 8)9/16

Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn 0;1 ta có : f(0) ; f(1) 1 

Vậy phương trình có nghieäm : m 16

  

91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A Cho phương trình :cos4x cos 3x asin x2

 

a) Giaûi phương trình a 1

b) Xác định tham số a để phương trình cho có nghiệm x khoảng 0;12  

 

Giaûi

a) cos4x cos 3x asin x   2cos 2x 12  1 cos6x 2  a1 cos2x 2 

 

2

4 cos 2x cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)

      

3 2

a(t 1) 4t 4t 3t (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)

(21)

Khi a 1 phương trình trở thành :

2 k

(t 1) (t 1)(4t 3) t cos2x 2x k x



            

b) cos4x cos 3x asin x2 a(t 1) (t 1)(4t2 3) (*) (t cos 2x)

       

3

x 0; x 2x cos2x t

12 12 2

  

 

            

 

 

2 / 3

(*) a 4t f(t) f (t) 8t với t ;1 f ; f 1

2

   

            

   

   

Lập bảng xét dấu đạo hàm khoảng 23 ;1

  ta thấy phương trình có nghiệm

0 a 1 

92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D

2

2tgx cot gx 3

sin 2x

  

2sin x cosx 3 (1) cosx sin x sin x cosx

   

Điều kiện : sin x cosx 0  sin x 0cosx 0  

2 2

2sin x cos x sin x cosx 1 sin x sin x cosx sin x sin x cosx

         

sin x (loại)

tgx x k

3 sin x cosx



 

       

 

93 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994

2

4sin 2x 6sin x 3cos2x (*) cosx

  



Điều kiện : cosx 0

2

(*) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 3cos2x 0       cos 2x 3cos2x 0  

2

cos2x 1 cos2x 2cos x cosx (loại) x k

cos2x 1/ cos2x 1/ cos2x 1/ cos2x 1/

     

   

           

   

   

94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996

Tìm nghiệm phương trình :sin x cos x cos2x (1)4  

thoûa mãn bất phương trình : 2

1 log (2 x x ) (2)   

Giaûi

 sin x cos x cos2x4 1sin 2x cos2x2 cos 2x 2cos2x 02

        

cos2x x k

(22)



2

1 2

1

2

1 x

2 x x 2 x x 0 1 x 2

1 log (2 x x ) log (2 x x ) 1 x

1 x

x x x 0

   

         



  

                 

 

  



  

 

 Nghiệm (1) thoûa (2) 1 k   1 k  20 k 0

 Vaäy x



95 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1994

cos3x 1  3 sin3x

2 2

1 sin3x sin3x /

cos 3x sin3x 3sin 3x 4sin 3x sin3x

    

 

   

    

 

 

k

sin3x 3x k x

3 

      

3 1

sin x cosx cos xsin x 4

 

2 1 1

sin x cosx(sin x cos x) sin 2x cos2x sin 4x

4 4

        

k

sin 4x 4x 2k x

2

  

        

4 2

3cos x cos xsin x sin x 0  

4 2

tg x 4tg x tg x tg x

       

tgx tgx x k x k

4

 

           

3

sin x 2 sin x 4



 

 

 

 

3

1 (sinx cosx) sin x (sin x cosx) 4sin x

 

       

 

3

3 3

3

sin x cosx 4sin x (tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 4tgx 4tg x

cosx cos x



 

             

 

3 3

3tg x 3tg x tgx tg x 3tg x 3tgx 4tgx 4tg x

          

tgx tgx x k x k

4

 

           

99 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh năm 1998

2

1tg x 2 5 0

(23)

2

1 1 0 4 0

2 cos x cosx cos x cosx

 

         

 

2

1 2 0 cosx x 2k

cosx



 

          

 

100 Đại Học Y Dược Hà Nội năm 1996

0,25

x x

log sin sin x log sin cos2x 0

2 2

   

   

   

   

4

x x

log sin sin x log sin cos2x

2

   

       

   

2

cos2x sin x 2sin x sin x sin x sin x 1/ sin x 1(loại) sin x 1/

x x x x

sin sin x sin sin x sin sin x sin sin x

2 2

          

  

   

       

       

   

   

1

sinx x 2k x 2k

2 6

 

         

101 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995

2

tg2x cot gx 8cos x 

sin 2x cosx 8cos x (*) cos2x sin x

   Điều kiện : cos2x

sin x  



 

2 cosx

sin2xsin x cos2x cosx

(*) 8cos x cosx 8cos x cos2xsin x

8cosx cos2xsin x cos2xsin x

 



     

 

cosx cosx cosx

(thỏa mãn điều kiện ) 4cos2xsin 2x 2sin 4x sin 4x 1/

  

  

     

  

  

k k

x k x x

2 24 24

    

         

2

(sin 2x cos2x) cos 2x 

 

     

 

2

1

4( sin2x cos2x) cos 2x

2 2



 

      

  Điều kiện

2

4cos 2x cos 2x cos 2x 5/ (loại) cos 2x

2 2

   

       

                

       

7

2x 2k x k

6 12

 

        

103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 a)3(cot gx cosx) 2(tgx sin x)   5

(24)

Điều kiệnsin x 0cosx 0  

cosx sin x

(*) 3(cot gx cosx 1) 5(tgx sin x 1) cosx sin x

sin x cosx

   

                

   

cosx sin x cosx sin x sin x sin x cosx cosx

3

sin x sin x

   

   

     

   

cosx sin x cosx sin x (1)

3

(cosx sin x cosx sin x) 3 5

sin x cosx (2)

sin x cosx

  



  

      

 

 



2 t

(1) t 2t (t sin x cosx sin x t 2)

4 t (loại)

    

            

 

  

1

sin x sin x 2k x 2k

4 4

   

 

                  

 

3

(2) tgx tg x k

sin x cosx

         

tgx cot gx 2(sin 2x cos2x)  

Điều kiện :cosx 0sin x 0  sin2x 0 



sin x cosx

tgx cot gx 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x)

cosx sin x sin x cosx

         

2

2 2(sin2x cos2x) 1 sin2x(sin 2x cos2x) 1 sin 2x sin 2x cos2x sin 2x

        

2 cos2x k k

cos 2x sin2x cos2x (thoûa mãn điều kiện) x x

tg2x



    

         

 

105 Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1995 khối D

2

sin x sin x sin x cos x (*)   

Điều kiện :sin x 0

2

(*) sin x sin x cos x cosx sin x sin x cos x cosx

4

         

1 2

sin x cosx

1

2 sin x cosx cosx sin x 1

2



  

  

   

          

          

(25)

2

cosx cosx 0

cosx cosx

sin x sin x 1 5

sin x cos x sin x sin x sin x (vìsin x 0)

sin x

cosx sin x cosx sin x cosx 1 x 2k

   

      

  

        

        

  



   

      

      

 



x 2k x 2k

       

106 Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A

1 1 1

cosx sin 2x sin 4x 

Điều kiện :sin 4x 0

1 1 1

cosx sin2x sin 4x   cosx 2sin x cosx 2sin x cosx cos2x 

2

2sin x cos2x cos2x 2sin x cos2x cos2x 2sin x cos2x 2sin x

        

sin x (loại)

2k

x x 2k

cos2x sin x cos x

2 



  



          

    

  



107 Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A

1 cosx cos2x cos4x cos8x

16  (*) Xét sinx = phương trình không thỏa

Vậy (*)  sin x cosx cos2x cos4x cos8x sin x

16 

2k 2k

sin16x sin x x x

15 17 17

  

      

108 Đại Học Kinh Tế năm 1994 Cho phương trình :

6

2

cos x sin x 2mtg2x cos x sin x



 

a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Giải phương trình m 18

Giaûi

6 6

2

cos x sin x 2mtg2x cos x sin x 2msin2x (*)

cos2x cos2x

cos x sin x

 

  

 Điều kiện :cos2x 0

6 2

cos x sin x 2msin2x sin 2x 2msin2x sin 2x 8msin2x (1)

         

Đặt

2

2 /

2

3t 3t

t sin 2x ( t 1) (1) 3t 8mt 8m f(t) f (t)

t t

   

              

(26)

Vậy phương trình có nghiệm : 8m8m 1 1 mm 1/ 8 1/

 

 

b) Vậy m18 phương trình vơ nghiệm 108 Đại Học Kinh Tế năm 1995

2

cosx(2sin x 2) cos x 1 (*) sin 2x

  



 Điều kiện :sin 2x

1 x k

4 

    

2

(*) sin 2x cosx 2cos x 1 sin 2x      2cos x cosx 0  

cosx (loại)

x k x 2k (loại) x k

4 4

cosx /

    

             

 

109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995

4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1)  

2

8sin x cosx 3(1 2sin x) 12sin x

    

2 2

sin x sin x(4cosx 3sin x 6)

4cosx 3sin x (vô ngghiệm a b 25 c 36) 



     

     



x k

  

2

tg x tgx.tg3x 2 

Điều kiện :cosx 0cos3x 0  

2

2 sin xsin 2x 2sin x cosx

tg x tgx.tg3x tgx(tgx tg3x) 2

cosx cosx cos3x cosx cosx cos3x

 

        

2 4

sin x cosx cos3x cos x 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x

          

2 k

(2cos x 1) cos2x 2x k x (thoûa mãn điều kiện)

2

  

           

3

tgx cot gx cot g 2x 

Điều kiện :cosx sin x 0sin2x 0    sin 2x 0  xk2 



3 sin x cosx cos2x 3

tgx cot gx 2cot g 2x 2cot g 2x cot g 2x cot g2x cot g 2x

cosx sin x sin 2x

          

2 k

cot g2x cot g 2x (loại) 2x k x (thỏa mãn điều kiện)

2

  

          

112 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4     

Giải

Ta có : sin x cos x4 1(3 cos4x) ; sin x cos x6 1(5 3cos4x)

4

(27)

Khi phương trình có dạng :

2

1

3 cos4x (5 3cos4x) sin 4x m 2cos 4x cos4x 2m Đặt : t cos4x t

           

Phương trình có daïng : f(t) 2t2 t 2m f (t) 4t 0/ t

4

         

Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn t 1 ta có : f( 1) ; f(1) ; f

4

 

     

  Dựa vào ta suy phương trình có nghiệm   98 2m 2   169 2m 1 113 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1997

1

2 sin x (*)

4 sin x cosx



 

  

 

 

Điều kiện :cosx 0sin x 0  sin2x 0  xk2 



sin x cosx tgx sin x cosx

(*) 2(sin x cosx)

sin 2x sin 2x sin x cosx

  

 



      

 

 

n

x k 2x 2m x k x m x

4 4

     

                  

1 2tgx cot g2x 2sin2x

sin2x

  

Điều kiện :cosx 0sin2x 0  sin2x 0 



2

sin x cos2x sin xsin 2x

2 2sin2x cos2x 2sin 2x

cosx sin2x  sin2x  cosx    

2 2

4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 2(1 cos2x) cos2x cos 2x

           

2 cos2x (loại) (vìsin2x 0)

2cos 2x cos2x cos2x

cos2x 1/ 2

 



       

 

2

2x 2k x k

3

 

       

115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1998

cos4x 6sin x cosx 1 

2 sin2x

1 2sin 2x 3sin2x sin2x x k

sin2x 3/ (loại)



 

          

 

2 2

sin x cos 2x cos 3x 

1 cos2x cos4x cos6x cos2x cos4x cos6x 0

2 2

  

       

2

2cos3x cosx 2cos 3x 2cos3x(cosx cos3x) 4cos3x cos2x cosx

(28)

x k x k x k

6 2

    

         

117 Đại Học Luật Hà Nội năm 1995

4

cos x sin x 1

4 

 

    

 

2 cos 2x

1 cos2x 1

2

   

   

 



    

    

 

 

 

 

2

(1 cos2x) (1 sin 2x) cos2x sin 2x cos 2x

2 

 

            

 

1

cos 2x x k x k

2 2

  

 

           

 

118 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995

3

3sin3x 3 cos9x 4sin 3x 

3

3sin3x 4sin 3x cos9x sin 9x cos9x

      

1sin 9x 3cos9x sin 9x x k2 x k2

2 2 18 54

    

 

             

 

119 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995: sin 5x 1

5sin x 

sin 5x 5sin x (sinx 0) sin 5x 5sin x

    

sin5x sin x 4sin x 2cos3xsin2x 4sin x 4cos3xsin x cosx 4sin x cos3x cosx

        

2

cos4x cos2x 2 cos 2x cos2x cosx 3/ (loại) cos2x

          

2

1 cos2x 2sin x sin x (loại)

      

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

120 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995

4cosx 2cos2x cos4x 1  

2

4 cosx cos2x cos4x cosx cos2x cos 2x

      

2 cosx

4cosx cos2x(1 cos2x) 4cosx 4cos2x cos x

cos2x cosx 



      

 

 cosx x k

2 

    



2

cosx cosx

cos2x 2cos x 1

cos2x cosx cosx x 2k

cosx cosx

(vo ânghieäm)

cos2x cos2x

 

  



 



  

 



       



   



  

  

  

 

(29)

8 17

sin x cos x cos 2x 16

 

4 4 17

(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x 16

   

2

2 2

1 17

1 sin 2x sin 2x cos 2x (*) Đặt : t sin 2x t

2 16 16

 

         

 

2

2 t (loại)

t 17

(*) t (1 t) 2t t sin 2x

t 1/

2 16 16

 

 

              



  

2

1 2sin 2x cos4x 4x k x k

2

  

           

122 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995

3

2 cos x cos2x sin x 0  

3 2

2cos x 2cos x sin x 2cos x(1 cosx) (1 sin x)

         

(1 sin x)(cosx sin x)(cosx sin x 2) (1 sin x)(cos x sin x)

         

sin x

x k2 x k

tgx



  

         

 

123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997

9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8   

9sin x cosx 6sin x cosx 2sin x

     

2

2sin x 9sin x 6cosx(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) cosx(sin x 1)

           

sin x

(sin x 1)(2sin x 6cosx 7) x 2k

2sin x 6cosx (voâ nghieäm) 

 

          

 

 124 Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 1997

5cosx cos2x 2sin x 0  

2

sin x 5cosx cos2x 2sin x

5cosx (2 cos 1) 4sin x 



    

  



2 2

sin x sin x sin x

cosx (loại) cosx 1/ 5cosx (2cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx

  

  

     

  

       

 

sin x sin x / tgx 3 x k

cosx 1/ cosx 1/

 

  

         

 

 

125 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D

2

(3 2sin x)cosx (1 cos x) 1 sin2x

  



 (*)

Điều kiện :sin 2x1

2

(*) 3cosx sin2x cos x sin2x      cos x 3cosx 0    cosx cosx (loại)   cosx (thỏa đk) x 2k

    

126 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1994

6

16(sin x cos x 1) 3sin6x

(30)

2

3

16 sin 2x 3(3sin2x 4sin 2x)

 

       

 

3 2

4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3)

       

2

sin2x(4sin 2x 4sin 2x 3) sin 2x sin2x 1/ sin2x 3/ (loại)

         

k

x x k x k

2 12 12

  

         

127 Đại Học Tài Chính – Kế tốn năm 1997

(1 tgx)(1 sin 2x) tgx (*)     Điều kiện :cosx 

2

(cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

(*) (cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

cosx cosx

  

      

2

cosx sin x tgx

x k x k

cos2x

cos x sin x

  

  

          



  



128 Đại Học Xây Dựng Hà Nội năm 1994

6

sin x cos x sin 2x 

2

3

1 sin 2x sin2x 3sin 2x 4sin 2x 4

      

sin 2x (loại)

x 2k x 2k

sin 2x 2/ sin 



           

  



129 Trung Học Kinh Tế năm 2002

cos4x sin x sin 7x cos2x  

cos4x cos2x sin 7x sin x 2cos3x cosx 2sin 4x cos3x

     

cos3x sin 4x cosx sin x 

 

       

 

130.2 2(sin x cosx)cosx cos2x  

2

2 sin 2x 2cos x cos2x

   

2 2

2 sin 2x ( 1)cos2x phương trình vô nhgiệm a b c