Đang tải... (xem toàn văn)
Muèn cã nh÷ng tri thøc ®ã con ngêi cÇn ph¶i häc, nhµ trêng lµ mét trong nh÷ng n¬i cung cÊp nh÷ng hµnh trang ®ã. Muèn ®¹t ®îc ®iÒu ®ã ph¶i ®ßi hái tÝnh tÝch cùc, tÝnh t duy cña ngêi häc [r]
(1)SKKN : 2008 –2009 -GV : NGUYEÃN XUÂN CHUYÊN -THCS NGUYỄN THề MINH KHAI - BMT A Đặt vấn đề
Với xu phát triển xã hội nói chung phát triển khoa học nói riêng, ngời cần phải có tri thức, t nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống hàng ngày Muốn có tri thức ngời cần phải học, nhà trờng nơi cung cấp hành trang Bộ mơn tốn trờng trung học sở, môn đại số mơn rèn luyện tính t nhạy bén học sinh, địi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới góc độ phải liên hệ toán giải,những kiến thức biết để giải quyết.vì ngời thầy phải cho học sinh nắm đợc dạng toán hớng mở rộng tốn Từ để học sinh phát triển t hình thành kĩ giải tốn Muốn đạt đợc điều phải địi hỏi tính tích cực, tính t ngời học nhng phơng pháp ngời thầy quan trọng,làm cho học sinh học nhng làm đợc hai ba Từ toán đơn giản mở rộng lên khó
Khi tính tốn phép tính đa thức,nhiều cần thiết phải biến đa thức trở thành tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phơng trình, quy đồng mẫu thức phân thức,biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phơng pháp, ngồi ba phơng pháp nh : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng đẳng thức ta cịn có phơng pháp khác nh tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác giảng dạy ngời giáo viên giúp học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để phát huy đợc trí lực học sinh, phát triển đợc t toán học
Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dỡng thêm cho học sinh phơng pháp khác sách giáo khoa Đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp em biết lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải tốn khó Vì vậy, tơi nêu phơng pháp phát huy trí lực học sinh qua việc dạy, giải tập áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân t
B Nội Dung
Phần I: Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1 Các phơng pháp
a Phơng ph¸p
- Tìm nhân tử chung đơn,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác
- ViÕt nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng )
b VÝ dô:
15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 )
(2)xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)
2.Phơng pháp dùng đẳng thức a Phơng pháp:
- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
b VÝ dô:
9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)
-27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4)
25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2
3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. a Phơng pháp
- Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm
- áp dụng tiếp tục phơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức
b VÝ dô:
2x3 - 3x2 + 2x - = (2x3 + 2x) - (3x2 + 3)
= 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)
= (x2 +1) (2x - 3)
x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4)
4 Phèi hỵp nhiỊu phơng pháp
a Phơng pháp: - Chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên + Đặt nhân tö chung
+ Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử
b VÝ dô:
3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4)
=3x (y -2 )2
3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy
=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)
=3xy 2
(x 2x 1) (y 2ay a )
=3xy x 1 2 y a 2
=3xy x 1 y a x 1 y a
=3xy( x-1 - y - a)(x - + y +a )
5 Phơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a Phơng pháp:
Tỏch mt hng t thnh hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung.
(3)SKKN : 2008 –2009 -GV : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS NGUYỄN THỊ MINH KHAI - BMT
Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử
* C¸ch 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x +
= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * C¸ch 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + -
= ( x - 3)2 - 1
=( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2)
* C¸ch 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12
=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)
* C¸ch 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4)
=(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * C¸ch 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2)
=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)
Tuy r»ng cã nhiỊu c¸ch tách nhng thông dụng hai cách sau:
*Cách 1: Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhõn t chung mi
áp dụng phân tÝch tam thøc bËc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau:
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên mäi c¸ch - Chän hai thõa sè cã tỉng b»ng b
Khi hạng tử bx đợc tách thành hai hạng tử bậc Ví dụ: 4x2 - 4x - 3
- TÝch ac lµ 4.(- 3) = - 12
- Phân tích -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 = -3 =3 (-4) - Chọn thừa số có tổng : - (- 6)
4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1)
=(2x + 1)(2x - 3)
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng
VÝ dơ: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22
= (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2
= ( 2x - - x)(2x -2 + x ) = (x - )(3x -2)
6 Phơng pháp thêm bớt mét h¹ng tư.
a Phơng pháp : Thêm bớt hạng tử để đa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thờng hay đa dạng
a2- b2 sau thªm bít
b VÝ dơ:
(4)=( 2x2 + 9)2 - (6x)2
= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x)
x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)
= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)
II Các ph ơng pháp kh¸c:
1 Phơng pháp đổi biến số( Đặt ẩn ph ) a Phng phỏp:
Đặt ẩn phụ đa dạng tam thức bậc hai sử dụng phơng pháp
b Ví dụ:
* Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử
t x2 = y ta đợc 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3)
VËy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3)
* Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tö.
đặt x2 + x = y ta đợc y2 + 4y + = (y +1)(y+2)
VËy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)
2 Phơng pháp hệ số bất định
a Phơng pháp:
Phõn tớch thnh tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức
này với hệ số đa thức
b.Ví dụ:
Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử.
Nu đa thức phân tích đợc thành nhân tử tích phải có dạng (x+a)(x2 + bx + c) = x3 + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac
Vì đa thức đồng nên: a+ b = ab + c = -19 ac =-30 Chọn a = 2, c = -15
Khi b = -2 thoả mãn điều kiện Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)
3 Phơng pháp xét giá trị riêng. a Phơng pháp:
(5)SKKN : 2008 –2009 -GV : NGUYEÃN XUÂN CHUYÊN -THCS NGUYỄN THỊ MINH KHAI - BMT b.VÝ dô
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z(x - y) thay x bëi y th× thÊy
P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = nh vËy P chøa thõa sè (x -y)
Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x - y) chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - x) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).
đúng với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z =
ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2)
k =-1
VËy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
c)Ngồi ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong a,b,c có vai trị nh biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng a,b,c nhng F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a.
c1)VÝ dô 1: Phân tích thành nhân tử
F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+b2(c-a) = 0,do F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-c).
Tơng tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có
1+1 = k.1.1.(-2) k = -1 VËy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)
c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz
- Khi x = -y F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y
Lập luận tơng tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x)
4 Phơng pháp tìm nghiệm đa thức: a Phơng pháp:
Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Nh đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ớc hệ số tự
VÝ dô: x3 + 3x - 4
Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử lại có dạng (x2 + bx + c)
(6)Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử khơng đổi
¦íc cđa (- ) lµ (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức
đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1)
*C¸ch 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)
= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2
*C¸ch 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1)
= ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)
= ( x - 1)(x + 2)2
Chó ý:
- Nếu đa thức có tổng hệ số không đa thức chứa nhân tử (x-1)
-Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thøc cã chøa nh©n tư ( x + 1)
VÝ dơ:
* §a thøc: x2 - 5x + 8x - cã - + - = 0
§a thøc cã nghiƯm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *§a thøc: 5x3 - 5x2 + 3x + cã -5 + =1 + 3
Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chøa thõa sè ( x + 1)
+ NÕu đa thức nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạngp
q p ớc hạng tử
không đổi, q ớc dơng hạng tử cao
VÝ dô: 2x3 - 5x2 + 8x - 3
NghiƯm h÷u tû nÕu cã cđa đa thức là: (-1), 1, (
2
),
2, (
),(3
2) (- 3), Sau
kiểm tra ta thấy x= a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1)
2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3
= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)
= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
5 Phơng pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a.Phơng pháp:Tam thức bậc hai ax2 + bx + c
Nếu b2 - 4ac bình phơng số hữu tỷ phân tích tam thøc thµnh thõa sè
bằng phơng pháp biết
Nếu b2 - 4ac khơng bình phơng số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp đợc
n÷a
(7)SKKN : 2008 –2009 -GV : NGUYEÃN XUÂN CHUYÊN -THCS NGUYỄN THỊ MINH KHAI - BMT
a =2, b = -7, c =
xÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52
phân tích đợc thành nhân tử : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1)
hoặc phân tích cách để bình phơng đủ 2x2 - 7x + = 2(x2- 7
2x + 2)
= (x2 - 2.7
4x +
49 25 16 16 )
=
2
7
(x ) ( )
4 =
7
(x - - )(x - + )
4 4 =
2(x-3)(x-1 2) Chó ý: P(x) = x2 + bx = c cã hai nghiƯm x
1, x2 th×:
P(x) = a(x - x1)(x - x2)
PhÇn 2: Giải toán phân tích đa thức 1 Bài toán rút gọn biểu thức.
a Ví dô: Cho
A =
2 x x x x x x 5x
a1) Rút gọn A
a2) Tính giá trị A víi x = 998
a3).Tìm giá trị x để A >
b Đờng lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm dới mẫu
Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh
b VÝ dụ 2: (Các toán tơng tự )Rút gọn biểu thøc : A =
4
4
1
2
x x x
x x x x
B =
2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
ab ac b bc
C =
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
Đờng lối giải :Để rút gọn phân thức trên:
- Bớc 1: ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bớc 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung
(8)a.Đờng lối giải: Với phơng trình bậc hai trở lên việc áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn đợc dạng phơng trình tích A.B = A = B =
b VÝ dụ: Giải phơng trình (4x + 3)2 - 25 = 0
Giải: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng trình dạng
8(2x - 1)(x +2) = x =
2 hc x = -2 3 Bài toán giải bất phơng trình
a Đờng lối giải: Với bất phơng trình bậc cao bất phơng trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phơng trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đa bất phơng trình dạng bất phơng trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phơng trình thờng
b Ví dụ: Giải bất phơng trình b1)
2 x
x x >
(x 2)(x 3)
>
NhËn xÐt: v× (- 2) < (x- 2)(x - 3) < < x< b2) 3x2 - 10x - >
(3x+ 2)( x- 4) >
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu tÝch KÕt qu¶ x <
3
hc x >
4 Bài toán chứng minh chia hết
a Đờng lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết
b VÝ dơ:
b1) Chøng minh r»ng x ta cã biÓu thøc
P = (4x+3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
Ph©n tÝch : P = 8(2x-1)(x+1) chia hÕt cho b2)Chøng minh r»ng biÓu thøc :
2
3
n n n
số nguyên n
Biến đổi biểu thức dạng
2
2
6
n n n
vµ chøng minh (2n+3n2+n3)
(9)SKKN : 2008 –2009 -GV : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS NGUYỄN THỊ MINH KHAI - BMT
Ta cã 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) tích ba số nguyên liên tiếp,vì cã Ýt nhÊt mét
thõa sè chia hÕt cho 2,mét thõa sè chia hÕt cho mµ (2;3)=1 nên tích chia hết cho 6.Vậyn
2
3
n n n
số nguyên 5 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
a)ng li gii : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức
A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối cùng.
b VÝ dô :Chøng tá x2+x+1 >
x
Ta viÕt : x2+x+1 = x2+2.1
2x+
4 4 = (x+ 2)
2 + 3
4 ≥
4>0 x
VÝ dơ : T×m giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
(T¬ng tù :B = x2+y2+xy - x- y )
Ta cã : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
= (x2+1
4y
2+16+xy+8x+4y) + (59
4 y
2- 3y) + 2005 -16
=(x+1
2 y+4)
2+59
4 ( y
2 - 2.
59y+ 36
3481)+1989- 59
= (x+1
2y+4)
2+59
4 (y-6 59)
2+117342
59 ≥
117342 59
V× (x+1
2y+4)
2≥ , 59
4 (y-6 59)
2 ≥ 0.DÊu " =" x¶y
239 59 6 59 59 x x y y y
Vậy A(x,y) đạt GTNN 117342
59
Phần B ta làm cách tách tơng tự
Kết luận
Trên loại toán áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử.Tất nhiên khơng có dạng mà cịn có số tập khác vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết.Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải tốn nhanh hơn,thơng minh hơn.Đờng lối giải tập học sinh biết vận dụng phơng pháp tích hợp để giải.Giáo viên tác động đến đối tợng cho phù hợp nh với học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỷ, học sinh -giỏi nên nét hớng dẫn giải theo đờng ngắn nhất.Có nh học sinh hoạt động tích cực hơn, phát huy đợc t duy-trí tuệ
(10)C)Kết
*Trước học phân tích đa thức thành nhân tử
Năm học lớp Mức độ Theo chương trình Chất lượng
2008-2009 8C Bình thường Theo f2+ Tự chọn 60%
2008-2009 9B Bình thường Tự chọn 65%
*Sau học phân tích đa thức thành nhân tử
Năm học lớp Mức độ Theo chương trình Chất lượng
2008-2009 8C Tích cực Theo f2+ Tự chọn 85%
2008-2009 9B Tích cực Tự chọn 89%
* Ý kiến Đề xuất: với phân phối chương trình nghành kết hợp chương trình tự chọn đưa chương trình tự chọn tốn giúp học sinh phát huy tính tích cự học tậpqua
việc gỉa tốn phân tích đa thức thành nhân tử hổ trợ nhiều dạng toán thường gặp
D KÕt luËn chung
Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình học học sinh, liên quan kết hợp tới phơng pháp khác tạo lên lơgíc chặt chẽ tốn học Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích
Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức
Trong năm học qua tối đa vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng q trình tìm tịi lời giải hay hợp lý nhất, kể tập vận dụng rút gọn biểu thức ý nghĩa việc phân tích đa thức tử mẫu phân thức quan trọng, khơng giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu ) mà cịn giúp việc tìm tập xác định mà cịn tìm mẫu thức chung biểu thức Số học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng đợc vào tập 85%
Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển t học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử
Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn !
Buôn Ma Thuột, ngµy 17 tháng 02 năm 2009
Yự kin ca hi đồng Ngêi viÕt