Đang tải... (xem toàn văn)
Từ M kể hai tiếp tuyến của mặt cầu vuông góc với nhau lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B.. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ [r]
(1)KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 KÌ I VÀ BÀI TẬP PHẦN I: ƠN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC:
I) Hai đường thẳng a b vng góc nhau:
1) Chứng minh hai đường thẳng a b vng góc nhau: * Cách 1: áp dụng định nghĩa:
) , ( ba b
a = 900
* Cách 2: ab u v (u,v véc-tơ phương a b)
* Cách 3: Hai đường thẳng a b vuông góc đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa dường thẳng
a b
b a
* Cách 4: Định lý ba đường vng góc
Cho a (), b’ hình chiếu b ()
a b a b’
* Cách 5: Cho đường thằng a // () Nếu đường thẳng b vng góc với mp () vng góc với đường thẳng a
b a ) ( b // a
* Cách 6: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại
II) Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (): * Cách 1: Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng
cắt nằm mp () đường thẳng a vng góc với mp ()
) ( a I c b c a b a
* Cách 2: Cho hai mặt phẳng vng góc () () Khi đó, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mp cịn lại
a b a a ) (
* Cách 3: Nếu hai mp cắt vng góc với mp thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mp thứ ba
a a
III) Chứng minh hai mặt phẳng () (): * Cách 1: áp dụng định nghĩa:
(2)() () góc chúng 900.
* * Cách 2: Hai mặt phẳng vng góc mặt phẳng có chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng cịn lại
a
) ( a
() () IV) GĨC:
1) Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng khơng gian góc
giữa hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b
' b // b
' a // a
(a, b) = (a’, b’)
Chú ý:
Để dựng góc hai đường thẳng cần lấy điểm O a từ kẻ đường thẳng b’ // b Khi đó, góc a b góc a b’
b // b’ (a, b) = (a’, b’)
2) Góc đường thẳng a mp ():
Đ/n:
Góc đường thẳng a mp () góc đường thẳng a hình chiếu a’ mp ()
(a, ()) = (a, a’) với a’ hình chiếu a ()
3) Góc hai mặt phẳng () ():
Các bước xác định góc:
+ Xác định giao tuyến c () ()
+ Xác định hai đường thẳng a b nằm hai mặt phẳng () () đồng thời vng góc
với giao tuyến c
+ Xác định góc a b
( góc a b góc () () )
V) KHOẢNG CÁCH:
1) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a:
Gọi H hình chiếu vng góc O a Khi đó: d(O, a) = OH
2) Khoảng cách từ điểm O đến mp ():
Gọi H hình chiếu vng góc O () Khi đó: d(O, ()) = OH
3) Khoảng cách đường thẳng mp song song:
Cho đường thẳng a song song với mp () Khoảng cách
O
H
a
a b
c
O
H
O a
b
b’ a O
a
b a’
(3)giữa đường thẳng a song song với mp () khoảng cách từ điểm a đến mp ()
d(a, ()) = d(O, ()) = OH , O a
4) Khoảng cách hai mp song song:
Cho hai mp song song () () Khoảng cách
giữa () () khoảng cách từ điểm
bất kì mp đến mp cịn lại
d((), () ) = d(O, ()) = OH O ()
5) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
* Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung chúng
d( a, b) = MN, với MN đoạn vng góc chung * Khoảng cách hai đường thẳng chéo
bằng khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng song song chứa đường thẳng lại
d(a, b) = d(a, ()), với () chứa b song song a
* Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mp song song chứa hai đường thẳng
d(a, b) = d((), ()) ,
với (), () song song chứa a, b
a
b M
N O
H
M a
N
b
b
a M
(4)* * Một số dạng hình thường gặp:
Hình chóp đáy tam giác Hình chóp đáy tứ giác Hình chóp đáy hình thang
Hình chóp có đáy hbh, ht, hcn, hv Hình chóp đáy tam giác có SA đáy
Hình chóp đáy hình thang có SA đáy Hình chóp đáy hbh, ht, hcn, hv có SA đáy
Hình chóp đáy tam giác Hình chóp đáy tứ giác
Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương S
A
B
C
S
A
B C
D
A
B
C S
S
A B
C D
S
A
B C
D
S
A
B C
D S
A
B C
D
A B
C
A’
C’ B’
A B
C D
A’ B’
C’ D’
A B
C D
A’
B’ C’
D’ B
S
A
H
C I
S
A
C B
(5)BÀI TẬP
1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = a vng góc với đáy.
a) CMR: mặt bên hình chóp tam giác vuông
b) Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ CMR: B’D’ // BD AB’ SB, AD’ SD
2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 Gọi O giao điểm
AC BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SO =
4 a
Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE
a) CMR: (SOF) (SBC)
b) Tính khoảng cách từ O A đến mp (SBC)
3/ Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ADC) nằm hai mặt phẳng vng góc Tam giác
ABC vng A có AB = a, AC = b Tam giác ADC vng D có CD = a a) CMR: tam giác BAD BDC tam giác vuông
b) Gọi I, K trung điểm AD BC CM: IK đường vng góc chung AD BC
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 SA = SB = SD =
2 a
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) độ dài cạnh SC b) CMR: (SAC) (ABCD)
c) CMR: SB BC
(6)PHẦN II.
CHƯƠNG I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện:
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V=B.h với B: diện tích đáy
h : chieàu cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V=a3 với a độ dài cạnh
a
b c
a a a
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V=1
3Bh với
B : diện tích đáy h : chiều cao
TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
SABC
SA ' B'C'
V SA SB SC
V SA' SB' SC'
B A
C S
A' B'
C'
Chú ý:
1/ Đường chéo hình vng cạnh a a 2, Đường chéo hình lập phương cạnh a a 3, Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c a2 b2 c2
, 2/ Đường cao tam giác cạnh a
2 a
3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy)
4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác
5/ Hệ thức lượng tam giác vng : cho ABCvng A ta có :
a) Định lý Pitago : 2
BC AB AC
b) BA2 BH.BC; CA2 CH.CB
c) AB AC = BC AH
a
c b
B C
A
(7)d) 2 12 12
AC AB
AH
e) sinB b, osc B c, tanB b,cotB c
a a c b
f) b= a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a=
sin cos
b b
B C , b= c tanB = c.cot C 6/ Hệ thức lượng tam giác thường:
*Định lý hàm số Côsin: a2= b2 + c2 - 2bc.cosA
*Định lý hàm số Sin:
sin sin sin
a b c
R A B C 7/Các cơng thức tính diện tích
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:
2
S a x =1 sin ( )( )( )
2
a b c
a b C p r p p a p b p c R
2 a b c p Đặc biệt : ABC vuông A :
2
S AB AC, ABC cạnh a: a S b/ Diện tích hình vng : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng d/ Diện tích hình thang :
2
S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình trịn : S .R2
II) Bài tập:
A Bài tốn 1: Thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA’ = b AA’ tạo với mặt đáy
một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
Gọi H chân đường cao kẻ từ A lăng trụ Khi đó, A’H hình chiếu AA’ mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vng H có:
Sin A’ =
' AA
AH
AH = AA’ Sin A’ = AA’ Sin 600 =
2 b
Do tam giác A’B’C’ tam giác nên chiều cao tam giác là: h =
2 a
Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ =
4 a h a
1
Thể tích ABC.A’B’C’: V =
3
.AH SA’B’C’ = a b
8 2
BÀI TẬP
Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy ABC tam giác vng A, AC= a, góc C 600,
đường chéo BC1 mặt bên (CC1B1) hợp với mặt bên (ACC1A1) góc 300
a Tính độ dài đoạc AC1 b Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: a AC1 = 3a, b V = 6a3
Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 , đáy hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACC1A1
BĐ1B1 s1 s2 Biết góc BA1D góc vng Tính thể tích khối hộp
A
A’
C B
B’
C’ H
(8)ĐS: V = 4 2
1 2
2
) s s (
s s
Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A1 lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy
một góc 600
a Tính thể tích lăng trụ b Chứng minh: BCC1B1 hình chữ nhật
c Tính diện tích xung quanh lăng trụ ĐS: a V =
4 a3
, c Sxq=
3 ) 13 (
a2
Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 , đáy hình thoi cạnh a, góc A 600 Chân đường vng
góc hạ từ B1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB1= a
a Tính góc cạnh bên đáy b Tính thể tích khối hộp
ĐS: a 600, b V=
4 a 3
Bài Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy a Góc đường chéo AC1 đáy 600
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có đường cao h Mp (A1BD) hợp với mặt bên
(ABB1A1) góc Tính thể tích khối lăng trụ
Bài (đề thi ĐH khối D-2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a
2 Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ĐS: V = a3
2
2 , d(AM, B’C) =
7 a
Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) góc
góc BAC’ = Tính thể tích hình hộp
Bai Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 , cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC1) hợp với mặt phẳng
(BCC1B1) góc Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC1
a CM: góc AJI b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 , cạnh đáy a, đường chéo BC1 mặt bên
(BCC1B1) hợp với mặt bên (ABB1A1) góc
a Xác định góc b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 11 Cho lăng tru đứng ABC.A1B1C1 , đáy ABC tam giác cân A Góc AA1 BC1
300 khoảng cách chúng a Góc hai mặt bên qua AA
1 600 Tính thể tích khối
lăng trụ
Bài 12 Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 Mặt phẳng (A1BC) cách A khoảng
4 a
hợp với BC’ góc biết sin =
10 15
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 13 Cho lăng tru đứng ABC.A1B1C1 , đáy ABC tam giác vuông A, AC= b, góc C
Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) góc
a Tính thể tích khối lăng trụ
b Tìm điểm cách đỉnh lăng trụ tính khoảng cách
Bài 14 Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A1 lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường trịn (ABC) Góc BAA1 450 Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 15 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 đáy tam giác vuông cân A Mặt bên (ABB1A1) hình
thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy
góc Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 16 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 đáy ABC tam giác vuông A AB = a, BC = 2a Mặt bên
ABB1A1 hình thoi, mặt bên (BCC1B1) nằm mặt phẳng vng với đáy, hai mặt
(9)a Tính khoảng cách từ A đến mp (BCC1B1) Xác định góc
b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 17 Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h, đáy ngũ giác nội tiếp đường
trịn bán kính r
B Bài tốn 2: Tính thể tích khối chóp.
Ví dụ: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó.
Giải Kẻ SH (ABC)
Gọi I giao điểm AH BC
Do S.ABC hình chóp nên H trọng tâm tam giác ABC
AI =
2 a
AH =
3
AI =
3
a
3
3 a
Do AH hình chiếu SA mp(ABC) nên SAH = 600
Xét tam giác SAH vng H ta có: tan 600 = SH AH.tan600
AH SH
= a
Diện tích tam giác ABC: SABC = AI.BC
2
= a2
4 a
3 a
Thể tích khối chóp: V =
3
SH SABC =
3
1 2 3
a 12
3 a
3
a
BÀI TẬP
Bài Cho khối chóp tam giác SABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên hợp
với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp
Bài Cho khối chóp SABC có đáy tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a mặt bên tạo với
đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó.
Bài Cho khối chóp SABC có đáy tam giác vng B Cạnh bên SA vng góc với đáy Từ A
kẻ đoạn thẳng AD vng góc với SB AE vng góc với SC Biết AB= a, BC= b, SA= c
a) Tính thể tích khối chóp
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)
Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC= 2a, AA’ = a Lấy điểm M cạnh
AD cho AM = 3MD
a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)
Bai Cho hai đoạn thẳng AB CD chéo nhau, AC đường vng góc chúng Biết AC = h,
AB = a, CD = b góc hai đường thẳng AB CD 600 Tính thể tích khối tứ
diện ABCD
Bai Cho tứ diện ABCD có cạnh a Dựng đường cao SH
a CMR: SA BC b Tính thể tích khối chóp ABCD c Gọi O trung điểm SH CMR: OA, OB, OC đơi vng góc
ĐS: b V =
12 a3
Bài Tính thể tích khối chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a góc ASB =
A
B
C S
(10)ĐS: V = cot a3
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vng góc với
đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc hợp với mặt bên (SAB) góc
a Tính SC b Tính thể tích khối chóp
ĐS: a SC =
2
sin cos
a
, b V =
) sin (cos
3
sin sin a
2
3
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng có cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác
vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC a CMR: SH (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
b Tìm tập hợp hình chiếu vng góc S lên DM
c Tính khoảng cách từ S đến DM theo a CM = x với 0xa
ĐS: a V=
6
a3 , b Quĩ tích đường trịn đk DH (ABCD) c
) x a (
x a x a a
2
2
4
Bài 10 Một hình chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy a Hãy tính thể tích diện tích
mặt chéo hình chóp
Bài 11 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a.
a Tính thể tích khối chóp SABCD
b Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp
Bài 12 Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc mặt đáy mặt bên
Tính thể tích khối chóp SABCD theo h
Bài 13 Cho hình chóp SABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác
cân đỉnh A Trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc tạo với mp(SAD) góc a Xác định góc b CMR: SB2 SA2 AD2 BD2 c Tính thể tích khối chóp
Bài 14 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cân AB=AC = a Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt
phẳng (ABC) SA= SB = a
a CMR: tam giác SBC tam giác vuông
b Cho SC = x Tính thể tích khối chóp theo a x
Bài 15 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a đường cao h Gọi (P) mp
qua A vng góc với SC (P) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ a h phải thỏa đk để C’ điểm thuộc cạnh SC
b Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’ c CM: tam giác B’C’D’ ln có góc tù
Bài 16 Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x (0xa)
trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = y với y >0 a CMR: (SAB) (SBC) b Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC)
c Tính thể tích khối chóp SABCM
d Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích SABCM.
Bài 17 (đề thi ĐH khối B - 2008)
Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB)
vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính thể tích khối chóp SBMDN tính cosin góc hợp hai đường thẳng SM, DN
Bài 18 (đề thi ĐH khối A – 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt
phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 19 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a AC = a 3, cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ĐS:
a 15
(11)Bài 20 (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài 21 (đề thi ĐH khối B – 2009)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mp(ABC) 600,
tam giác ABC vng C góc BAC = 600 Hình chiếu B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam
giác ABC Tính thể tích tứ diện A’.ABC theo a ĐS: 208
a Bài 22 (đề thi ĐH khối D – 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’= 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: V=
9 a
4 ; k/c =
5 a Bài 23 (đề thi TNTHPT – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy góc 600
, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài tốn 3: Tính tỉ số thể tích.
Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần khối đa diện (H) phân chia thành (H1) , (H2) mặt phẳng () ta lựa chọn hai cách sau đây:
Cách 1: Thực theo bước sau:
Bước 1: Dựng thiết diện tạo mặt phẳng () Bước 2: Tính thể tích V1 V2 (H1) , (H2)
Bước 3: Tính k =
2
V V
Cách 2: Sử dụng kết : “Cho hình chóp SABC , ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S Gọi V V’ thể tích SABC SA’B’C’.
Khi đó: ' SC SC ' SB SB ' SA SA ' SC ' SB ' SA SC SB SA ' V V
S
A’
C’ A B’ C
B
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC cắt SB, SC,
SD B’, C’, D’ Biết AB = a,
3 SB ' SB
a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải
a) Gọi SH đường cao hình chóp S.ABCD Gọi H’ giao điểm SH mp (P)
Do S.ABCD hình chóp nên H giao điểm AC BD
) SAC ( BD AC BD SH BD
BD SC Do mp (P) SC BD // mp (P) Do
BD//B'D' ' D ' B ) SBD ( ) P ( ) SBD ( BD ) P //( BD SB ' SB SH ' SH SD ' SD
, H’D’ = H’B’ va B’D’
(12)Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC E Khi đó: EC’ = EC,
3 SE
' SC
SE ' EC SE
' SC SE
SC’ = 2EC’ = CC’ Ta có: VV 32 32 94
ABD S
' D ' AB
S
, VV 32 32 12 92
BCD S
' D ' C ' B
S
Ta có: VS.ABD = VS.BCD = VS.ABCD VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = S.ABCD VS.ABCD
3
V 9
b) Theo cm : AC’ vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác SAC nên SA = AC
tam giác SAC đều SH = a
2 a
3 AC
3
VS.ABCD =
3
1 3 3
a
6 a
6
VS.AB’C’D’ = a3
18
BÀI TẬP
Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, AD SC
a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình chóp
b Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp phân chia hai mặt phẳng ĐS: b
Bài Cho tứ diện ABCD Gọi (H) hình bát diện có đỉnh trung điểm cạnh
tứ diện Tính tỉ số
ABCD ) H (
V V
Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c Gọi M, N trung điểm
của A’B’ B’C’
Tính thể tỉ số tích khối chóp D’.DMN thể tích khối hộp nhật ABCD.A’B’C’D’
Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c Gọi E F
điểm thuộc cạnh BB’ DD’ cho BE=
2
B’E, DF =
2
D’F Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật thành khối đa diện (H) (H’) Gọi (H’) khối đa diện chứa đỉnh A’ Tính thể tích (H) tỉ số thể tích (H) (H’)
Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ O giao điểm AC BD, M trung điểm
C’D’ Tính thể tỉ số tích hai phần hình lập phương mặt mặt (A’MO) cắt
Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AD,
CD gọi P lfa điểm cạnh BB’ cho BP = PB’
(13)CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. A/Cơng thức tính diện tích thể tích khối nón
1 Hình
trụ-Khối trụ: xq
2 trụ
R : bán kính đáy S Rl với
l : đườngsinh R : bán kính đáy V R h với
h : đường cao l h R
2 Hình nón –
Khối nón xq
2 nón
R : bán kính đáy S Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy
V R h với
3 h : đường cao l h R
3.Hình nón cụt – Khối nón cụt: xq
2
nóncụt
S (R R')l
V (R R' RR')h
3
R,R' : bán kính đáy với l : đườngsinh
h : đường cao l h R' R
4 Mặt cầu – Khối cầu:
2 caàu
S R với R : bán kính mặt cầu
V R với R : bán kính khối cầu
R
B/ BÀI TẬP
I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN:
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh thể tích khối
nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Giải
Khối nón có chiều cao a có bán kính đáy r =
2 a
Độ dài đường sinh: l =
2 a a a 2
Diện tích xung quanh khối nón: Sxq = rl
4 a a
a
Thể tích khối nón: V = r h
3
1 =
12 a a a r
1 2
(14)BÀI TẬP
Bài Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Một mp (P) qua
đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Xác định thiết diện (P) với khối nón tính diện tích thiết diện
ĐS: S = 500 cm2
Bài Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần b) Tính thể tích khối chóp
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này.
ĐS: a Sxq =
2 a2
, S
tp =
2 a
2 b V =
12 a3
c
2 a2 Bài Tính thể tích khối nón trường hợp sau:
a) Bán kính đáy r, góc đường sinh trục hình nón b) Thiết diện qua trục tam giác vng cân có diện tích S
Bài Cho hình nón có đỉnh S, đáy hình trịn tâm O bán kính r, chiều cao hình nón 2r
Gọi I điểm nằm mặt đáy cách O đoạn 2r Trong hình trịn tâm O kẻ bán kính OA vng góc với OI IA cắt đường trịn B Tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón
Bài Cho hình nón có đỉnh D, O tâm đường trịn đáy, đường sinh l góc đường sinh
và mặt đáy Tính diện tích hình nón thể tích khối nón tạo nên
Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h góc SAB = ( > 450) Tính diện tích
xung quanh hình nón đỉnh S có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD hình chóp
Bài Cho khối nón có bán kính đáy 12 cm có góc đỉnh 1200 Hãy tính diện tích thiết
diện qua hai đường sinh vng góc với
Bài Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy theo cung có số đo
(<) Biết (P) hợp với mặt đáy góc khoảng cách từ tâm đáy tới (P) a Tính thể tích khối nón theo a, ,
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:
Ví dụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho (hình lăng trụ có đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy hình trụ)
c) Gọi V thể tích khối lăng trụ nội tiếp khối trụ V’ thể tích khối trụ Tính tỉ số V V’
Giải
a) Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường sinh l đường cao h
l = h = 2r.
Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2 r l = 4 r2
Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6 r2
b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho
Ta có: ABCD nội tiếp đường tròn đáy nên: AB = r
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3
c) Thể tích khối trụ:
A B
C D
O
A’ B’
C’ D’
(15)V’ = B.h = 2 r3
Vậy:
2 ' V
V
BÀI TẬP
Bài Một hình trụ có bán kính đáy 50 cm có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ tạo nên
b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
Bài Một khối trụ có bán kính đáy r chiều cao r Gọi A B hai điểm hai đường
trịn đáy cho góc tạo thành đường thẳng AB trục khối trụ 300 Tính
diện tích thiết diện qua AB song song với trục khối trụ a) Tính độ dài đoạn vng góc chung AB trục khối trụ
Bai Một hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính r có đường cao h = r
Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường tròn O cho AO O’B a) CMR: mặt bên tứ diện OABO’ tam giác vng Tính thể tích tứ diện b) Gọi (P) mặt phẳng qua AB song song vơi OO’ Tính khoảng cách OO’ mp(P)
Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA= SB= SC = a có góc mặt bên mặt
phẳng đáy Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác đáy hình chóp có chiều cao chiều cao hình chóp
Bài Một hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính r có đường cao h = r
A B hai điểm di động hai đường trịn O O’ cho góc (OA, O’B) khơng đổi a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
b) Thể tích khối trụ tương ứng
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a đường cao SA = 2a MNPQ thiết
diện song song với đáy M SA AM = x Xét hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp MNPQ đường sinh MA
a) Tính diện tích MNPQ theo a x b) Tính thể tích lăng trụ theo a x c) Tìm hình lăng trụ tích lớn
III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU:
DẠNG 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hình lăng trụ).
* Phương pháp 1:
Xác định điểm O cách đỉnh hình chóp Khi đó: O tâm mặt cầu ngoại tiếp
* Phương pháp 2:
+ B1: Xác định đường thẳng a qua tâm I đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
(a gọi trục đường tròn)
+ B2: Dựng đường thẳng trung trực cạnh bên cắt a O
+ B3: Kết luận O tâm mặt cầu
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương cho
Giải Ap dụng pp1:
Gọi O trung điểm đường chéo AC’ Ta có: O cách đỉnh hình lập phương
15
a S
A
B C
D I
M
O
A B
C D
A’
B’ D’
(16)Vậy mặt cầu qua đỉnh hình lập phương có tâm O, Bán kính r =
2 ' AC
AC’ = a r =
2 a
Ví dụ 2: Cho tứ diện D.ABC có DA (ABC) DA = 5a, tam giác ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a
Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh tứ diện
Giải Ap dụng pp1:
Gọi O trung điểm DC
Do DA (ABC) nên DA AB, DA AC DAC vuông A
OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC BA, BC DA BC (ABD)
BC BD OB = CD/ (2)
Từ (1 (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2 Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b
Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp
Giải
Gọi H trọng tâm tam giác ABC
Do SABC hình chóp nên tâm O mặt cầu nằm SH Gọi I trung điểm SA
Trong mp(SAH) dựng IO vng góc với SA cắt SH O Khi đó: O tâm mặt cầu qua đỉnh hình chóp Xét hai tam giác đồng dạng SIO SHA ta có:
SH
SA SH
SI SA SO
SO = r
SH SA2
Mà SH2 = SA2 AH2 = b2
2
2
3 a
Nên SH = 2 3b2 a2
1
a b
Vậy: r = 2
2
a b 3
b SH
2 SA
= 2 2
a b
b
BÀI TẬP
Bài Cho tứ diện D.ABC có DA (ABC) DA = 4a, tam giác ABC vuông B AB = 6a,
BC = 8a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D tứ diện
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD) SA = 2a,
Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D
Bai Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm
bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D
Bài Cho tứ diện OABC có góc AOB = 900, COB = 600, AOC = 1200, OA= OB= OC = a
a) Có nhận xét tam giác ABC?
b) Xác định hình chiếu vng góc O mp(ABC) c) Xac định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh O, A, B, C
A
B
C D
O
S
A
B H
(17)Bài Cho tứ diện SABC có cạnh đáy a Gọi H hình chiếu S (ABC).
a) CM: H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Xác định bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C c) Gọi I trung điểm SH CMR: IA, IB, IC đôi vng góc
Bai Cho tứ diện SABC có SA = a SA vng góc với mp(ABC), AB = AC = b, góc BAC= 600.
Xac định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C
Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, chiều cao 2a Xác định tâm
bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D
Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600
Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D
Bài Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) O lấy
điểm S cho SO =
2 a
Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D DẠNG 2: Xét vị trí tương đối mặt cầu S(O, r) mặt phẳng (P):
Phương pháp:
Xác định khoảng cách d từ O đến mp(P) * Nếu d > r: (P) không cắt (S) * Nếu d = r: (P) tiếp xúc (S)
* Nếu d < r: (P) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r’ = r 2 d2
Đặc biệt d = (P) cắt (S) theo đường trịn lớn DẠNG 3: Xét vị trí tương đối mặt cầu S(O, r) đường thẳng a:
Phương pháp:
Xác định khoảng cách d từ O đến đường thẳng a * Nếu d > r: a không cắt (S)
* Nếu d = r: a tiếp xúc (S)
* Nếu d < r: a cắt (S) hai điểm phân biệt
Ví dụ: Cho mặt cầu S(O,r) điểm a biết OA = 2r Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B kẻ cát tuyến cắt mặt cầu C D Cho biết CD = r
a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến CD
Giải
a) Ta có: AB tiếp tuyến mặt cầu B nên AB OB AB = OA2 OB2 4r2 r2 r
b) Gọi H hình chiếu vng góc O CD Ta có: OC = OD = r
Nên tam giác OCD cân O
Do H trung điểm CD nên HC =
2 r CD
Vậy khoảng cách từ O đến CD độ dài OH với OH =
2 r
3 r r HC OC
2
2
Bài tập:
Cho mặt cầu S(O, r) tiếp xúc với mp(P) I Gọi M điểm nằm mặt cầu điểm đối xứng I qua O Từ M kể hai tiếp tuyến mặt cầu vng góc với cắt mặt phẳng (P) A B CMR: AB2 = AI2 + IB2.
DẠNG 4: Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu:
S = 4 r2, V =
3
r3.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a DA vng góc với mp(ABC) Tam giác ABC vng B AB = 3a, BC = 4a
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh tứ diện
A O
C D
(18)b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng Giải
a) Gọi O trung điểm DC
Do DA (ABC) nên DA AB, DA AC
DAC vuông A OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC BA, BC DA
BC (ABD) BC BD OB = CD/ (2) Từ (1 (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2
r = 2 AD2 AB2 BC2
2 AC AD CD
=
2 a
b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r2 = 50 a2
Thể tích khối cầu tương ứng: V =
3
r3 =
3 a 125
BÀI TẬP
Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD) Dựng mp(P) qua A
vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ a) CMR: điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ nằm mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo thành
Bài Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, mặt bên hợp với đáy góc
600
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng
Bài Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a có chiều cao h
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu
A
B
C D