Bat dang thuc

Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được  Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế.. [r]

(1)

VÀ ÁP DỤNG

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

(2)

Chương

(3)

Từ chương trình PTTHCS ta làm quên với BĐT sau:

Dấu đẳng thức xảy

(4)

Tại Việt Nam nước Đơng Âu:

-BĐT giá trị trung bình cộng trung bình nhân

BĐT Cauchy

-BĐT Cauchy

Bunhiacovski, Cauchy - Bunhiacovski hoặc Cauchy - Schwarz

Theo chuyên gia BĐT thơng lệ quốc tế:

-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy có tên

DẪN CHƯƠNG

(5)

Xét hai số dương a, b

Nếu tổng a + b = const  a.b đạt max a = b

Nếu tích a.b = const  (a+b) đạt a = b Hai nhận xét tương đương với:

(6)

DẪN CHƯƠNG

Với số ta ln có bất đẳng thức sau

Bất đẳng thức (1.4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (đơi cịn đ ợc gọi bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)

(7)

Ta có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng

có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc hai trường hợp dấu đẳng thức xảy

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự (1.8) cách thay số số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng

Sao cho dấu đẳng thức xảy

(8)

Đây bất đẳng thức Bernoulli quen biết

Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) sử dụng trường hợp đảm bảo chắn dấu đẳng thức xảy

Trong trường hợp, dấu đẳng thức xảy cho trước, ta cần chuyển đổi số số cho cách: -Tịnh tiến

- Đồng dạng (tốt với Bernoulli)

(9)

Tiếp theo ta lại có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng

có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa luỹ thừa ), trường hợp dấu đẳng thức xảy

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cách tự nhiên cho tam thức bậc

để có bất đẳng thức tương tự (1.12) cách thay luỹ thừa số luỹ thừa Ta có:

(10)

Nhận xét từ đẳng thức cho số thực ta mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành đẳng thức cho số phức Chẳng hạn, ta coi số thực cho phần thực số phức

Ta nêu số đồng thức sau cần sử dụng

DẪN CHƯƠNG

(11)

(12)

Định lý Với số phức ta ln có đẳng thức sau

Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau số phức

(13)

Hệ Với số phức ta có bất đẳng thức sau

(14)

Khi đó, theo định lý đảo tam thức bậc hai

hay

Từ suy

(15)

Theo bất đẳng thức Cauchy,

Vậy nên

(16)

VD1: Xét số nguyên dương x, y có tổng x + y = Khi đó, tích (x.y) đạt max x = y = 9/2 (theo Cauchy) Tuy nhiên x, y nguyên dương  điều không xảy

Khái niệm dấu “=“ xảy hai số số toán không thực  Phương pháp BĐT Cauchy cho phương thức đối mặt với số toán thực tế

DẪN CHƯƠNG

(17)

VD2: Xét số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = Tìm x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4

Ta cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z  tường minh Tuy nhiên tìm x2 + 2y2 + 3z2  kỹ thuật thơng thường bị đổ vỡ

(18)

Độ gần thứ tự dãy cặp điểm Từ bất đẳng thức

Ta suy với cặp số không âm với tổng cho trước tích đạt giá trị lớn

Tuy nhiên x, y biến đổi miền miền x khác y chúng đạt vị vị trí x y gần  khái niệm độ gần

(19)

Xét cặp số không âm Ta gọi hiệu

là độ lệch cặp số độ gần cặp số Nếu ρ(x,y) =  x = y  cặp

(20)

(21)

Khi ta có cặp số a, b dương có tổng

Ta có loạt số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng Tất có chung đặc trưng:

(x.y) ≤ (9/2)2

Nếu xem xét kỹ ta thấy tích: 1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5

(22)

Định lý Xét cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi

Khi cặp gần cặp

(23)

Định lý Xét cặp số không âm với tích khơng đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi

(24)

Định lý (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với cặp dãy số dương cho

ta có

đây dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy [0,1]

(25)

Kỹ thuật tách ghép số

Thông thường xem xét BĐT Cauchy BĐT số Tuy nhiên thực tế, đa số số xuất phát từ số (1 số cố định số thu từ biến đổi số cố định này)

Đây toán dùng nhiều phân tích cấu trúc Thực chất kỹ thuật tách ghép cách thứ tự điều chỉnh số theo trình gần theo nhóm

(26)

(27)

Thứ tự lại thứ tự số

Cho số gồm số a,b, c thoả mãn a < b < c Khi gọi:

a min(x,y,z); c max(x,y,z); b med(x,y,z), ta có:

(28)

Cho Δ ABC Dưới góc độ bất biến, khơng kể độ lớn ta khẳng định:

Ba góc A, B, C > A + B + C = π

Trong tam giác ta có: A = B = C = π/3

Như cho Δ Δ xa Δ hiệu max tam giác lớn khơng, cịn hiệu giưa max tam giác không

Do tốn BĐT thường ta so sánh BĐT cho với BĐT tam giác

(29)

Khơng tính tổng qt coi A góc lớn nhất, góc C góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:

A ≥ π/3 max ≥ (A+B+C)/3 C≤ π/3

Thứ tự số đó: A ≥ π/3

A + B ≥ π/3 + π/3

A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π

(30)

Xét Δ ABC không nhọn (tù vng), A > B > C, ta có: A ≥ π/2

C ≤ π/4 B + C ≤ π/2 Ta thấy rằng:

Trong tam giác khơng nhọn tam giác vng cân tam giác gần Vì ta có BĐT liên quan đến tam giác so sánh với tam giác ta có BĐT liên quan đến tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân

(31)

Ứng dụng BĐT Cauchy nhiều

Đặc biệt liên quan đến tam thức bậc hai, ứng dụng lớn tìm max dạng phân thức

Dạng phân thức có cấu trúc trặt gặp nhiều toán thi Olympic quốc gia quốc tế dạng phân thức mà tử số mẫu số đa thức bậc không hai

(32)

1.1 TAM THỨC BẬC HAI

• BÀI GIẢNG

1.1 Tam thức bậc hai

Ta cã bất đẳng thức bản:

Gần với bất đẳng thức (1.1) bất đẳng thức dạng sau:

hay

(33)

Xét tam thức bậc hai:

Khi

(34)

Định lý 1.1 Xét tam thức bậc hai:

i) Nếu

ii) Nếu Dấu đẳng thức xảy

(35)

iii) Nếu với

Trong trường hợp này,

(36)

Định lý (Định lý đảo) Điều kiện cần đủ để tồn số cho

là:

(37)

(38)

(39)

1.1.2 Phươngưpháp:

Xét đa thức bậc hai hai biến (xem tam thức bậc hai )

Khi đó,

Vậy hiển nhiên

(40)

1.1.3 Áp dụng lý thuyết:

Ví dụ Cho số thực cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Ví dụ Cho Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức

(41)

1.1.4 Tam thức bậc tam thức bậc Bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng

Khi xem bất đẳng thức tam thức bậc hai Ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng

sao cho dấu đẳng thức xảy

(42)

Bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng

có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa luỹ thừa ), dấu đẳng thức xảy

Mở rộng cho tam thức bậc

bằng cách thay luỹ thừa số luỹ thừa Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng

sao cho dấu đẳng thức xảy

(43)

Sử dụng phép đổi biến ta đưa (1.13) dạng

So sánh với (1.8), ta thấy cần chọn Vậy nên

Hay

(44)

Định lý Giả sử cho trước cặp số thỏa mãn điều kiện

Khi

(45)

Định lý Tam thức bậc dạng

(46)

Hệ Tam thức bậc dạng

Trong có tính chất sau

(47)

(48)

1.2.1.DạngưthuậnưcủaưbấtưđẳngưthứcưCauchy:

Tiếp theo thực ý tưởng Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857) tổng

Ta nhận tam thức bậc hai dạng

nên

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

(49)

Với số ta ln có bất đẳng thức sau

Dấu đẳng thức (1.4) xảy số tỷ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực không đồng thời 0, cho

(50)

1.2.2 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy

Nhận xét từ đẳng thức cho số thực ta mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành đẳng thức cho số phức Chẳng hạn, ta coi số thực cho phần thực số phức

Ta nêu số đồng thức sau cần sử dụng

(51)

(52)

Định lý Với số phức ta ln có đẳng thức sau

Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau số phức

(53)

1.2.3 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy

Hệ Với số phức ta ln có bất đẳng thức sau

(54)

Khi đó, theo định lý đảo tam thức bậc hai

hay

Từ suy

(55)

Theo bất đẳng thức Cauchy,

Vậy nên

(56)

Bạn hoàn thành Mục 1.2 Chương 1

(57)

Định lý 1.(H W Mclaughlin) Với số thực ta có

(58)

ứng với

Tương tự, ta mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số

Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy ta thu

1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

(59)

Định lý (A M Ostrowski) Cho hai dãy không tỷ lệ dãy số thực thỏa mãn điều kiện

(60)

(61)

Định lý (K Fan and J Todd) Với dãy số thực

(62)

(63)

1.4.1 Độ gần thứ tự dãy cặp điểm Từ bất đẳng thức

Ta suy với cặp số khơng âm với tổng cho trước tích đạt giá trị lớn Vậy

(64)

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

Định nghĩa (i) Xét cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ) Ta gọi hiệu

là độ lệch cặp số độ gần cặp số

(65)

Định nghĩa (i) Xét cặp số dương với tích khơng đổi (để đơn giản ta chọn ) Ta gọi hiệu

là độ lệch cặp số độ gần cặp số

(66)

Định lý Xét cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi

(67)

Định lý Xét cặp số không âm với tích khơng đổi (để đơn giản, ta chọn ) Khi

(68)

Định lý (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với cặp dãy số dương cho

ta có

đây dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy [0,1]

(69)

1.4.2 Kỹ thuật tách ghép số

Trong năm gần đây, nhiều dạng bất đẳng thức đề kỳ thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia nhiều nước giới Rất nhiều toán bất đẳng thức xuất phát từ phép biến đổi biểu thức đối xứng theo kiểu (đặc thù) khác

Trong mục đưa số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép điều chỉnh hệ số bất đẳng thức

(70)

Để minh hoạ để tính tốn đơn giản, ta chủ yếu xét ví dụ với cặp ba biến Thực chất kỹ thuật cách thứ tự điều chỉnh số theo trình gần theo nhóm

(71)

Bài tốn 1.14 Cho Chứng minh

Nhận xét 1.3 Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau:

Với cặp số dương số dương với tổng ta có

(72)

Bài toán 1.16 (APMO 1991) Cho hai số dương có chung tổng

Chứng minh

(73)

Bài toán 1.18 (Japan MO – 2004) Cho Chứng minh

Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004) Chứng minh với ta có

Bài tốn 20 (MO USA) Xét số dương thỏa mãn điều kiện

(74)

Bài tốn 21 Chứng minh rằng, với số dương thỏa mãn điều kiện ta có

Bài toán 22 Chứng minh với số dương ta có

(75)

Bài toán 24 Cho hai số dương Chứng minh rằng

(76)

1.4.3 Thứ tự lại thứ tự số

Kỹ thuật để phù hợp với đặc thù tốn đóng vai trị tích cực việc định hướng sáng tác tập định hướng cách chứng minh bất đẳng thức

Chú ý rằng, sau lại thứ tự số, chẳng hạn ta thấy ngay cặp số gần cặp

(77)

hay

Một cách tổng quát với số

(78)

1.4.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số

Đối với số bất đẳng thức đồng bậc dạng khơng đối xứng dấu đẳng thức bất đẳng thức thường xảy giá trị biến tương ứng không

Kỹ thuật giải tốn cực trị dạng khơng đối xứng xây dựng thuật tốn thứ tự gần

•Tham số tự cần thiết thường giá trị trung gian xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất dấu đẳng thức đồng thời xảy

(79)

Bài toán 1.29 Cho số dương Xét số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Bài toán 1.30 Cho số dương Xét số dương thỏa mãn điều kiện

(80)

Nhận xét 1.5 Hai tốn hồn tồn giải theo phương pháp tam thức bậc hai thơng thường

Bài tốn 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994) Xét số thực

thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau

(81)

Bài toán 1.32 Xét số thỏa mãn điều kiện

(82)

(83)

(84)

Ta có đồng thức

Để ý nên ta có

Vì coi bất đẳng thức Cauchy thực chất bất đẳng thức suy từ đẳng thức đáng nhớ

(85)

Xét với

Đồng thức Lagrange

(86)

Chứng minh với số ta có

Hệ quả: Từ đồng thức ta thấy VP > nên suy VT >0 Khi chia hai vế cho

(87)

Các tập

(88)

Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức

HD giải: Trường hợp thì

có thể tìm GTLN, GTNN phương pháp tam thức bậc hai Tìm giá trị y để phương trình (1) có nghiệm

có nghiệm

(89)

*) phương trình có nghiệm

1) Với nên bất phương trình có nghiệm tam thức bậc hai (2) >0

(90)

2) Với ta khơng áp dụng trường hợp trên, tốn tìm giá trị LN, NN trở thành tìm GTLN, NN miền

Ví dụ: Xét biểu thức đối xứng

(91)

Bài toán 2: Cho số thực cho

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Giải: Đặt Khi xét

1) Nếu

(92)

Ta nhận thấy ký hiệu

Ta cần tìm

Nhận xét:

+)

+) Khơng tính tổng qt xem (1) ta có Khi

(93)

(94)

Dấu “=“ đạt

Trong

(95)

Bài tốn 3: Giả sử số thực thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Giải: Ta có

(96)

Ta xét biểu thức tam thức bậc u nghĩa là:

Theo (1) ta có

(97)

Bài toán Cho tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn với HD giải: Ta có:

(98)

Ta lại có

(99)

Vì nên Do

(100)

(101)

Xét trường hợp đặc biệt: Với

Dấu “=“ xảy

Bất đẳng thức xét bất đẳng thức chuyển đổi điểm điểm điểm đoạn

(102)

thì bất đẳng thức (1) có dạng

Hỏi có xảy bất đẳng thức sau hay không?

Nếu (2) xảy ta thay 0; bất đẳng thức cho ta quy trình chuyển từ bậc sang bậc gọi tam thức bậc

(103)

Bài toán 1: Cho

(104)

HD giải:

(105)

Bài toán 2: Cho

(106)

HD giải:

Chia hai vế cho ta

Đặt Ta có

Khơng tính tổng qt ta xét Xét hàm số

(107)

Ta có

Đặt

(108)

Thật

vì