Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN - NM HC 2010 Môn: Toán ( Thời gian: 180 phút )
I.Phần chung cho tất thí sinh(7 điểm) Câu I(2 điểm) Cho hàm số
2
x x
y có đồ thị (C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB cú di nh nht.
Câu II(2 điểm)
1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 8 2.Giải bất phơng trình log log 5(log 3)
4
2
2x x x
C©u III(1 điểm). Tìm nguyên hàm
x x
dx
I 3 5
cos sin
Câu IV(1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt
phng ỏy bng 300 Hỡnh chiu H điểm A mặt phẳng (A
1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính
khoảng cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a.
C©u V(1 điểm). Xét ba số thực không âm a, b, c tháa m·n a2009 + b2009 + c2009 = T×m giá trị lớn của
biểu thức P = a4 + b4 + c4
II.Phần riêng(3 điểm) 1.Theo chơng trình chuẩn Câu Via:
1.Trong mt phng vi hệ tọa độ Oxy cho đờng trịn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = đờng
thẳng d: x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông.
2.Cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình
t z
t y
t x
3 1
2 1
Lập phơng trình mặt phẳng (P)
đi qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất.
Câu VIIa: 1) Có số tự nhiên có chữ số khác khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ.
2) Giải phơng trình: 1,( )
4
C z i
z i z
2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb(2 ®iÓm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = đờng thẳng d có
phơng trình x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông.
2.Cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình
3 1
2
1
y z
x
Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất.
Câu VIIb (1 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ.
I.Phần dành cho tất thí sính
Câu Đáp án Điểm
I (2 điểm)
1 (1,25 điểm) a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên
+Giíi h¹n:
2
lim ; lim
; lim lim
x x
x x
y y
y y
Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 tiệm cận ngang y = 2
(2)+ x D x
y
) (
3
' 2
Suy hàm số đồng biến khoảng (;2) (2;)
0,25 +Bảng biến thiên
x -2 y + +’
2 y
0,25
c.Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy điểm (0;
2
) cắt trục Ox điểm(
2
;0)
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0,25
2 (0,75 ®iĨm)
Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) đờng thẳng d nghiệm phơng trình
)1( 0 21 ) 4( 2 2
1 2
2 xm m
x x m x x
x
Do (1) có m2 10 va (2)2 (4 m).(2)1 2m30m nên đờng thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B
0,25
Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB2 = (xA– xB)2 + (yA– yB)2 = 2(m2 + 12)
suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi 24
AB
0,5 II
(2 ®iĨm)
1 (1 ®iĨm)
Phơng trình cho tơng đơng với
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x =
6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) =
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
0,5
(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
1 sinx0
0,25
x y
(3)Bất phơng trình cho tơng đơng với log22 x log2 x2 3 5(log2x 3) (1) đặt t = log2x,
BPT (1) t2 2t 3 5(t 3) (t 3)(t1) 5(t 3)
4 log3
1 log 43 1 )3(5 )3)(1 (
3 1
2 2
2 x
x t t t tt t
t 0,25
16
2
x x
Vậy BPT cho có tập nghiệm là: ] (8;16)
1 ;
(
III
1 ®iÓm
x x
dx x
x x
dx
I 3 3 2 3 2
cos sin cos
cos sin đặt tanx = t
dt t t t
t dt I
t t x x
dx dt
3
3
2
) ( )
2 (
1 2
sin ; cos
0,5
C x x
x x
dt t t t t
dt t
t t t
2
4
3
2
tan
1 tan
ln tan tan ) 3 (
1 3
(4)Câu IV
1 điểm Do AH (A1B1C1) nên góc AA1H là góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1H bằng 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc
H AA1
=300
2
a H
A
Do tam giác A1B1C1 tam giác cạnh a, H
thuéc B1C1 vµ
2
a H
A nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác
1 1C B
AH nªn B1C1 (AA1H)
0,5
Kẻ đờng cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1
B1C1
0,25
Ta cã AA1.HK = A1H.AH
4
1
1 a
AA AH H A
HK
0,25
C©u V 1 ®iĨm
áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 2005 số số a2009 ta có
) ( 2009
2009
1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2005
a a
a a a a
a a
a
T¬ng tù ta cã
) ( 2009
2009
1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2005
b b
b b b b
b b
b
) ( 2009
2009
1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2005
c c
c c c c
c c
c
0,5
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc
) (
2009 6027
) (
2009 )
( 6015
4 4
4 4 2009
2009 2009
c b a
c b a c
b a
Từ suy Pa4b4c43
Mặt khác a = b = c = P = nên giá trị lớn cña P = 3.
0,5
A1
A B
C
C1 B1
K
(5)
7 5 6
1 2
3 2
1
m m m
m
0,5
2 (1 ®iĨm)
Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách t H n (P).
G.sử điểm I hình chiÕu cđa H lªn (P), ta cã AH HI=> HI lín nhÊt khi
I
A
VËy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.
0,5
) ; ;
( t t t
H d
H vì H hình chiếu A d nªn
) ; ; ( (
d AH u u
AH là véc tơ phơng d)
) ; ; ( )
4 ; ;
(
H AH VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =
7x + y -5z -77 = 0
0,5
Câu VIIa 1 điểm
Từ giả thiết toán ta thấy có
C c¸ch chän chữ số chẵn (vì số 0)và 10
5
C c¸ch chän ch÷ sè lÏ => cã C52.C52= 60 bé số thỏa mÃn toán 0,5
Mi b số nh có 4! số đợc thành lập Vậy có tất C42.C52.4! = 1440 số 0,5 2.Ban nõng cao
Câu VIa 2 điểm
1.( ®iĨm)
Từ phơng trình tắc đờng trịn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn AB AC=> tứ giác ABIC hình vng cạnh bằng 3 IA3 2
0,5
7 5 6
1 2
3 2
1
m m m
m
0,5
2.Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P).
Gi¶ sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta cã AH HI=> HI lín nhÊt AI VËy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.
0,5
) ; ;
( t t t
H d
H vì H hình chiếu A d nªn
) ; ; ( (
d AH u u
AH là véc tơ phơng cña d)
) ; ; ( )
4 ; ;
(
H AH VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =
7x + y -5z -77 = 0
0,5
C©u VIIa 1 điểm
Từ giả thiết toán ta thấy có 10
5
C cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số 0 đứng đầu) C53=10 cách chọn chữ số lẽ => có C52.C53 = 100 số đợc chọn.
0,5
Mỗi số nh có 5! số đợc thành lập => có tất C52.C53.5! = 12000 số. Mặt khác số số đợc lập nh mà có chữ số đứng đầu 3.4! 960
5
4 C
C
VËy cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 sè tháa m·n toán