Đang tải... (xem toàn văn)
ọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P. 3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất... Lê Bá Khánh Trình, TS.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN THI: TỐN - LỚP Ngày thi: 6/10/2016 Thời gian làm bài:150 phút
Câu (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
1 1 : 1
1 1
xy x xy x
x x
A
xy xy xy xy với
0;y 0; x xy
2)Cho
3
3 10 21
x , tính giá trị biểu thức Px24x22017. Câu (5,0 điểm)
1) Cho
2
x nghiệm phương trình: ax2 0bx Với a, b số hữu tỉ Tìm a b
2) Cho P số nguyên tố lớn Chứng minh P20– 1chia hết cho 100 3) Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng:
4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b a c b c
Câu (4,0 điểm)
1) Tìm số nguyên x cho x3– 3x2 2x số phương 2) ia i phương tr nh: x23x 2 x 2 2x x 6 5
x Câu (6,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a Trên tia đối tia AB lấy điểm N, tia đối tia DB lấy điểm K cho AN + DK = 2a ọi giao điểm CN với BD AD thứ tự I M Tia BM cắt ND P
1) Chứng minh IC.CN = IN.CM
2) Chứng minh DM.BN = a2 từ tính số đo góc BPD
3) Tìm vị trí điểm N K để diện tích tứ giác ADKN lớn
Câu (1, 0 điểm)
Cho a b c, , 0 a 3 b c Chứng minh 5 1 a b c a b c - HẾT - -
Cán coi thi khơng giải thích thêm
(2)Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu
1.1
(2.0 điểm)
với x y; 0, xy1
1 1 1
1
x xy xy x xy xy xy
A xy xy
1 1 1
1
xy xy xy x xy x xy
xy xy 0.75
1 1 1
1 1 1
x xy xy x xy xy xy
xy xy xy x xy x xy 0.5
1 x
x y xy xy 0.75
1.2
(2.0 điểm)
3
2
3 ( 1) ( 1)( 1) 20 ( 20 1)
x 0.75 2( 2)
0.5
2
4 1
x x P 0.5
0.25 Câu
2.1
(2.0 điểm)
Ta có
2 3 2
x 0.25
Vì x 2
nghiệm phương trình: ax2 + bx + = Nên17 12 2 0a a b b
12 17 – –a b a b
0.5
Do a, b số hữu tỉ nên - 17a – 3b – 12a + 2b số hữu tỉ
12 2a b số hữu tỉ 0.5
PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017
(3)=> 12
17
a b a
a b b
Kết luận…
0.25
2.2
(1.5 điểm)
Ta có p20 1 (p4 1)(p16 p12 p8 p4 1) Do P số nguyên tố lớn => p số lẻ => p2 + p2 – số chẵn
=> p4 -1 chia hết cho
=> p20 -1 chia hết cho
0.5
Vì P số nguyên tố lớn => p số không chia hết cho Lập luận p4 -1 chia hết cho
Lập luận p16 p12 p8 p4 1 chia hết cho => p20 -1 chia hết cho 25
0.75
Mà (4 ; 25) =
=> p20 -1 chia hết cho 100 0.25
2.3
(2.0 điểm)
4 4 2 2 2
2 2
a b c a b a c b c
a4 b4 c4 2a b2 22a c2 22b c2 0 2 2 2
2
a b c b c
0.75
2 2
2
a b c bc a b c bc
a b c)( a b c (a b c a b c)( )
0.5 Vì a b c, , độ dài ba cạnh tam giác nên:
0; 0; 0;
a b c a b c a b c a b c a b c)( a b c (a b c a b c)( ) Kết luận…
0.75
Câu
3.1
(2.0 điểm)
Ta có: x3 - 3x2 + x + = (x-2)(x2 – x -1)
* Xét x – = x = thỏa mãn toán; x2 – x -1 = (loại)
* Xét x - = x2 – x -1 Suy x =
0.5 Xét x ≠ 2; x ≠
(4)Nên x3 - 3x2 + x + số phương x – x2 – x -1 số
chính phương
Để x2 – x -1 số phương x2 – x -1 = y2 với yZ
Tìm x = (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1 0.5 Thử lại x = - ta có x3 - 3x2 + x + có giá trị -1 khơng phải số
phương => x = - loại
Vây x = x = x3 - 3x2 + x + số phương
0.5
3.2
(2.0 điểm)
ia i phương tr nh: x23x 2 x 2 2x x 6 5 (*)
x
Đie u kie n: x
0.25
2 5 6
3 2 x x
x x x x
x
3
x x x x x 2x
x x
x x x2 2 x x2 0
x
3
2 x
x x
x
1.0
2
x x x3 2 x
Nếu x x 2 Tìm x = thỏa mãn Nếu x3 2
x Tìm x = thỏa mãn
0.75
(5)P M
I
C
D A
B
N
K
4.1
(2.0 điểm)
+ Do ABCD hình thoi => AB =BC = CD = AD = a
+ BI đường phân giác tam giác BNC =>IC BC a
IN BN BN
0.75 + AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét tam giác NBC ta có:
MC AB a
CN BN BN
0.75
Nên
IC CN
MC IC a
CN IN BN IN CM 0.5
4.2
(2.5 điểm)
+ Chứng minh hai tam giác BNC DCM đồng dạng (g.g) BC BN
DM DC DM.BN = a
2 1.5
Ta có AB = AD = a BD = a => tam giác ABD 60 ABDBDM (1) Lại có DM.BN = a2 a BN
DM a
BD BN
DM BD(2)
0.5 Từ (1) (2) => Hai tam giác MDB DBN đồng dạng (c.g.c)
BNDDBM 0.25
Xét hai tam giác DBP DNB có góc D chung BNDDBM
=> Hai tam giác DBP DNB đồng dạng (g.g) 60
NBDBPD 0.25
4.3 (2.0 điểm)
Vì S(ABD) khơng đổi => S(ADKN) lớn S(ADKN) + S(ABD) lớn hay S(NBK) lớn
Thật vấy: S(NBK) = 60
2NB BK Sin (HS phải chứng minh công thức này) => S(NBK) =
4NB BK
0.5
Lại có NB.BK
2
(6)=> S(NBK) a
Dấu “ =” xảy BN =BK = 2a, mà AN + DK = 2a, BA = BD = a Vậy N, K cách A,
D khoảng a 0.5
Câu
(1.0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức cô si: a5 + 1
a ≥ 2a² ; b 5 + 1
b ≥ 2b² ; c 5 + 1
c≥ 2c²
Suy a5 + b5 + c5 + 1 1
a b c ≥ 2(a² + b² + c²)
0.5
Mặt khác a² + ≥ 2a; b² + ≥ 2b; c² + ≥ 2c
(7)Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt
ở kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí