Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2009 - 2010
MƠN: TỐN - LỚP 9 THỜI GIAN LÀM BÀI:150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A=
2 :
1 1
2
x
x x
x x x
x x a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị A x = - 6.
c) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất? Bài 2: (4 điểm) Cho phương trình: (a 1)x 2y 1
3x ay 1
(I)
a) Giải hệ (I) với a = + 1.
b) Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm.
Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm NAM, (điểm N nằm A M), vẽ đường tròn (O) có đường kính AN.
a) Gọi F giao điểm phân giác AD với (O), gọi E giao điểm của phân giác ngồi góc Aˆ với (O) Chứng minh: EF đường kính đường trịn (O).
b) Đường tròn (O) cắt AB K, cắt AC H, KH cắt AD I Chứng minh: FK2 = FI FA.
c) Chứng minh: NH.CD = NK BD.
Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; 2) Chứng minh rằng tam giác có diện tích chu vi số đo?
Bài 5: (4 điểm)
a) Giải hệ phương trình: x 2y 52 2 (1) (2)
x 2y 2xy 5
b) Tính tổng: 2 2 20062
1 2005
1
1
1
1
1
1
S
HẾT
UBND HUYỆN CẦU KÈ
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC : 2009 - 2010 MƠN : TỐN - LỚP 9
Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
1 4,0đ
a 1,5đ
ĐK: x 1 0,5đ
A = 1 2 . 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 x x x x x x x x 0,5đ
= ( 22 1)2
( 1) ( 1)
x x
x x x x x
0,5đ
b 1,0đ
Với x = - = (-1)2 = -1 0,5đ
Ta có : A = 2 2
7 6 6 1 7 6 0,5đ
c 1,5đ 4 2 x A 0,5đ Dấu "=" xảy = x =0 0,5đ
Vậy Max A = x = 0,5đ
2 4,0đ
a 2,0đ
Với a = 3+ hệ (I) trở thành: ) ( 3 y x y x 0,5đ ] )[ ( y x y x y y x y x 0,5đ 0,5đ 0,5đ b 2,0đ
UBND HUYỆN CẦU KÈ
(3)Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
(I)
1
2 ) )( (
ay x
y x a
) (
) ( ) )(
(
1
y a a
ay x
0,5đ 0,5đ Để hệ (I) vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm thì:
a + = – a =
4
a a
Vậy a = 2; a = giá trị cần tìm
0,5đ
0,5đ
3 6,0đ
a 2,0đ
N I H
A
B
C
O E
F
M D
K
Hình vẽ 0,5đ
Ta có: AE AF hai tia phân giác góc kề bù đỉnh A nên AE AF EAF = 1v
=> EAF góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Hay EF đường kính đường tròn (O) - đpcm
0,5đ 0,5đ 0,5đ
b 2,0đ
Xét AKF KIF có KAF = IKF (Chắn cung nhau: KF = FH) 0,5đ
Mà AF = AH + HF = AH + FK AKF =
2
sđ AF; KIF =
2
sđ (AH+FH) nên AKF = KIF 0,5đ
(4) 0,5đ
c 2,0đ
Xét ABM ACM có: S ABM = S ACM mà S NCM = SNBM
(Cùng đường cao cạnh đáy nhau) 0,5đ
Nên: SANC = SANB NH.AC = NK.AB (1) 0,5đ
Áp dụng tính chất đường phân giác: (2) 0,5đ
Từ (1) (2) NH.CD = NK.BD 0,5đ
4 2,0đ
A
B C
D E F
O
Đặt chu vi tam giác ABC 2p; bán kính đường tròn nội tiếp r Gọi D, E, F tiếp điểm (O) cạnh BC, CA, AB Theo tính chất tiếp tuyến thì: OD BC; OE AC; OF AB
Ta có: SABC = SBOC + S COA + SAOB = 1
2OD(BC + CA + AB) SABC =
1
2.r.2p = r.p Vì r = nên SABC = 2p
Vậy tam giác ABC có diện tích chu vi (về số đo)
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
5 4đ
a 2,5đ
Từ (1) => x = – 2y, vào (2) ta được: (5 – 2y)2 + 2y2 - 2(5 – 2y)y = 5 Biến đổi ta được: y2 – 3y + = 0
(5)Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
=> (y – 1)(y – 2) = => y = 1; y = * Nếu y = => x = – = 3;
* Nếu y = => x = – 2.2 =
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x = 1; y = 2); (x = 3; y = 1)
0,5đ 0,5đ 0,5đ
b 1,5đ
Ta có: 12 12 (2.3)2 322 22 2.3
6 6
2 (2.3)
12 12 (3.4)2 422 32 1213 3.4 112
3 (3.4)
Tương tự:
2006 2005
1 2006 2005 )
2006 2005 (
2006 2005
) 2006 2005 ( 2006
1 2005
1
1 2
2
2
2
0,5
2006 2005
1 2006 2005
12 13
7
S
= 1 1 1 2.3 3.4 2005.2006
= ( 12 13) ( 13 14) ( 20051 20061 )
0,5
=
2006 2005
1 3
2004 (vì từ 2005 có 2004 số)
= 2004 1 2004 501
2 2006 1003
0,5