Phần I: Đặt vấn đề Học sinh ở khối lớp 10 chất lợng học tập nói chung là còn yếu, có thể do bỡ ngỡ vì thay đổi môi trờng ở THCS lên THPT. Phải có thời gian làm quen với trờng mới, bạn mới, thầy cô mới và cũng có thể là phơng pháp học mới. Vì vậy khi tiếp cận với các bộ môn ở THPT các em phần lớn bớc đầu đều thể hiện khả năng tiếp thu chậm, học trớc quên sau, đặc biệt môn Toán là môn cơ bản . Đối với ch- ơng trình toán lớp 10 khi bớc sang phần bất đẳng thức là một phần toán đòi hỏi học sinh phải t duy nhạy bén và có kỹ năng giải bài tập linh hoạt nên các em thờng gặp khó khăn khi tiếp cận bài toán. Nhất là khi gặp phải các bài toán chứng minh Bất đẳng thức, các em thờng lúng túng không biết giải quyết vấn đề nh thế nào. để giúp các em giải quyết tốt phần bài tập này tôi nghĩ cần phải đa ra một hệ thống bài tập và các phơng pháp giải cơ bản trong phạm vi kiến thức toán các em đã đợc học. Do vậy tên đề tài là: '' Một số phơng pháp giải bài tập BĐT' dành cho học sinh lớp 10. Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phơng pháp giải bài tập bất đẳng thức ở toán lớp 10, giúp các em có đợc một số kỹ năng, kỹ thuật khi làm bài tập về bất đẳng thức. Phần II: giải quyết vấn đề. A: Nội dung I: Cơ sở l y luận. 1/ Sử dụng định nghĩa và biến đổi t ơng đ ơng . a) Kiến thức: xR , x 2 0 xR , x 0 0x .xxNn,n, .,2,1i,0x n21i +++= 0a b a b > > a b a c b c > > > ; 0 ; 0 ; 0 ac bc c a b ac bc c ac bc c > > > = = < < ,a b c d a c b d > > + > + ,a b c d a c b d < < + < + ,a b c d a c b d> < > ,a b c d a c b d < > < b) Bài toán: Bài toán 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1a b c d e a b c d e + + + + + + + Giải: ( ) 2 2 2 2 2 1 0a b c d e ab ac ad ae + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 4 4 4 a a a a ab b ac c ad d ae e + + + + + + + ữ ữ ữ ữ 2 2 2 2 0 2 2 2 2 a a a a b c d e + + + ữ ữ ữ ữ đúng (đpcm) Bài toán 2: Cho ,a b R . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 a b a b + + ữ (1) Giải: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 0 a ab b a b a ab b a b a ab b + + + + + + + ( ) 2 0a b đúng (đpcm) Bài tập 3 : Chứng minh rằng: .Rz,y,x;zxyzxyzyx 222 ++++ Giải: Ta có: ( ) ( ) zxyzxy2zyx2 xz2xz yz2zy xy2yx 222 22 22 22 ++++ + + + zxyzxyzyx 222 ++++ . (đpcm). Bài tập 4: Chứng minh rằng với 1a b 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + + + + (1) Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 a ab b ab ab a ab b a ab b ab + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 1 1 a b a b a b a ab b ab b a a b ab a b b a a ab b ba ab a b b a ab ab a b + + + + + ữ + + + + ữ ữ + + + + + + Vì a b 1 ab 1 ab 1 0 (2) đúng (đpcm) Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2000y3x3yxyxP 22 +++= Giải: ( ) ( ) 1998yxxy1y1xP 22 +++= ( ) ( ) ( ) ( ) 19971y1yx1y1x 22 +++= ( ) ( ) ( )( ) 19971y1x1y1x 22 +++= ( ) ( ) 19971y 4 3 2 1y 1x 2 2 ++ += 1997P .Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 1yx == Bài tập 6: Cho [ ] 2;0c,b,a và 3cba =++ . Chứng minh rằng: .5cba 222 ++ Giải: Đặt [ ] =++ += += += 1;1,, 0 1c 1b 1a BĐT 2 222 ++ Trong 3 số ,, luôn tồn tại 2 số cùng 0, hoặc cùng 0. Giả sử 2 số đó là: , . Khi đó: ( ) .222 22 2 222222 =++=+++++ II: Sử dụng tam thức bậc hai. Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng ( ) ( ) 0a;cbxaxxf 2 ++= . T am thức có nghiệm khi 0ac4b 2 = . Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 ; , ; 1.pa qb pqc p q p q + > + = Giải: BĐT ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0; .pa p b p p c p + > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0;f p c p a b c p p p = + + > ( ) 22 2 222 cb4cba = ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 2 cba.cba += ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b c a b c a b c a b c = + + + + < Do đó: ( ) ( ) 2 0 ; 0; .c f p p f p p > > Bài tập 2: Chứng minh rằng: Rz,y,x;0xy36y24xz16z16y54x19 222 +++ Giải: Xét: ( ) ( ) y24z16y54xy18z82x19xf 222 ++= Ta có: ( ) 22' x z240y168y702yg +== . Ta lại có: ( ) 0z161424z240.702z84 22 2 ' y == ( ) ( ) 0xf0yg ' x = . Vậy ta có (đpcm). Bài tập 3: Cho 2 2 2 2 2 2 0p q a b c d + > . Chng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 222222 bdacpqdcq.bap Giải: Xét: ( ) ( )( ) .0dcqbapbdacpq 222222 2 ' = Theo (gt) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0p a b q c d + > ít nhất một biểu thức d- ơng, chẳng hạn: 2 2 2 0.p a b > Xét: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222 dcqxbdacpq2xbapxf += ( ) ( ) ( ) 222 dbxcaxqpx = 0d p bq c p aq q p f 22 + = ( ) ( ) xf0 q p f.bap 222 có nghiệm. Do đó 0 ' . Vậy: ( ) ( ) ( ) 2 222222 bdacpqdcq.bap . Bài tập 4: Cho ( ) z,y,x là nghiệm của hệ phơng trình: =++ =++ 4zxyzxy 8zyx 222 Chứng minh rằng: 3 8 z,y,x 3 8 Giải: Hệ ( ) =++ =++ 4zxyzxy 16zyx 2 Đặt 4t x y z t= + + = Ta có: ( ) += =+ += =+ 4txxyz xtzy zyx4yz xtzy 2 Theo ĐL Viet thì ( ) z,y là nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) 04txxuxtu 22 =++ Vì ( ) z,y luôn tồn tại nên phơng trình luôn có nghiệm ( ) ( ) ( ) 0t16tx2x304txx4xt 222 2 ++= Mà 2 2 8 0 8 8 3 4 16 3 2 0 8 3 3 0 3 x t t x tx x x = = Tơng tự, ta cũng có: 3 8 z,y 3 8 . Vậy ta có (đpcm). Bài tập5: Tìm MGT của hàm số: 4xx 1x2 y 2 ++ = Giải: Ta có: ( ) 01y4x2yxyMGTy 00 2 00 =+++ Nếu: 2 1 x0y 0 == 0y 0 PT (*) có nghiệm, Ta có: 15 1924 y 15 1924 4x8y150 000 + += + 15 1924 ; 15 1924 :MGT III: Bất đẳng thức Côsi: a) Dạng tổng quát: ( ) 1 ; 0, 0 2 a b ab a b + . Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi ba = ( ) 3 2 ; , , 3 x y z xyz x y z R + + . Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi .zyx == ( ) 1 2 1 2 . 3 . n n n x x x x x x n + + + . Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi n21 x .xx == b) Bài tập: Bài toán1: (Đánh giá từ TB cộng TB nhân). Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) c,b,a;cba8ac.cb.ba 222222222 +++ Giải: ( ) ( ) ( ) .cba8cba8ac.cb.ba ca2ac bc2cb ab2ba 222222222222 22 22 22 +++ + + + Bài tập2: (Tách nghịch đảo). Chứng minh rằng: 0b,a;2 a b b a + Giải: Vì . 1 , a b a b b a = cùng dấu. Do đó: 2 . 2 a b a b a b b a b a b a + = + = Bài tập3:(Thêm hằng số phụ). Chứng minh rằng: 1b,a;ab1ab1ba + Giải: ( ) ( ) ab1ab1ba 2 ab 2 11a .b1.1ab1ab 2 ab 2 11b .a1.1ba1ba + = + = = + = Bài tập4: ( Ghép đối xứng). Chứng minh rằng: ; , , 0 bc ca ab a b c a b c a b c + + + + > Giải: 0c,b,a;cba c ab b ca a bc b a bc . c ab a bc c ab 2 1 a c ab . b ca c ab b ca 2 1 c b ca . a bc b ca a bc 2 1 ++++ = + = + = + Bài tập5: ( Đổi biến số). Chứng minh rằng: .0c,b,a; 2 3 ba c ac b cb a + + + + + Giải: Đặt + = + = + = =+ =+ =+ 2 zyx c 2 yzx b 2 xzy a zba yac xcb BĐT 3 z2 zyx y2 yzx x2 xzy + + + + + 6 y z z y z x x z x y y x ++ ++ + (*) Mà VT (*) 2 . 2 . 2 . 6 x y z x y z y x x z z y + + = c) Một số bài tập áp dụng Bất đẳng thức Côsi: Cho , , 0, 1a b c a b c + + = chứng minh rằng: 1. b+c 16 abc 2. (1- a)(1-b)(1-c) 8abc 3. 1 1 1 1 1 1 64 a b c + + + + + ữ ữ ữ 4. 1 1 1 8 a b c b c a + + + ữ ữ ữ 5. 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b + + + + + + + B: Đối t ợng phục vụ xây dựng đề tài: Học sinh khối 10 Ban tự nhiên. C: Nội dung và ph ơng pháp nghiên cứu: I: Nội dung: bất đẳng thức. II: Phơng pháp: Các phơng pháp giải toán BĐT, SGK, khảo sát trên lớp. D: Kết quả sau khi áp dụng đề tài: Sau khi áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy chất lợng học sinh khá lên rõ rệt. Qua nhiều đợt kiểm tra, kết quả cụ thể ở lớp 10A2 nh sau: *) Trớc: Khá=8%; TB=80%; Yếu=12% *) Sau: Khá=10%; TB=83%:Yếu=7% Phần III: Kết luận. Với kết quả đạt đợc sau khi áp dụng đề tài tôi mong muốn đề tài này song kết quả thu đợc còn rất khiêm tốn, rất mong đợc sự góp ý, giúp đỡ của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, góp thêm một phần nhỏ vào việc giảng dạy học sinh trên lớp. tài liệu tham khảo. 1.kỹ thuật chứng minh BĐT: trần phơng 2.các bài toán BĐT cơ bản hay và khó: nguyễn đễ 3. SGK- Đại số 10 . khi áp dụng đề tài tôi mong muốn đề tài này song kết quả thu đợc còn rất khiêm tốn, rất mong đợc sự góp ý, giúp đỡ của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện. việc giảng dạy học sinh trên lớp. tài liệu tham khảo. 1.kỹ thuật chứng minh BĐT: trần phơng 2.các bài toán BĐT cơ bản hay và khó: nguyễn đễ 3. SGK- Đại