Đang tải... (xem toàn văn)
KHOÂNG GIÔÙI HAÏN.[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN HK1 0708
• BÀI 3: GIỚI HẠN HAØM SỐ (SINH VIÊN)
(2)NOÄI DUNG
1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HAØM SỐ
2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HAØM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP
(3)Ý TƯỞNG GIỚI HẠN
-Hàm y = f(x), MXĐ D x0 Giá trị f(x0)?
0 : xácđịnh
0 D f x
x
: không xácđịnh & 0
0 D f x
x
VD: f(x) = lnx & x0 = –1
:"gần như"xácđịnh
, 0
0 D f x
x
VD: f(x) = sinx/x & x0 = D
Gtrò
x x x
f sin quanh 0:
0.1000 0.8415
0.01000 0.9588
0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896
0.00001000 0.9935
0
0
, , 1
0 ,
1 1
x e
x x
x x
x
x
(4)MINH HỌA HÌNH HỌC
-Đồ thị hàm:
x x x
f sin
Chú ý lân cận x0 = 0: f(0) không xác định, nhưng giá trị f(x) lại “rất gần” x “rất gần” Đồ thị
liên tục Có thể xem “f(0)” = ???
Cần công cụ xác định giá trị hữu hạn “f(x0)” x0 D: f x
(5)L x
f
x
xlim 0 ( )
Cho hàm y = f(x) xác định lân cận điểm x0 (có thể khơng xác định x0!) Hàm f(x) có giới hạn = L x x0 Giá trị
f(x) “rất gần” L x “đủ gần” x0 Ký hiệu:
VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn
1 1 ,
lim 2
1
x
x x
f x
f
x với
Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định x = 1
x<1 f(x)
0.5 0.666667
0.9 0.526316
0.99 0.502513
0.999 0.500250
0.9999 0.500025
x>1 f(x)
1.5 0.400000
1.1 0.476190
1.01 0.497512
1.001 0.499750
1.0001 0.499975
Từ bảng giá trị, phỏng đốn:
5 . 0 1
1 lim 2
1
x
x
x
GIỚI HẠN HAØM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN
(6)-Hàm g(x) sau (xác định x = 1) có giới hạn f(x) x 1
1 khi
2
1 khi
1 1
2
x
x x
x x
f x
g
y=f(x)
y=g(x)
Giá trị f x0 (có hay khơng có) khơng ảnh hưởng đến f x
x xlim 0
GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN
(7)-Ví dụ:
x
x
sin lim
0
Gợi ý: Tính , 0.1, 0.01
3 1 ,
2 1 ,
1 f f f f
f
0.1 0.01 0 limsin 0:
3 1 2
1 1
0
x
f f
f f
f
x
SAI!
Tuy nhiên từ đồ thị hàm
x
y sin cũng giá trị hàm tại
Z k
k x
k
x
2 ,
2 1
4 2
! 1 sin
x
Có vơ số giá trị x gần tùy ý, tại f = lẫn f = KL: Giới hạn xét khơng !
ĐỐN – KHƠNG CHẮC CHẮN 100%!
(8)-L
Minh họa hình học:
Ngơn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g
| f – g | > x “đủ gần” x0: > xét | x – x0 | <
x f x L x x f x L
xlim0 0, 0: ( )
ĐN:
Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa thường áp dụng để chứng minh lý thuyết khơng sử dụng để tìm giới hạn!
x f L
L L
x
0
x
0
x x0
x0
x f f(x)
ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ
(9)-VD: Cho 4 *
1 2 2
lim
2
1
x
x
x
Tìm đnghĩa = 0.01
Giải: , 1, 4
1 2 2
0
x L
x x x
f x 1: f x L 2 x 1
= 0.01: f x L x 1 0.005 Choïn 0.005
VD: Giải đồ thị câu hỏi tương tự: lim 2 4, 0.1
2
x x
x
Giải: | f(x) – | < 0.1 3.9 < f(x) < 4.1 Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1
03 . 2 97
.
1 x
03 . 0 2
x Vaäy
03 . 0
VÍ DỤ
(10)-Khi f(x) (tức L = ) x (tức x0 = ):
Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0| Cần điều chỉnh!
Chú ý: Đại lượng A A > M M & B – B < m m
f x L M x x M f x L
x ( ) 0 : ( )
lim Neáu
M x
f x
x x
M x
f
x
xlim 0 ( ) 0 :Neáu ( )
Tương tự cho trường hợp f(x) –: Chỉ cần viết lại f(x) < m!
x M
f A
x x
A M
x f
x ( ) :Neáu lim
lim f(x) = L x – & lim f(x) = x : tương tự
GIỚI HẠN VÔ CÙNG – GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG
(11)-G hạn trái: x x0 x x0 & x < x0 (tức x x0 từ bên trái)
: lim ( )
) ( lim
0
0 &
x f x
f x
f
x x x x x
x
0
x
x0
x
0 & x x
x
x
Minh họa:
VD: Giới hạn trái x 0 x < 0: lim lim 1
0
0
x
x x
x
x x
G hạn phải: x x0+ x x0 & x > x0 (tức x x0 từ bên phải)
: lim ( )
) ( lim
0
0 &
x f x
f x
f
x x x x x
x
Minh họa: x0 x0 x
0 & x x
x
x
lim ( ) 0 , 0 & 0 0
0
x f x
f x
f x
f x
f
x x
Mệnh đề:
VD: Không tồn tại
x x
x
lim
vì lim 1 lim 1
0
0
x
x x
x
x x
GIỚI HẠN MỘT PHÍA
(12)-Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c số f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x a Khi đó
0 ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim . 5 ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim . 4 ) ( lim )] ( [ lim . 3 ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim . 2 ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim . 1 x g if x g x f x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f x g x f x g x f a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x
GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG
(13)-Cho đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x)
x g x f
x xlim2 , lim1
b/ Tính giá trị giới hạn sau chúng tồn tại
y=f(x)
y=g(x)
x g
x f x
g x f x
g x
f
x x
xlim2 5 2/ lim1 3/ lim2
/ 1
a/ Các giới hạn sau liệu có tồn hay không:
Giải: a/ f x g x
x xlim2 1; Khoâng lim1
b/ 1/ –4 2/ – 3/: Khơng
VÍ DỤ
(14)-Cho n N số a, c Nếu hàm f(x) có giới hạn a:
(neáu n :chẵn, phải 0)
11.
0) phải
a chẵn, :
n (nếu và
x f x
f x
f
a x
a x
a x
c c
x f x
f
a x n
a x n
a x
n n
a x
n n
a x
a x a
x
n a
x n
a x
lim lim
lim lim .
10 lim .
9
lim .
8 lim
. 7
lim lim
. 6
Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn công thức chứa hàm & a Df f x f a
a
x lim
Tính chất tính liên tục f(x) (được xét riêng 3)
GIỚI HẠN HAØM SƠ CẤP CƠ BẢN
(15)-VD: Tìm giới hạn 2 3 2 3 lim / 2 1 2 lim / 2
1
x x
x x b x x a x x : 2 2 2 1 lim : VD x x x
0 0
0 lim x x
Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa x :
x x a a x
x 0 ,
, lim : 1 x x a a x x , , 0 lim : 1 0
Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):
3 1
b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp k0 x/định!):
2 3
2 2 lim 2 1 2 2 1 lim 2 3 2 3 lim 2 2
1
x x x x x x x x x x x x x x x
1 2 1 1
(16)-GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGƠN NGỮ DÃY (PHỔ THƠNG)
-Ngôn ngữ “dãy”: t t x f t a
n n
n
: 0
VD: Chứng minh khơng có giới hạn:
x b
x a
x x
sin lim /
sin lim
/
0
Nhận xét: Tương tự dùng dãy chứng minh dãy phân kỳ
a/ daõy:
z n
n
yn n 2
2
& b/ daõy ???
Đừng nhầm lẫn với ví dụ sau Chứng minh khơng n
n sin
lim
n
n n
n
n t x f t
t
: lim 0 & lim
n
n n
n n
n n
n z y z x f y f z
y
, : , 0 & lim lim
(17)GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
-Muõ, ln: 1 1
lim 0 x ex x
1 1
ln lim 0 x x x a x ax x ln 1 lim
Lượng giác sin 1
lim 0 x x x 2 1 cos 1 lim 2 0 x x x 1 tg lim 0 x x x
Dạng 1 : Sử dụng số e
x e
x
x x
x
x
1 0 1 lim 1 1 lim
Cách 1: Dùng số e Cách 2: Lấy ln veá
VD:
2 2 2 2 lim x x x x
Kỹ thuật: lim lim 1
1 0 0
0 1 lim 1 lim u v v v x x v x x x x x x e e
u
(18)QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
-Dạng vô định: 0/0, /, – , 0., 1 , 00 Biến đổi x/định Phương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô bé tương đương Ngun tắc Lơpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, /
( )
) ( lim
" " lim
) ( '
) ( ' lim )
( ) (
lim (( ))
0
0
0 g x
x f
x g
x f
x g
x f
x g
x f
n n
x x x
x x
x x
x
1, 0
lim c/
sin
lim b/
1
1
lim 3
0
0
x a
a x
x x
x x
x x
x x
x
a/ : VD
Chú ý : Đơn giản hoá biểu thức
0 2
1 sin
1 lim
x x
x
VD: Tính Không dùng Lôpitan giới hạn không .
x x
x x
x sin
sin lim
: VD
(19)GIỚI HẠN KẸP
-Giới hạn kẹp
x h x a g x a
f x x x h x g x f x x x x x x ) ( lim lim lim 0 0
Hệ quả:
0 lim ( ) 0
lim 0 0 x f x h x x x h x f x x x x
VD: Tìm giới hạn:
x x
x x
x x x
x sin lim c/ sin lim b/ sin lim a/
0
Giải: a/ Không b/ Kẹp c/ Đặc biệt:
t t x x x x x t x sin lim 1 sin lim c/ 0 sin 0 b/
VD: Chứng minh e
x
x x