Đang tải... (xem toàn văn)
Hay nói cách khác tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ nằm trên đường trung trực của OK là đường thẳng cố định (ĐPCM). c) Gọi L là giao điểm của PQ với OK[r]
(1)ĐỀ SỐ 6.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MÔN: TOÁN
Thời gian làm 120 phút ( không kể giao đề ) Bài 1: ( 1,5 điểm )
Tính tổng Bài 2: ( 2,5 điểm )
a) Giải phương trình theo tham số m: b) Tìm thỏa mãn phương trình: Bài 3: ( điểm )
Tìm số nguyên tố p để: số nguyên tố Bài 4: ( điểm )
Cho x,y, z số nguyên thỏa mãn phương trình
a) Chứng minh hai số x,y có số chia hết cho b) Chứng minh tích xy chia hết cho 12
Bài 5: ( điểm )
Cho đường tròn tâm O, bán kính R đường thẳng (d) ngồi đường trịn M điểm di động (d) Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn ( P Q tiếp điểm) N giao điểm PQ với OM
a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi
b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc đường thẳng cố định
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6.
Bài 1: Tính tổng Lời giải: Xét biểu thức Ta có:
Thay giá trị vào S, ta được:
Vậy Bài 2:
a) Giải phương trình theo tham số m: (1) Lời giải:
Điều kiện:
(3)Với ta chứng minh phương trình cho có nghiệm, nghiệm
Thật vậy, với , xét phương trình (2)
Ta có:
Ta chứng minh nghiệm phương trình (1) Thật vậy, nghiệm phương trình (2),
Suy ra:
Hay là nghiệm phương trình (1)
Bây ta chứng minh nghiệm phương trình (1)
Giả sử ngồi phương trình (1) cịn có nghiệm Xét trường hợp:
a) (3)
Suy ra:
Điều vô lý với (3)
b) (4)
Lý luận tương tự trường hợp a), ta suy điều vô lý Kết luận:
(4)-Với phương trình cho có nghiệm b) Tìm thỏa mãn phương trình:
(1) Lời giải:
Bổ đề:
Với số a, b, c, d bất kỳ, đẳng thức (2)
xảy a, b, c, d dấu
Chứng minh bổ đề:
(3)
Đẳng thức (3) xảy a, b, c, d dấu Suy (2) xảy a, b, c, d dấu Trở lại toán ban đầu:
Theo bổ đề (2), đẳng thức
Xảy và , , ,
dấu Mặt khác:
Do
(5)Từ (4) (5) suy (8) Từ (4) (6) suy (9)
(8) (9) mâu thuẫn lẫn nhau, từ suy hệ (I) vô nghiệm
(III)
Từ (10) (11) suy (14) Từ (10) (12) suy (15)
Từ (14) (15) điều kiện ban đầu suy Với , thay vào (III) ta
Với , thay vào (III) ta
Thử lại, với thỏa mãn phương
trình (1) ban đầu
Vậy nghiệm phương trình cho
Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để: số nguyên tố Lời giải:
Thử trường hợp , , , ta tìm thỏa mãn tốn Với p>5 Vì p số nguyên tố nên p số lẻ, có chữ số tận 1, 3, 7, Như có chữ số tận
(6)Nếu có chữ số tận tận chia hết cho số nguyên tố
Kết luận, có thỏa mãn yêu cầu toán! Bài 4:
Cho x,y, z số nguyên thỏa mãn phương trình
a) Chứng minh hai số x,y có số chia hết cho b)Chứng minh tích xy chia hết cho 12
Lời giải:
a) Giả sử x y không chia hết cho Khi chia dư Và vậy, tổng chia dư Hay nói cách khác chia dư Điều vô lý!
b) Trong x, y phải có số chia hết cho Thật vậy, giả sử x, y số lẻ, , có dạng 4k+1, suy tổng có dạng 4k+2 Hay nói cách khác chia hết cho khơng chia hết cho Điều vô lý!
Vậy x, y có số chia hết cho Ta giả sử số x
Nếu y chia hết cho Suy tích xy chia hết cho Kết hợp với kết câu a) ta suy xy chia hết cho 12 ĐPCM
Nếu y không chia hết cho 2, nghĩa y lẻ Khi x phải chia hết cho Thật
Giả sử ngược lại x chia hết cho khơng chia hết cho Khi x có dạng 4k+2 Suy có dạng 8t+4
Mặt khác y lẻ, y =2r+1 Khi Suy có dạng 8t+1 Lý luận tương tự có dạng 8t+1 Và vế phải biểu thức cho chia dư vế trái chia dư Điều vô lý!
Vậy x chia hết cho 4, suy xy chia hết cho Kết hợp với kết câu a) ta suy xy chia hết cho 12 Và ta có ĐPCM
Bài 5:
Cho đường tròn tâm O, bán kính R đường thẳng (d) ngồi đường tròn M điểm di động (d) Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn ( P Q tiếp điểm) N giao điểm PQ với OM
a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi
b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc đường thẳng cố định
(7)Lời giải:
Xét tam giác OPM vuông P có PN đường cao.Ta có:
ĐPCM
b) Gọi I trung điểm OM Kẻ OK vuông góc với (d) Dễ dàng nhận thấy:
, suy tứ giác OPMQ nội tiếp đường trịn đường kính OM
, suy tứ giác OPMK nội tiếp đường trịn đường kính OM
Suy đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua O, K Hay nói cách khác tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ nằm đường trung trực OK đường thẳng cố định (ĐPCM)
c) Gọi L giao điểm PQ với OK Ta có:
(góc, góc) Suy ra:
Suy L điểm cố định nên N nằm đường trịn đường kính ON
Kẻ đường thẳng (d’) qua O song song với (d) Vì nên điểm n nằm nửa mặt phẳng chứa K bờ (d’)
Ta chứng minh quỹ tích điểm N nửa đường trịn đường kính OL có bờ (d’) (Khơng tính giao điểm) Thật vậy:
Gọi N’ điểm nằm nửa đường trịn đường kính OL cho, gọi M’ giao điểm ON’ với (d) Kẻ tiếp tuyến M’P’, M’Q’ Ta chứng minh điểm P’, N’, Q’ thẳng hàng Thật vậy, gọi N’’ giao điểm OM’ với P’Q’ Theo kết biết, ta suy N’’ nằm đường trịn đường kính OL Nghĩa N’’ giao điểm OM’ với đường trịn đường kính OL Suy N’’ trùng với N’ Suy P’,N’, Q’ thẳng hàng Suy ĐPCM