MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM Dạng 1: Tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa Phương Pháp: Để tính đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm x o ta thực hiện B1: Giả sử x∆ là số gia của đối số tại điểm x o , khi đó ( ) ( ) o o y f x x f x∆ = + ∆ − B2: Lập tỉ số y x ∆ ∆ B3: Tìm 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ Bài tập Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa tại nhứng điểm đã chỉ ra a) 2 ( ) 4f x x x= − tại 0 2x = b) ( ) 2 1f x x= + tại 0 4x = c) ( ) 1f x x= + tại x 0 =1 Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số a) 3 ( )f x x= tại điểm x 0 bất kì b) ( ) 1f x x= + tại điểm x 0 bất kì thuộc ( 1; )− +∞ Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số nhờ sử dụng quy tắc Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm của hàm số thường gặp và công thức tính đạo hàm của hàm hợp: Đạo hàm của các hàm số thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp ( )' 0c = ( )' 1x = 1 ( )' n n x nx − = 1 ( )' . ' n n u nu u − = 1 ( )' 2 x x = 1 ( )' . ' 2 u u u = 2 1 1 ' x x   = −  ÷   2 1 1 ' . 'u u u   = −  ÷   (sin )' cosx x= (sin )' '.cosu u u= (cos )' sinx x= − (cos )' '.sinu u u= − 2 1 (tan )' cos x x = 2 1 (tan )' . ' cos u u u = 2 1 (cot )' sin x x = − 2 1 (cot )' . ' sin u u u = − Quy tắc tính đạo hàm 1 ( )' ' 'u v u v+ = + ( )' ' 'u v u v− = − ( )' ' 'uv u v uv= + ' 2 ' 'u u v uv v v −   =  ÷   ( 0)v ≠ ( )' . ' (k )ku k u= ∈ ¡ Bài tập Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số a) 5 4 3 2 1 2 3 4 5 2 3 2 y x x x x x= + − − + − b) 5 3 4 2 3y x x x x= − + − c) 2 4 1 1 0,5 4 3 y x x x= − + − d) 4 3 2 3 4 3 2 x x x y x a= − + − + (a là hằng số) Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số đa thức 3 2 ( )y f x ax bx cx d= = + + + Bài 3: Cho hàm số ( ) ax b y f x cx d + = = + (a, b, c, d là hằng số). Tính '( )f x Bài 4: Cho hàm số 2 ( ) ax bx c y f x mx n + + = = + (a, b, c, m, n là hằng số). Tính '( )f x Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau: a) 7 2 ( )y x x= + b) 2 2 ( 1)(5 3 )y x x= + − c) 3 2 2 (2 3 6 1)y x x x= − − + d) (2 1)(3 2)y x x x= − + e) 2 3 (1 2 )y x= − f) 2 32 ( )y x x= − g) 2 3 2 2 ( 1) ( 1)y x x x x= − + + + h) 3 2 3 2 (2 3 )(3 2 )y x x x x= − + Bài 6: Tính đạo hàm của hám số sau: a) 2 1 1 x y x − = − b) 2 2 1 x y x = − c) 2 5 3 1 x y x x − = + + d) 2 1 1 x x y x + − = − e) 2 1 1 y x x = + − − f) 2 2 2 1 x x y x + + = + g) 2 2 4 5 2 1 x x y x − + = + h) 2 2 1 1 x x y x x + + = − + i) 2 2 3 5 5 x y x x + = − + k) 2 5 1 ( 1) y x x = − + Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 1y x x x= + + b) 2 1 2y x x= + − c) 2 2 1 1y x x= + − − d) 2 1x y x + = 2 e) 2 1 1 x y x   − =  ÷ +   f) 1 1 1 y x x = − + − g) 2 1 y x x   = −  ÷   h) 1 1 x y x + = − i) 2 2 2 ( _ ) x y a const x a = + j) y x x x= + + Bài 8: Cho hàm số ( ) 3 2f x x x= − . Tính '(4);f 2 '( )f a trong đó a là hằng số khác 0 Bài 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 5sin 3cosy x x= − 2) 2 sin( 3 2)y x x= − + 3) siny x= 4) 2 cosy x= 5) cos 2 1y x= + 6) 2sin3 cos5y x x= 7) sin cos sin cos x x y x x + = − 8) cos2y x= 9) sin sin x x y x x = + 10) sin(cos ) cos(sin )y x x= + 11) sin sin x x y x x + = − 12) 2 (sin cos )y x x= + 13) 2 2 3cos 2 2cos 3y x x= − 14) 2 1 cos2 1 cos2 x y x +   =  ÷ −   15) 4 4 cos siny x x= + 16) 1 1 cos sin y x x = − 17) 2 cos 2 4 y x π   = −  ÷   18) sin cos cos sin x x x y x x x − = − Bài 10 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 1 tan 2 x y + = b) 3 tan cot 2y x x= + c) 2 cot 1y x= + d) tan3 cot3y x x= − e) coty x x= f) 2 2 1 tan 3 1 tan 3 x y x + = − g) tan(sin )y x= h) tany x x= i) tan coty x x= + j) 2 1 (1 tan ) 2 y x= + Bài 11: Chứng minh hàn số 6 6 2 2 sin cos 3sin cosy x x x x= + + có đạo hàm bằng 0 Bài 12: Chứng minh a) tany x= thỏa mãn hệ thức 2 ' 1 0y y− − = b) cot 2y x= thỏa mãn hệ thức 2 ' 2 2 0y y+ + = Bài 13: Giải phương trình ' 0y = trong các trường hợp sau: a) sin 2 2cosy x x= − b) 2 cos siny x x= + c) 3sin 2 4cos2 10y x x x= + + d) tan coty x x= + Bài 14: Tính ' 6 f π    ÷   biết cos ( ) cos2 x f x x = Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Dạng 3.1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm 0 0 ( ; ( ))M x f x Phương pháp: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm 0 0 ( ; ( ))M x f x là 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + 3 Chú ý: +) nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ tiếp điểm 0 x , ta vẫn là dạng toán này +) Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ tiếp điểm 0 y , ta giải phương trình 0 ( )f x y= để tìm hoành độ tiếp điểm Dạng 3.2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= , biết rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc là k Phương pháp: B1: Tính đạo hàm của hàm số ( )y f x= B2: Gọi 0 0 ( ; ( ))M x f x là hoành độ tiếp điểm. Giải phương trình 0 ( )f x k= để tìm hoành độ tiếp điểm 0 x B3: Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 3.1) Dạng 3.3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(a;b). Phương pháp: B1: Tính '( )f x B2: Gọi 0 0 0 ( ; ( ))M x f x là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm này là 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + Theo bài ra tiếp tuyến này đi qua điểm M nên ta có 0 0 0 '( )( ) ( )b f x a x f x= − + (1) B3: Giải phương trình (1) tìm hoành độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến (dang1) Bài tập Bài 1: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 2 5 2y x x= − + Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó a) song song với đường thẳng 3 1y x= − + b) vuông góc với đường thẳng 1 4 7 y x= − c) đi qua điểm A(0;2) Bài 2. Cho đường cong (C): 2 2 x y x + = − Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) tại điểm có hoành độ bằng 1 b) tại điểm có tung độ bằng 1 3 c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4 − Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 3 2y x x= − + Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó a) nhận điểm (2;4)A làm tiếp điểm b) song song với đường thẳng 9 2y x= + c) đi qua điểm B(0;2) Dạng 4*:Tính tổng nhờ đạo hàm và tính giới hạn nhờ đạo hàm 4 Bài 1: Tính tổng sau: a) 2 1 ( ) 1 2 3 . n P x x x nx − = + + + + b) 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 3 . n Q x x x n x − = + + + + Bài 2: Tìm giới hạn sau: a) 2 1 8 3 lim 2 3 x x x x → + − + − b) 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − c) 2 3 1 . lim 1 n x x x x x n x → + + + + − − Bài 3: Chứng minh rằng a) 1 2 1 1 2 . ( 1) 2 n n n n n n n C C n C nC n − − + + + − + = b) 0 1 2 1 1 2 3 . ( 1) 2 2 n n n n n n n n n C C C nC n C n − − + + + + + + = + Bài 4: Tính các tổng sau: a) 1 2 3 19 20 20 20 20 2 3 . 19 20S C C C C= − + − + − b) 1 2 3 29 30 30 30 30 2 3 . 29 30S C C C C= − + − + − baitap 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 2 9y x= − tại 0 1.x = − b) 2 1y x= − tại 0 5.x = c) sin 2y x= tại 0 . 6 x π = d) 2 2 x x y x + = − tại 0 1.x = e) ( ) ( 1)( 2) . 2008y x x x x= − − − tại 0 0.x = 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại 0 .x a) .y x= b) 1 .y x = c) . n y x= d) sin .y x= e) cos .y x= g) tan .y x= 3. Cho hàm số ( ) .f x x= a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm 0 0.x = b) Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải của hàm số tại 0 0.x = Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại điểm 0 0.x = 4. Chứng minh rằng hàm số 1y x= − không có đạo hàm tại 1x = nhưng liên tục tại điểm đó. 5. Tìm ' (0)f của hàm số 2 1 cos 0 ( ) . 0 0 x khi x f x x khi x  ≠  =   =  6. Tính đạo hàm của hàm số a) ( ) 1 3y x x .= − − b) 2 3 2y x x .= − + c) 2 4 3y x x .= + + 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây a) 6 2 2.y x x= − + b) 3 2 ( 4).y x x= − c) 2 (2 1).y x x= − 5 d) ( ) ( ) 3 1y x x .= + − e) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 4 2 .y x x x x= + − g) 2 3 4 ( 1)( 2)( 3).y x x x= + + + 8. Tính đạo hàm của các hàm số sau c) 1 9 . 1 x y x + = + b) 2 3 . 3 x y x a − = + d) 2 3 2 . 2 3 x x y x − + = − e) 2 2 2 2 . x n x m y n x m x = + + + g) 2 1 . 2 y x x = − 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) ( ) 5 2 2 .x x− b) 3 2 11 y (x 2 x 1) .= − + c) 3 2 3 2 .y x   = −  ÷   10. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 4 2 3 7.y x x= − + b) 2 1 .y x= − c) 2 3 2.y x x= − − d) 1 . 1 x y x + = − e) 2 . 1 x y x = − 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) .y x x= b) 3 1 3 .y x= − c) 3 . x y x − = 12. Cho hàm số 2 ( ) 2 8.f x x x= − − Giải phương trình '( ) 1.f x ≤ Đáp số: 2.x < − 13. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 5sin 3cos .y x x= − b) 3 sin( 2).y x x= − + c) tan (cos ).y x= d) sin . sin x x y x x = + e) sin cos . sin cos x x y x x + = − g) 2 cot( 1).y x x= − 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 2 2 y cos (x 2x 2).= + + b) 2 2 y tan (3x 4x).= + c) ( ) 5 3 cot .y x= d) 3 cot 2 .y x= e) 3 2 cot 1 .y x= + 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) tan .y x= b) cos2 .y x= c) 2 2 2cos .y x= + + 16. a) Cho hàm số cos ( ) . cos2 x f x x = Tính giá trị của ' ' . 6 3 f f π π     +  ÷  ÷     b) Cho hai hàm số 4 4 ( ) sin cosf x x x= + và 1 ( ) cos4 . 4 g x x= So sánh ( ) f ' x và ( ) ' .g x c) . ax b y a b + = + 6 . Chú ý: +) nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ tiếp điểm 0 x , ta vẫn là dạng toán này +) Nếu bài toán yêu cầu viết phương.  b) Cho hai hàm số 4 4 ( ) sin cosf x x x= + và 1 ( ) cos4 . 4 g x x= So sánh ( ) f ' x và ( ) ' .g x c) . ax b y a b + = + 6