toan1Bai07KynangTaylor

Ñaàu tieân khai trieån MacLaurint u(x), sau ñoù khai trieån f(u) & caét ñeán luyõ thöøa ñöôïc yeâu caàu (Coù theå ñoåi thöù töï).. ÖÙNG DUÏNG KT TAYLOR.[r]

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TỐN 1

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

• BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR

KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC

-Từ khai triển hàm y = ex  Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx

  ,

tg

3

 



x x o x x

x Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ số hạng bị triệt tieâu!

   , 0

)! (

1

! !

2

cos 2

 

  

 

 o x  x

n x x

x

x n n

n

   

0 ,

)!

(

!

sin 2

1

 

 

 



 



x x

o n

x x

x

x n

n n

!

2  



 x x

ex

chẵn Mũ

lẻ Mũ

     

1 2

2

2

2

)! ( !

2

ch , !

1

!

3

sh  



 

 

 

 

 

 n

n n

n

x o n

x x

x x

o n

x x

x x

x x

x

x, cos sh ,ch

sin không đan dấu 

KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x), LN(1 + x)

-Hàm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân):

 n  n n  n

n x x x o x

x x

o x

x

x             

 1

1 ,

1

1

 

Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị thức Newton (1 + x)n

      xn o xn

n n x

x

x         



!

1 !

2 1

1    



 



VD: Khai triển MacLaurint hàm f  x 1 x đến cấp3 



Giaûi:    , 0

! 3 1 3 !

2 3

1

1

3

3

 

   

 

 

  

 

 

   

 

 

 

 x x x x o x x

  n  n

n

x o x

n x

x x

x       



1

2 ( 1)

3

1

ln 

BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: HÀM

-Hàm Khai triển Phần dö Lagrange

x  1 ! ! ! n x x x x n         !   n c x n e     n n n x n x x

x2 2

! ! !

1      

  2 ! 2 sin cos   n x n c     2 ! ! !         n n n x n x x x

x   

  ! sin cos   n x n c

 n xn x

x

x

1     

x  1 x e x cos x sin

1 x 1 x

ln     1 1    

 n n xn

c

n

x x

x

x    

 

    xn

n n x x ! !

1  

PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH

-VD: Khai triển ML đến cấp 3:    x

x e

x

f x  

 

 5ln 1

2

Giaûi:      3

2

2

2

1 x x x x x x o x

x

f  

  

 

 

 

 

    

 

 

 

VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3: f  x cos x cosh x

Đưa hàm cần khai triển dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) hàm p dụng kh/tr MacLaurint bản

Giaûi:       1  , 0

!

!

1 3

2

2

 

    

 

 

   

 

 

 x o x x o x o x x

x f

Chú ý: Có thể sử dụng đạo hàm, tích phân (coi chừng C!)

VD: Khai triển ML đến cấp 2:   ln 1  1

 



 x x

KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1  x)

-VD: Khai trieån MacLaurint caáp2 ,caáp 3

cos b/

,

/

x x

e a

x



Với thương (tỷ số, phân số) hàm số: Dùng

Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất số 1!1x

1

Giaûi:    

  

 

 

    

 

 

 

 



2

2

4

1 !

2

2

1

1

/ x x o x x x o x

x e

a x

 

 2!     

1

1 cos

1 b/

2

3

3

2  

  

 

 

   

 

 

 



 x o x x o x

x o x

x

VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2  

3

1

 



x x

x f

Giaûi:  

   

 

 

  

 

  



 

 

 



x x

x x

x x

x f

1

1

1

1

1

1

KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HAØM HỢP

-VD: Khai triển MacLaurint a / sin x2 b / cos x đến cấp 4

Hàm hợp f(u(x)): Khai triển bước Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau khai triển f(u) & cắt đến luỹ thừa yêu cầu (Có thể đổi thứ tự)

Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0!

Giải:    4

! sin

0

&

/u x u u u u x o x

a        

   

2 1 24

2

24

1 /

2

4

4

2

 

 

    

   

   

 

 

  

   

 

 

 x x o x x x o x u

b

u    

   

KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VEÀ KTR ML

-VD: Khai triển Taylor hàm   quanh 2 đến cấp3

0 

 x

x x

f

Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x – x0 sử dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t)

Cách 2: Biến đổi để (x – x0) xuất trực tiếp hàm số!

Giải: Cách 1: t = x –   

   

 

 

 

  



 

2 2

1

1

1

1 t

t t

x x

f

Caùch 2: Tạo (x – 2) hàm  

   2

1

1

2

 

  

 

x x

x f

VD: Khai triển Taylor hàm   quanh 8đến cấp2

0

 

 x x

x f

Giaûi:      

   

 

    



   

 

 

 

 

 

 



8

1

2

2

2

3

ỨNG DỤNG KT TAYLOR TÌM GIỚI HẠN

-Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB

VD: Tìm  

e  x

x x

x

x

x sin

1 ln sin sin lim                  

 x x x

x 1 ln lim (SGK/80)     3 lim lim x x o x x x o x x x x x                 ln 3 sin lim x x x x        

 x

x x x x x       1 ln lim 2                    

 x x

x x x x x x x 1 ln 1 ln

lim 2 2

0 VD: Tính sin lim x x x x   VD: Tìm             

0

ỨNG DỤNG KT TAYLOR TÍNH GẦN ĐÚNG

-Tính gần & ước lượng sai số: phần dư Lagrange

  

 

  

 x x

c x

x n

c f

R x

x k

x f

x

f n

n

n n

k

k k

, ,

)! (

, !

)

( 0 0

1

0

 

 

  

 

 



VD: Góc x cho phép xấp xỉ sinx  x với độ xác 10-4

Tương tự: Cần chọn số hạng khai triển hàm y = ex để xấp xỉ e với độ xác 10-4

VD: Tính gần giá trị số e với độ xác 10-4 (SGK/79)

Giải:

     1!

3 ,

1 , ,

! !

1 !

2 !

1 1

 

 

 

 

 

 



n S

e c

n e n

e

c

S    

  

VI PHAÂN

-Hàm khả vi x0  y = Ax + o(x), x  : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo x vô bé bậc cao x

Vi phân: dy = Ax = f’(x)dx Nhận xét: Hàm có đạo hàm  Có vi phân: Hàm khả vi

x y

O

 C : y  f  x

0

x

 x0 f

x

x0 

 x x

f 0 

x



y



 x x

f ' 0 

1/ C: số  dC = & d(Cy) = Cdy

2/ Vi phân tổng,

hiệu, tích, thương:  

 uv vdu udv d

dv du

v u d

 

 



2

v

udv vdu

v u

d   

VI PHÂN HÀM HỢP

-VD: Tính dy cuûa a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost

Giải: b / dy cosxdx  cos xsintdt hoặc y sincost  dy 

VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint

ÑS:

 

2

2

1

/ dx

x x y

d a

 

 2 2

1 sin ''

/ dt

x t dx

y y

d b

 



Vi phân cấp 1:  

 x x x t dy y dx

f y

x x f y

' :

, : ,

 

   

 

 



hợp hàm

lập độc

biến

 Vi phân cấp 1: bất biến!

  

 d y f dx d y

x : Biến độclập '' 2,

 x , x x t d2y f ''dx2 f 'd2x d 2x x ''dt2 f

y      