THPT_TL CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A/KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ PHÂN LOẠI BÀI TOÁN DẠNG 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng giác Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t ≤ 1 Giải phương trình ……….theo t Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lượng giác cơ bản Giải phương trình: 1/ 2cos2x- 4cosx=1 sinx 0   ≥  2 2 3 x k π π = + 2/ 4sin 3 x+3 2 sin2x=8sinx ; 2 4 x k k π π π   = ± +     3/ 4cosx.cos2x +1=0 2 ; 2 ; 2 3 x k k k π π α π β π   = ± + ± + ± +     4/ 1-5sinx+2cosx=0 cos 0x   ≥  2 6 x k π π = + 5/ Cho 3sin 3 x-3cos 2 x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos 2 x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2). Tìm n 0 của (1) đồng thời là n 0 của (2) ( nghiệm chung sinx= 1 3 ) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 5 ; 2 ; 2 6 6 x k k k π π π π π   = + +     7/ a/ tanx+ 3 cot x -2 = 0 b / 2 4 cos x +tanx=7 c * / sin 6 x+cos 4 x=cos2x x k π = 8/sin( 5 2 2 x π + )-3cos( 7 2 x π − )=1+2sinx 5 ; 2 ; 2 6 6 x k k k π π π π π   = + +     9/ 2 sin 2sin 2 2sin 1x x x − + = − 2 x k π π = + 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 5 ; 12 12 x k k π π π π   = + +     12/ 2 4 sin 2 4cos 2 1 0 2sin cos x x x x + − = 3 ; ; 4 8 8 x k n l π π π π π π   = + + +     13/ sin 1 cos 0x x + + = (2 1) ; 2 2 x k k π π π   = + − +     14/ cos2x+3cosx+2=0 2 ; 2 3 x k k π π π π   = + ± +     15/ 2 4 4sin 2 6sin 9 3cos 2 0 cos x x x x + − − = 3 x k π π = ± + 16/ 2cosx- sin x =1 DẠNG 2 : Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c Cách 1: asinx+bcosx=c Đặt cosx= 2 2 a a b+ ; sinx= 2 2 b a b+ 2 2 sin( )a b x c α ⇒ + + = C¸ch : 2 sin cos b a x x c a   + =     §Æt [ ] tan sin cos .tan b a x x c a α α = ⇒ + = sin( ) cos c x a α α ⇔ + = C¸ch 3: §Æt tan 2 x t = ta có 2 2 2 2 1 sin ;cos 1 1 t t x x t t − = = + + 2 ( ) 2 0b c t at b c⇒ + − − + = Đăc biệt : 1. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( ) 3 6 x x x x π π + = + = − 2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x x x π π ± = ± = m 3. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( ) 3 6 x x x x π π − = − = − + Điều kiện Pt có nghiệm : 2 2 2 a b c + ≥ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH : 1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0 ; 60 10 5 x n m π π π   = +     k=4 2 30 5 x n π π = + 2/ a : 1 3 sin cos cos x x x + = ; 3 x k k π π π   = +     b: 6 4sin 3cos 6 4sin 3cos 1 x x x x + + = + + c: 1 3 sin cos 3 3 sin cos 1 x x x x + = + + + ; 2 6 3 x k k π π π π   = − + − +     Chuyên đề phương trinh lượng giác 1 THPT_TL 3/ cos7 3 sin 7 2 0x x − + = 5 2 13 2 ; 84 7 84 7 k x k π π π π   = + − +     *tìm nghiệm 2 6 ( ; ) 5 7 x π π ∈ 4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 2 3 x k π π = + 5/ 2 1 cos cos 2 cos3 2 (3 3 sin ) 2cos cos 1 3 x x x x x x + + + = − + − 6/ 2 cos 2sin .cos 3 2cos sin 1 x x x x x − = + − 2 18 3 k x π π = − + DẠNG 3 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1/a/ 3sin 2 x- 3 sinxcosx+2cos 2 x cosx=2 b/ 4 sin 2 x+3 3 sinxcosx-2cos 2 x=4 c/3 sin 2 x+5 cos 2 x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin 2 x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos 2 x-5- 3 =0 2/ sinx- 4sin 3 x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 4 x k π π = + + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔ (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin 2 x-2sin 2 x=3(cos2x+sinxcosx) ; 4 3 x k k π π π π   = + ± +     4/ 3cos 4 x-4sin 2 xcos 2 x+sin 4 x=0 ; 4 3 x k k π π π π   = ± + ± +     5/ 4cos 3 x+2sin 3 x-3sinx=0 4 x k π π = + 6/ 2 cos 3 x= sin3x 4 x k π π = + x k α π = + 7/ cos 3 x- sin 3 x= cosx+ sinx x k π = 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos 3 x 3 x k π π = ± + x k α π = + 9/sin 3 (x- π /4)= 2 sinx 3 4 x k π π = + DANG 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx * a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx 2t ≤ ⇒ at + b 2 1 2 t − =c ⇔ bt 2 +2at-2c-b=0 * a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx 2t ≤ ⇒ at + b 2 1 2 t− =c ⇔ bt 2 -2at+2c-b=0 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1/ a/1+tanx=2sinx + 1 cos x ; 2 4 x k k π π π   = − +     b/ sin x+cosx= 1 tan x - 1 cot x 3 ; 2 4 4 x k k π π π α π   = + ± − +     2/ sin 3 x+cos 3 x=2sinxcosx+sin x+cosx 2 k x π = 3/ 1- sin 3 x+cos 3 x= sin2x ; 2 ; 2 4 2 x k k k π π π π π π   = + + +     4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5 2 ; 2 ; 2 6 6 4 x k k k π π π π π α π   = + + − ± +     5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2 2 4 x k π π = + 6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 2 ; 2 2 x k k π π π   = +     7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx 8/1+sin 3 2x+cos 3 2 x= 3 2 sin 4x ; 4 2 x k k π π π π   = − + +     9/ * a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos 4 x+sin 4 x-2(1-sin 2 xcos 2 x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 Chuyên đề phương trinh lượng giác Đẳng cấp bậc 2: asin 2 x+bsinx.cosx+c cos 2 x=0 Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx ≠ 0 .Chia 2 vế cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx +c=d(tan 2 x+1) Cách2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin 3 x+b.cos 3 x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc asin 3 x+b.cos 3 x+csin 2 xcosx+dsinxcos 2 x=0 Xét cos 3 x=0 và cosx ≠ 0 Chia 2 vÕ cho cos 2 x ta ®îc Pt bËc 3 ®èi víi tanx 2 THPT_TL 10/ sin cos 4sin 2 1x x x − + = 2 k x π = 11/ cosx+ 1 cos x +sinx+ 1 sin x = 10 3 3 2 ; 2 4 4 x k k π π α π α π   = − + + + +     12/ sinxcosx+ sin cosx x + =1 2 k x π = DANG 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc Công thức hạ bậc 2 cos 2 x= 1 cos 2 2 x + ; sin 2 x= 1 cos2 2 x − Công thức hạ bậc 3 cos 3 x= 3cos cos3 4 x x + ; sin 3 x= 3sin sin3 4 x x − GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1/ sin 2 x+sin 2 3x=cos 2 2x+cos 2 4x ; ; 10 5 4 2 2 k k x k π π π π π π   = + + +     2/ cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=3/2 ; 8 4 k x k π π α π   = + +     3/sin 2 x+ sin 2 3x-3 cos 2 2x=0 ; 3 2 x k k π α π π   = ± + ± +     4/ cos3x+ sin7x=2sin 2 ( 5 4 2 x π + )-2cos 2 9 2 x ; ; 12 6 8 2 4 k k x k π π π π π π   = + − + −     5/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x với (0; )x π ∈ ; 4 10 5 k l x π π π   = +     6/sin 2 4x-cos 2 6x=sin( 10,5 10x π + ) với (0; ) 2 x π ∈ 3 9 ; ; .; 20 20 20 x π π π   =     7/ cos 4 x-5sin 4 x=1 x k π = 8/4sin 3 x-1=3- 3 cos3x 2 2 ; 6 3 18 3 k k x π π π π   = + − +     9/ sin 2 2x+ sin 2 4x= sin 2 6x ; 4 12 6 k k x π π π   = +     10/ sin 2 x= cos 2 2x+ cos 2 3x ; ; 4 2 2 6 k x k k π π π π π π   = + + ± +     11/ (sin 2 2x+cos 4 2x-1): sin cosx x =0 4 x k π π   = +     12/ 4sin 3 xcos3x+4cos 3 x sin3x+3 3 cos4x=3 ; 24 2 8 2 k k x π π π π   = + +     13/ 2cos 2 2x+ cos2x=4 sin 2 2xcos 2 x 14/ cos4xsinx- sin 2 2x=4sin 2 ( 4 2 x π − )-7/2 với 1x − <3 2 6 7 2 6 x k x k π π π π  = +    = +   k=0 15/ 2 cos 3 2x-4cos3xcos 3 x+cos6x-4sin3xsin 3 x=0 4 2 k x π π = + 16/ sin 3 xcos3x +cos 3 xsin3x=sin 3 4x 12 k x π = 17/ * 8cos 3 (x+ 3 π )=cos3x ; ; 3 6 x k k k π π π π π   = + +     18/cos10x+2cos 2 4x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos 2 3x 2x k π = 19/ sin 5 5sin x x =1 vô nghiệm 20 / cos7x+ sin 2 2x= cos 2 2x- cosx 2 ; 8 4 9 3 k k x π π π π   = + ± +     21/ sin 2 x+ sin 2 2x+ sin 2 3x=3/2 ; 8 4 6 k x m π π π π   = + ± +     22/ 3cos4x-2 cos 2 3x=1 DANG 6 : Phư ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức * a 3 ± b 3 =(a ± b)(a 2 m ab+b 2 ) * a 8 + b 8 =( a 4 + b 4 ) 2 -2 a 4 b 4 * a 4 - b 4 =( a 2 + b 2 ) ( a 2 - b 2 ) * a 6 ± b 6 =( a 2 ± b 2 )( a 4 m a 2 b 2 +b 4 ) GIẢI PH ƯƠNG TRÌNH 1/ sin 4 2 x +cos 4 2 x =1-2sinx x k π = 2/ cos 3 x-sin 3 x=cos 2 x-sin 2 x ; 2 ; 2 4 2 x k k k π π π π π   = + +     3/ cos 3 x+ sin 3 x= cos2x ; 2 ; 2 4 2 x k k k π π π π π   = − + − +     4/ 4 4 sin cos 1 (tan cot ) sin 2 2 x x x x x + = + vô nghiệm 5/cos 6 x-sin 6 x= 13 8 cos 2 2x ; 4 2 6 k x k π π π π   = + ± +     6/sin 4 x+cos 4 x= 7 cot( )cot( ) 8 3 6 x x π π + − 12 2 k x π π = ± + 7/ cos 6 x+sin 6 x=2(cos 8 x+sin 8 x) 4 2 k x π π = + 8/cos 3 x+sin 3 x=cosx-sinx 9/ cos 6 x+sin 6 x=cos4x x k π = 10/ sinx+sin 2 x+sin 3 x+sin 4 x= cosx+cos 2 x+cos 3 x+cos 4 x ; 2 ; 2 4 2 x k k k π π π π π π   = + − + +     11/ cos 8 x+sin 8 x= 1 8 8 4 k x π π = + 12/ (sinx+3)sin 4 2 x -(sinx+3) sin 2 2 x +1=0 2 x k π π = + DANG 7 : Ph ương trình LG biến đổi về tích bằng 0 Chuyên đề phương trinh lượng giác 3 THPT_TL 1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 ; ; 3 8 4 k k x k π π π π   = +     2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 5 2 ; 2 ; 2 2 4 4 x k k k π π π π α π α π   = + − + + + +     3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 5 2 ; 2 ; 2 ; 2 6 6 2 x k k k k π π π π π π π   = + + +     4/sin 3 x+2cosx-2+sin 2 x=0 2 ; 2 2 x k k π π π   = +     5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 3 ;tan 2 x k x π = = − 6/ 3 2 sin2x+ 2 cos 2 x+ 6 cosx=0 2 2 x k π π = + 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 5 2 ; 2 6 6 x k k π π π π   = + +     8/ sin 3 sin 5 3 5 x x = 2 ,cos 2 3 x k x π = = − 9/ 2cos2x-8cosx+7= 1 cos x 2 ; 2 3 x k k π π π   = ± +     10/ cos 8 x+sin 8 x=2(cos 10 x+sin 10 x)+ 5 4 cos2x 4 x k π π = + 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 5 2 7 2 ; ; 2 ; 2 6 6 3 6 k x k k k π π π π π π π   = − + + +     12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 ; 2 4 3 x k k π π π π   = − + ± +     13/ sin 2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 ; 4 3 x k k π π π π   = − + ± +     14/ 2sin3x- 1 sin x =2cos3x+ 1 cos x ; 4 2 4 3 k k x π π π π   = + +     15/cos 3 x+cos 2 x+2sinx-2=0 2 ; 2 2 x k k π π π   = +     16/cos2x-2cos 3 x+sinx=0 5 2 ; 2 ;cos 2 4 4 2 x k k x π π π π π     = + + + =    ÷     17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1 cos x )=0 4 2 k x π π = + 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 5 11 2 ; 2 2 12 2 x k k k π π π π π π   = + + − +     19/1+cot2x= 2 1 cos2 sin 2 x x − 4 2 k x π π = + 20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1 sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 2 x k π π = + 22/ 1+tanx=sinx+cosx 3 ; 2 4 x k k π π π   = +     23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx ; 4 x k k π π π   = +     24/ 2 2 sin( ) 4 x π + = 1 1 sin cosx x + 4 x k π π = + 25/ 2tanx+cotx= 2 3 sin 2x + 3 x k π π = + 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 2 1 ,cos( ) 4 4 2 x k x π π π − = − + + = 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 2 x k π π = + DANG 8 : Phư ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc cos2x= cos 2 x- sin 2 x =2cos 2 x-1=1-2sin 2 x sin2x=2sinxcosx tan2x= 2 2 tan 1 tan x x − sinx = 2 2 1 t t+ ; cosx= 2 2 1 1 t t − + tanx= 2 2 1 t t− GIẢI PH ƯƠNG TRÌNH 1/ sin 3 xcosx= 1 4 + cos 3 xsinx 8 2 k x π π = + 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 2 2 ; 17 17 15 k k x π π π   = +     3/tanx+2cot2x=sin2x 4 x k π π = ± + 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos 2 x ; 2 6 x k k π π π π   = + ± +     5/ sin4x=tanx 3 1 ;cos 2 2 x k x π − = = 6/ sin2x+2tanx=3 4 x k π π = + 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 4 x k π π = + 8/tanx+2cot2x=sin2x 4 x k π π = ± + 9/ cotx=tanx+2cot2x 8 4 k x π π = + 10/a* tan2x+sin2x= 3 2 cotx ; 2 6 x k k π π π π   = + ± +     b* (1+sinx) 2 = cosx 2 ; 2 2 x k k π π π   = +     DANG 9 : Ph ương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng GIẢI PHƯ ƠNG TRÌNH 1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x ; 8 2 2 k k x π π π   = +     2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 2 ; ; 5 5 2 k x k k π π π π π π   = + + +     3/ sin 3 sin sin 2 cos 2 1 cos2 x x x x x − = + − tìm ( ) 0;2x π ∈ 9 21 29 ; ; ; 16 16 16 16 x π π π π   =     4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 ( ) 2 ; ; 2 1 5 2 k x k k π π π π   = + +     5/ sin5x+ sinx+2sin 2 x=1 2 5 2 ; ; 18 3 18 3 4 2 k k k x π π π π π π   = + + +     6/ ( ) 3 cos 2 cot 2 4sin cos cot 2 cos 2 4 4 x x x x x x π π +     = + −  ÷  ÷ −     5 ; 2 12 12 x k π π π   = +     7/ tanx+ tan2x= tan3x 3 k x π = 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x ; 2 2 x k k π π π π   = + +     DANG 10 : Ph ương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B GIẢI PH ƯƠNG TRÌNH 1/ sin( 3 10 2 x π − )= 1 2 sin( 3 10 2 x π + ) 3 4 14 2 ; 2 ; 2 5 15 15 x k k k π π π π π π   = + + +     2/ sin( 3 4 x π − )=sin2x sin( 4 x π + ) 4 2 x k π π = + Chuyên đề phương trinh lượng giác 4 THPT_TL 3/(cos4x/3 – cos 2 x): 2 1 tan x − =0 3x k π = 4/ cosx-2sin( 3 2 2 x π − )=3 4x k π = 5/ cos( 7 2 2 x π − )=sin(4x+3 π ) ; 6 2 k x k π π π   = ± +     6/3cot 2 x+2 2 sin 2 x=(2+3 2 )cosx 2 ; 2 3 4 x k k π π π π   = ± + ± +     7/2cot 2 x+ 2 2 cos x +5tanx+5cotx+4=0 4 x k π π = − + 8/ cos 2 x+ 2 1 cos x =cosx+ 1 cos x x k π = 9/sinx- cos2x+ 1 sin x +2 2 1 sin x =5 7 2 ; 2 ; 2 2 6 6 x k k k π π π π π π   = + − + +     11/ 1 sin 2 1 sin 2 x x + − +2 1 tan 1 tan x x + − =3 { } ; , tan 2x k k π α π α = + = DANG 11 : Ph ương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp GIẢI PH ƯƠNG TRÌNH 1/ 3 4 6 (16 3 8 2)cos 4cos 3x x + − − = − 2 4 x k π π = ± + 2/cos ( ) 2 3 9 16 80 4 x x x π   − − −     =1 tìm n 0 x ∈ Z { } 21; 3x = − − 3/ 5cos cos2x x − +2sinx=0 2 6 x k π π = − + 4/3cotx- tanx(3-8cos 2 x)=0 3 x k π π = ± + 5/ ( ) 2 sin tan 2cos 2 tan sin x x x x x + − = − 2 2 3 x k π π = ± + 6/sin 3 x+cos 3 x+ sin 3 xcotx+cos 3 xtanx= 2sin 2x 2 4 x k π π = + 7/tan 2 xtan 2 3 xtan 2 4x= tan 2 x-tan 2 3 x+tan4x 4 k x π = 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x 2 3 k x k π π π   = +     9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan 2 x) x k π = 10/ 2 sin sin 1 sin cosx x x x+ = − − 5 1 ;sin 2 x k x π − = = 11/cos 2 ( ) 2 sin 2 cos 4 x x π   +     -1=tan 2 2 tan 4 x x π   +  ÷   2 4 x k π π = − + 12/ 2 3 2 cos 6 sin 2sin 2sin 5 12 5 12 5 3 5 6 x x x x π π π π         − − − = − − +  ÷  ÷  ÷  ÷         5 5 5 5 ; 5 ; 5 12 3 4 x k k k π π π π π π   = − + − + +     DANG 12 : Ph ương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm GIẢI PH ƯƠNG TRÌNH 1/ cos3x+ 2 2 cos 3x − =2(1+sin 2 2x) x k π = 2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x 4 x k π π = + 3/ cos 2 4x+cos 2 6x=sin 2 12x+sin 2 16x+2 với x ( ) 0; π ∈ 4/ 8cos4xcos 2 2x+ 1 cos3x− +1=0 2 2 3 x k π π   = ± +     5/ sin cos x x π = 0x = 6/ 5-4sin 2 x-8cos 2 x/2 =3k tìm k ∈ Z * để hệ có nghiệm 7/ 1- 2 2 x =cosx 8/( cos2x-cos4x) 2 =6+2sin3x 2 x k π π = + 9/ ( ) 1 1 cos 1 cos cos 2 sin 4 2 x x x x − + + = 2 4 x k π π = ± + Chuyên đề phương trinh lượng giác 5 . CHUYÊN ĐỀ :PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A/KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ PHÂN LOẠI BÀI TOÁN DẠNG 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng