Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu ; thì cần tìm điều kiện của [r]
(1)Phòng GD-ĐT Gio Linh Trường THCS Gio Mai
PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH BD HSG TỐN 8 Năm học 2009 – 2010
(Từ tuần 13 đến tuần 31)
-o0o -Chuyên đề Tiết Nội dung
1.Phân tích đa thức 1-2-3 Các ví dụ - Phương pháp giải thành nhân tử.(9 tiết) 4-5-6 Luyện tập
7-8-9 Luyện tập
2.Tính chất chia hết trong N.(11 tiết)
10-11-12 Một số dấu hiệu chia hết – Một ví dụ minh hoạ
13-14 Một số định lí phép chia hết - Ví dụ minh hoạ
15-16 Đồng dư thức - Một số ví dụ minh hoạ 17-18 Phương pháp chứng minh quy nạp - Một
số ví dụ minh hoạ
19-20 Luyện tập
3.Bất đẳng thức -Cực 21-22 Bất đẳng thức Cô si Hệ quả
trị .(10 tiết) 23-24 Phương pháp xét hiệu hai vế
25-26 Phương pháp xét hiệu hai vế (tiếp theo) 27-28 Tìm GTLN – GTNN đa thức dạng 29-30 Tìm GTLN – GTNN đa thức dạng 4.Một số Bất đẳng
thức thường dùng
31-32 Phương pháp chứng minh dựa vào số BĐT cho sẳn
.(6 tiết) 33-34 Luyện tập
35-36 Luyện tập ( tiếp theo) 5.Tứ giác - Một số tứ
giác đặc biệt.(12 tiết)
37-38-39 Các tứ giác đặc biệt: Tính chất – Dấu hiệu nhận biết
40-41-42 Luyện tập
43-44-45 Luyện tập
46-47-48 Luyện tập
6.Phương pháp diện 49-50-51 Một số ví dụ tích - Cực trị hình
học .(6 tiết)
52-53-54 Luyện tập
7.Phân thức Đại số .
(15 tiết)
55-56-57 Biến đổi đồng Biểu thức hữu tỉ-Một số ví dụ
58-59-60 Luyện tập
61-62-63 Tính giá trị biểu thức-Một số ví dụ
64-65-66 Luyện tập
67-68-69 GTLN – GTNN biểu thức dạng
m P
ax bx c
(2)8.Tam giác đồng dạng - Định lí Ta-lét
70-71 Định lí Ta-lét-Một số ví dụ
.(13 tiết) 72-73-74 Luyện tập
75-76 Các trường hợp đông dạng
77-78-79 Luyện tập
80-81-82 Luyện tập
9.Ôn tập-Thi thử 83-84-85 Ôn tập
.(13 tiết) 86-87-88 Ôn tập
89-90-91 Thi thử
92-93-94 Thi thử
95 Một số kinh nghiệm làm thi Danh sách Đội tuyển HSG Toán – Năm học 2009 – 2010
STT Họ tên Lớp
1. Lê thị Ngọc Trâm 8C
2. Trương Khắc Tài 8C
3. Hà Ngọc Tiến 8C
4. Trương Khắc Quốc 8B
(3)Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Tiết 3 :
Các ví dụ phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a ax21 xa2 1
b x xn xn
3
Giải:
a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung x2 1 xa2 1
a = ax2a a2x x
1 ax x a x a x a ax
b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức n
n x
x
x 1 3 xnx3 1x1
1 1
1 1 1 1 2
n n
n n n x x x x x x x x x x x x x
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x8 + 3x4 + 4.
b x6 - x4 - 2x3 + 2x2
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4
= (x4 + 2)2 - (x2)2
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
1 2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc
b 2007 2006 2007
x x
x
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp:
abc bc c b ac c a ab b
a 4
2 2 2 2
a b b ca c
c b c c b a b a bc c ac ab b a b a bc b a c b a ac b a ab abc bc c b ac abc c a ab b a abc bc c b ac c a ab b a 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức 2007
206 2007
4 x x
x
1 2007
1 2007 1 2007 2007 2007 2 2 x x x x x x x x x x x x x x
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.a3 b3 c3 3abc
(4)b a b c3 a3 b3 c3
Giải: Sử dụng đẳng thức
a ba b ab b
a3 3 2 2 ab ab2 3ab
ab abab
3 Do đó:
b c abc
a3 3 a b3 c3 3aba b 3abc
a b ca b c ab bc ca
c b a ab c c b a b a c b a 2 2
b 3 3 3 3 3
c b a c b a c b a c b
a
b c a ab bc ca b ca ca b
c bc b c b a c b a a c b a c b 3 3 2 2
Ví dụ 5: Cho a + b + c =
Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc.
Giải: Vì a + b + c =
abc c b a abc c b a c b a ab b a c b a 3 3 3 3 3 3 3
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, 2a > b > Tính
2
4a b ab P
Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab 4a2 + b2 - 5ab = 0
( 4a - b)(a - b) = a = b Do 3 2
2
a a b a ab P
Ví dụ 7:Cho a,b,c x,y,z khác khác Chứng minh nếu:
1 ;
0
c z b y a x z c y b x a
; 2
2 2 2 c z b y a x
Giải: 0 0 ayzbxzcxy0 xyz cxy bxz ayz z c y b x a 1 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x abc cxy bxz ayz c z b y a x c z b y a x c z b y a x
Tiết -9
Bài tập vận dụng - Tự luyện
1 Phân tích đa thức thành nhân tử : a 12
x
x
b x2 8x15 c 16
x
x
d 3
x x
x
2 Phân tích đa thức thành nhân tử :
2 2 15
x x x
x
3 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.
4 Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.
5 Cho a +| b + c + d =
Chứng minh a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
(5)2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7 Chứng minh với x,y nguyên :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
số phương
8 Biết a - b = Tính giá trị biểu thức sau:
1 2 1 1
2
b b ab aba b
a a
9 Cho x,y,z số thỏa mãn đồng thời:
1 1 1 3 2 z y x z y x z y x
Hãy tính giá trị biếu
thức
P = 117 19 11997
y z
x
10
a.Tính 12 22 32 42 992 1002 1012
b.Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 53.
Tính ab + bc + ca
11 Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = xy + yz + zx =
Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007
12 Cho số a,b,c thỏa điều kiện :
c b a c b
a
1
1
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008).
==========o0o========== HƯỚNG DẪN:
1 Phân tích đa thức thành nhân tử : a 12 4 3
x x x
x
b 15 3 5
x x x
x
c 16 2 8
x x x
x
d 3 1 2 3
x x x x x
x
2 Phân tích đa thức thành nhân tử :
2 2 15 5 3
x x x x x x x
x
3 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3
x yx ay axya
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
abbcca
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz xyyzzx
4 x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
12 2 32 | 22
x y z
5 Từ a + b + c + d = 3 3
d c b
a
Biến đổi tiếp ta :a3 + b3 + c3 +
d 3= 3(c + d)( ab + cd).
6 Nếu x + y + z = :
2 2
2 2 5 2 5 2 2 2 3 3 3 * ; 2 3 z y x xyz zx yz xy xyz z y x xyz zx yz xy xyz z y x z y x xyz zx yz xy xyz z y x z y x xyz z y x z y x xyz z y x
Nhưng: 2 2
2
0 xyz xy yz zx x y z
z y
x (**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
(6)A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
2 22
5 5xy y x
8 Biến đổi 2 1 2 1 1 2 1
b b ab aba b a b a b
a a
9 Từ
1 1
3 3 y z x
z y x
xyz x y z xyyzzx
3 3
0 0
x z
z y
y x
2
P
10
a Sử dụng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151
b Sử dụng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14
11 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = suy : x = y = z = 0;S = 0
12 Từ:
c b a c b
a
1
1
: (a + b)(b + c)(c + a) = Tính Q =
(7)Chuyên đề 2 : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N
Ti
t 10-12:ế
Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ
I.Một số dấu hiệu chia hết
1 Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125. a an n1 a a1 02 a02 a0 0; 2; 4;6;8
a an n1 a a1 05 a0 0;5
1 n n
a a a a ( hc 25) a a1 04 ( hc 25)
a an n1 a a1 08 ( hc 125) a a a2 08 ( hc 125)
2. Chia hÕt cho 3; 9.
a an n1 a a1 03 (hc 9) a0a1 an3 ( hc 9)
NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( hc 9) cịng d phép chia tổng chữ sè cđa N cho ( hc 9).
3 DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:
Cho A a a a a a a5 A11 a0a2a4 a1a3a5 11
4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101
A a a a a a a5 A101 a a1 0a a5 4 a a3 2a a7 6 101
II.Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y để: a) 134 45x y
b) 1234xy72
Giải:
a) Để 134 45x y ta ph¶i cã 134 4x y chia hÕt cho y = y = 5
Víi y = th× tõ 134 40 9x ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 9 x4 9 x5
ta có số 13554
víi x = th× tõ : 134 9x y ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +59
9 0;
x x x
lúc đóta có số: 135045; 135945.
b) Ta cã 1234xy123400xy72.1713 64 xy72 64xy72
Vì 64 64 xy163 nên 64xy 72 144.
+ Víi 64xy=72 th× xy=08, ta cã sè: 123408.
+ Víi 64xy=14 th× xy=80, ta cã sè 123480
Ví dụ Tìm chữ số x, y để N 7 36 1375x y
Gi¶i:
Ta cã: 1375 = 11.125.
125 125
7 3625 11 12 11
N y y
N x x x x
Vậy số cần tìm lµ 713625
VÝ dơ 3 a) Hái sè 1991
1991 1991
1991 1991
so
A cã chia hÕt cho 101 kh«ng?
b) Tìm n để An101
Gi¶i:
a) GhÐp chữ số liên tiếp A1991 có cặp sè lµ 91;19
Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991 72 101 nªn A1991101
(8)TIẾT 13– 14:
II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT
A.Tãm t¾t lý thuyÕt
1 Định lý phép chia hết:
a) Định lý
Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b0, có số nguyên q, r cho :
a bq r víi 0 r b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d.
Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hết cho b hay b ớc a, ký
hiÖu a b .
VËy
b) TÝnh chÊt
a) NÕu a b vµ b c th× a c
b) NÕu a b và b a a = b
c) NÕu a b , a c vµ (b,c) = th× a bc
d) NÕu ab c (c,b) = a c
2 TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.
- NÕu
m b
m a
m b a
- NÕu
m b
m a
m b a
- NÕu
m b
m a
a
.b m
- Nếu am an m (n số tự nhiên)
3.Một số tính chất khác:
Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!
A a A bvà (a;b) = Aa.b
B.Ví dụ:
1. Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 12 24 n n Giải:
12 1 1 1 2 4! 24
A n n n n n n
Bài tập tự luyện: 2. Chứng minh
a. 48
n n
n với n chẳn
b 10 384
n
n với n lẻ
3. Chứng minh : 2 72
n n
n với n nguyên
4. CMR với số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6. b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7. c) (a2 + a + 1)2 – chia hết cho 24
d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
(9)5. CMR với số tự nhiên n biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6
(10)Tiết 15– 16:
3 §ång d thøc I.Lí thuyết đồng dư:
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a, b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo môđun m
KÝ hiÖu : a b (mod )m
b) TÝnh chÊt
a) a b (mod )m a c b c (mod )m
b)a b(mod )m na nb (mod )m
c) a b(mod )m an bn(mod )m
d) a b (mod )m ac bc (mod )m c) Một số đẳng thức:
am b a bm
an b a bn
(n lẻ)
a b n B a( )b
II.Ví dụ:
1. Chứng minh:29 299 200
Giải:
2 + = = 512 112(mod 200) (1) = 112 (mod 200)
112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200) 12 = 61917364224 24(mod 200)
112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200) 88(mod 200) (2)
Từ (1) (2) + = 200(mod 200) hay 29299200
III,Bài tập tự luyện:
Sử dụng đẳng thức đồng dư
1. 19611962 19631964 19651966 2
2. 241917 14191719
3. 29 299200
4. 13123456789 1183
5. 19791979 1981198119821980
6. 33233 3100120
7. 22225555555522227
(11)-Tiết 17– 18:
QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1?
B2: Giả sử Mệnh đề với n = k Chứng minh mệnh đề với n = k + 1
II.VÍ DỤ:
1. Chứng minh với số nguyên dương n thì: 7n2 82n1 57
Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855 57
- Giả sử Ak 57 nghĩa 7n282n157
Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8
Vì + ( giả thiết qui nạp) 57.8 57
Ak+1 57
Vậy theo nguyên lí qui nạp A = + 57
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n số nguyên n n0 Thì ta
kiểm tra mệnh đề n = n0?
III.BÀI TẬP:
Chứng minh : Với n số tự nhiên thì:
1. 52 1 23
n n
n
2. 11 + 12 133
3. 5n2 26.5n 82n159
4. 22n1 33n15
5. 22n2 24n1418
(12)-Tiêt 19-20
LUYỆN TẬP
1. A1ab2c1025
2. 5 12
abca c B
3. E ab cho ab2 ab3
4. A = ab a b2
HD: ab a b2
abab19a92 (a + b) (a + b) = 9k k = a + b = 9a = 9.8 = 72 a = b =
5. B = abcd ab cd2
HD: Đặt xab ; ycd 99x = (x + y)(x + y - 1) 992
Xét khả :
) ( 99
) ( 99 x x
(1) B = 9801
(2)
l y x
k y x
l y
x
k y x
9 1
11 11 1
9
3025 2025
B B
ĐS: B = 9801;2025;3025
6. Cabcdef =abcdef2
7. H abcd cho
3
1
n n
n n
d dd c
cc b bb a aa 8. Tìm xyy1 4z z2
9. Tính giá trị biểu thức:
1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3.
2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy
3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy.
4/ Cho x + y = m x.y = n.Tính giá trị biểu thức sau theo m,n.
a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4
5/ Cho x + y = m x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m n.
6/ a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4.
(13)Tiết 21-22
I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ 1. Chứnh minh : (Với a , b 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a – b ) = a - 2ab + b a + b 2ab Đẳng thức xảy a = b
2. Chứng minh: (Với a , b 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab + 4ab ( a + b ) 4ab Đẳng thức xảy a = b
3. Chứng minh: (Với a , b 0)
Giải:
2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) 2(a + b) ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b
4. Chứng minh: (Với a.b > 0)
Giải:
+ = Do ab Hay + Đẳng thức xảy a = b
5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do - -2 Hay + - Đẳng thức xảy a = -b
6. Chứng minh: (Với a , b > 0)
Giải:
+ - = = + Đẳng thức xảy a = b
7. Chứng minh rằng:
Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a)
(14)Tiết 23-26
A B A B 0
Cần lưu ý tính chất:A2 0
Đẳng thức xảy A =
Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh bất đẳng thức sau 1. a2 + 4b2 + 4c2
4ab - 4ac + 8bc
2. a2 b2c2 d2e2 abcde 3. x 1x 3x 4x 6101 4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13
6. a2 + 9b2 + c2 +
2 19
> 2a + 12b + 4c
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b +
8. x2 – xy + y2
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y +
11. x4 + x3y + xy3 +y4 0
12. x5 + x4y + xy4 +y5
với x + y
13. a4 + b4 +c4
a2b2 + b2c2 + c2a2
14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b
15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d )
16.
2
2
2
2
b a b a
17.
2
2
3
3
b c a b c a
18. babcac ab ac cb (với a b c > 0)
19.
ab ab b
a
9 12
( Với a,b > 0)
20. bca cab abc a1b11c (Với a,b,c > 0)
(15)HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức A VP bất đẳng thức B (Nếu khơng nói thêm qui ước dùng cho tập khác).Với BĐT có dấu ; cần tìm điều kiện biến để đẳng thức xảy A – B = a 2c 2b2
Bài 2: 4A – 4B = a 2b2 a 2c2 a 2d2 a 2e2
Bài 3: A – =x1x 3x 4x 69= 32 Y Bài 4: A – B = 12 2 32 3 12
b c
a
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2
Bài 7: A – B = 2 2 12
b b
a Bài 8:
x2 – xy + y2 =
4
2
y y
x
Bài 9: x2 – xy + y2 -3x – 3y + = 12 1 1 12
x y y
x .
Biến đổi tiếp
Bài 10: Tương tự
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = x2 xy y2x y2
Bài 12: Tương tự 11
Bài 13: Xem ví dụ
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d ) = c da b
Bài 16:
A - B =
4
2a2 b2 a b
Bài 17: Xem tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)(
(Với a b c 0)
Bài 19:
A - B =
ab b a a
b
9
3
32
( Với a,b > 0)
Bài 20:
A - B =
abc
ab ac ac bc bc
ab 2 2
(Với a,b,c > 0)
(16)Tiết 27-30
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG
- Nếu a > :
2
2 4ac-b
ax + bx +c =
4a
b
P a x
a
Suy
2
4ac-b =
4a
MinP Khi x=- b
2a
Nếu a < :
2
2 a c+b
ax + bx +c =
4 a
b
P a x
a
Suy
2
4 a c+b ax
4 a
M P Khi x= b a Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN A = 2x2 + 5x + 7
Giải:A = 2x2 + 5x + = 2( 2.5 25 25) 7
4 16 16
x x =
25 56 25 31
2( ) 2( ) 2( )
4 8
x x x
Suy 31
8
MinA Khi x
2. Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 7
Giải: A = -2x2 + 5x + = -2( 2.5 25 25) 7
4 16 16
x x =
2( 5)2 25 56 25 2( 5)2 81 2( 5)2
4 8
x x x
Suy 81
8
MinA Khi x
3. Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + MinB = :
4. Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - 10 GTLNC = 10 khi:
BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN A x 2 2008x
6. Tìm GTLN B = + 3x - x2
7. Tìm GTLN D = 2007x25x
8. Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
9. Tìm GTNN G = x410x325x212
10.Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y
11.Tìm GTNN C = 3 12 43
x
x
12. Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3)
(17)HƯỚNG DẪN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75
MinA = 2001,75 x = 2,5
6. B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2
7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2
8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) =
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16
11.C = 3 12 43
x
x
* Nếu x C = (3x - 3) +
* Nếu x < C = (3x + 1) +
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) +
13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) -
(18)Tiết 31-36
* Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào
1 a2 b2 2ab (a,b>0) (BĐT Cô-si)
2 ab2 4ab
3 2a2 b2 a b2
4 2;a,b0 a
b b a
5 1 ; , 0
a b
b a b a
6 a2b2c2 abbcca
7 2 2 2
y x b a by
ax ( Bu nhi a cop xki)
8 ax by ax by
2
9 ax by cz ax by cz
2 2
Ví dụ 9:Chứng minh a b c
b ca a bc c ab
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B = a b c b ca a bc c ab 2 2
2
=
2
b a a b c a c c a b b c c b a
Áp dụng bất đẳng thức 2;a,b0 a
b b a
.Ta có:2A - 2B a2 2b2 2c2 20.Vậy A
B.Đẳng thức xảy a = b = c >
Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : 2 2 8
y x
xy
Giải: 2 2 2 2
4 2 2 2 y xy x y x xy y x xy y x
xy
8
2
y
x Đẳng thức xảy
y
x
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a b b c c a a c c b b a 2 2 2 Giải: c a c b b a c b b a 2 2 ; a b a c c b a c c b 2 2 ; b c b a a c b a a c 2 2
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
a b b c c a a c c b b a a b b c c a a c c b b a 2 2 2 2 2 2 2
(19)Bài tập:
1. Cho a,b,c số dương.Chứng minh rằng 1 19
c b a c b a
2. Cho số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
3. Cho số a,b biết a + b = Chứng minh
a) a + b b) a + b
4. Cho số dương a,b,c a + b + c = Chứng minh: + +
5. Cho x , y , z 0và x + y + z Chứng minh rằng: + + + +
6. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a +
b + 14
7. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + )
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0
,
1
1
1
1 3
b a c a c b c b a a c c b b
a
9. Cho a,b,c số dương
Chứng minh : bca acb abc a1b11c
10. Cho a,b,c số dương Chứng minh :
2
2
2 a b c
a b
c c a
b c b
a
11. Chứng minh: a + b với a + b
12. Chứng minh: 23
a b
c a c
b c b
a
Với a,b,c >
13. Chứng minh: a4b4c4 abcabc 14. Bài 28: Cho x0;y 0;z 0;
Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz
15. Cho A = 3 1
2
1
1 1
n n n n
(20)HƯỚNG DẪN:
1. A = 32229
a c c b a c c a a b b a
2. Áp dụng (a + 1) 2a
3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) b) Áp dụng câu a
4. Xem
5. + + + + = + + = + + =
6. A = + = ( + ) + + = ( vì 2ab (a+b) )
B = + = 3( +) +
7. (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + )
8. + ; + ; +
Cộng theo vế BĐT ta Đpcm
9. Ta có: + = ( + )
a b
c c b a ab
c ac
b
b c
a a c b bc
a ab
c
Cộng vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xáy a = b = c.(Hãy kiểm tra lại)
10.Áp dụng BĐT ax by cz ax by cz
2
2
11. a + b ( a + b )
12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra:
2
a b
c a c
b c b
a
13.Áp dụng BĐT ví dụ cho số a4 b4 c4
tiếp tục áp dụng lần nửa cho số
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
14.Áp dụng BĐT x y2 4xy
Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM
15.A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1 ; , 0
a b
b a b
a Với cặp số
(21)
Ví dụ 8:
a Rút gọn Biếu thức
6 12 2 a a a a
B Với a 23
b Thực phép tính:
a a a a a a a 2 : , ,
0
(a 2.) Giải: a 12 2 a a a a
B
3 2 3 2 a a a a a b
a a a
a a a a a a a a a a a 2 2 2 2 : , , 3
aa a a a a a a a a a 2 2 2 2
Ví dụ 9: Thực phép tính:
xy y x y x y x xy y x A : 2 2
3 2 2
( Với x y)
Giải:
2
2 2 2 2 3 2 2 : y x y x xy y x y x y x y x y x xy y x xy y x y x y x xy y x A
Ví dụ 10: Cho biểu thức :
1 2 4 x x x x x x x A
a Rút gọn biểu thức A
b Chứng minh A không âm với giá trị x Giải: 1 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x A
1
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
b ; 1 0; 0
1 2
2
x x A
x x A
Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 5 6 7 8
8 a a a a a a a a
với a = 2007
Giải:
13 13
2 3 13 8 8 8 8 2007 1 1 1 1 B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B
(22)Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x 3 .
Giải:
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x 3 3 2 3 0
x y x
1 3 3 3 y x x yx 2 5 2 : 25 10 25 2 y y y x x x x y y y x x x x C
5 x x y x Bài tập:
13 Chứng minh Biếu thức
P = 11 2 11 2 x a a a x x a a a x
không phụ thuộc vào x
14 Cho biểu thức M =
8 2 2 x x x x x x x a Tìm tập xác định M
b Tính giá trị x để M = c Rút gọn M
15 Cho a,b,c số đôi khác Chứng minh :
c ac b a b b c c a
b a c b a b a c c a b a c b
2
16 Cho biểu thức : B =
10 9 10 x x x x x
a Rút gọn B
b Chứng minh : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4
16 với n Z
a Rút gọn biểu thức : 22 33 6 26 3 6 99 x x y x xy xy y x xy y x
A với x -3; x 3; y
-2
b Cho Biếu thức : A = 2 2 : 2 4 2 x x x x x x x x x x a Tìm điều kiện có nghĩa Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A >
(23)19 a.Thực phép tính:
a.A = 1 16
16 1 1 x x x x x
x
b Rút gọn C = 2 2 2 9 9 9 a a a a a a .
20 Cho a,b,c số đơi
Tính S = b cabc a a bbcc a b caca b
21 Tính giá trị biểu thức : 3 b a a b b a b a biết: &
10a2 b2 ab a2 b2
22 Cho a + b + c = 2
b c
a
a Nếu ax by cz Chứng minh xy + yz + zx =
b.Nếu a3 + b3 + c3 = Tính giá trị a,b,c
23 Bài 11: Cho Biếu thức : 32 11 35 1
a a a a A .
a Tính giá trị A a = -0,5
b Tính giá trị A : 10a2 + 5a = 3.
24 Chứng minh xyz = thì: 1 1 1
x xy y yz z zx
25 Chứng minh đẳng thức sau:
ab an a bn ab bn an a b a ab b ab a b a ab a 3 9 2 2 2 2
26 Thực phép tính:
2 2 2 2
2008 1 1 1 1 .
27 Tính tổng : S(n) = 3 113 2 5 n n
28 Rút gọn tính giá trị biểu thức : A =
2
2 17 12
2
a a a a Biết a nghiệm Phương trình : 1
a
a .
29 Gọi a,b,c độ dài cạnh tam giác biết rằng: 1 8
c a b c a b
Chứng minh tam giác tam giác
30 Chứng minh a,b số dương thỏa điều kiện: a + b = :
3
1 2
3
a b
a b a b b a
31 Thực phép tính:
A = x xyxyz z x yyyxz z y zzxxy z
2
2
32 Rút gọn biểu thức : A =
c b a abc c b
a3 3
33 Chứng minh biểu thức sau dương TXĐ:
B =
x x x x x x x x 1 1 :
1 3
2 2
34 Rút gọn Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A = x(xx(x5)6)y(yy(y5)6)2(xy2xy3)
35 Cho số a,b,c thỏa mãn đẳng thức:
a a c b b b c a c c b
a
(24)Tính giá trị biểu thức P = abbabccca
36 Cho biểu thức :
2 2 2 y xz y zx x yz x yz z xy z xy A
Chứng minh :
x + y + z = A =
HƯỚNG DẪN: 13 P =
2 2 2 2 1 1 1 a a a a x a a a x x a a a x
14 M =
8 2 2 x x x x x x x 32 x x x
15 a bbac c a b c a
1
=b caba c b c a b
1
= c aacb b b cc a
1
16
a.Rút gọn B =
1 10 1
10 10 9 10 2 x x x x x x x x x 10 ; 10 10 10 ; 1 2 x x x x x lx x x x
b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 4
1
n n
17 22 33 6 26 3 6 99 x x y x xy xy y x xy y x A
3 3 2
0 9 6 3 2 y x x x x y x xy xy y x xy y x 18
a.A = :2 3
2 4 2 2 2 x x x x x x x x x x x x b.A > 0
3 x x x c 3 11 4 7 x x x
x = 11 A1212
x = A không xác định 19
a.A = 16 1 32
32 16 1 1 x x x x x x
x
b Rút gọn C = 9 9 2 2 2 a a a a a a .
20 S = b cabc a a bbcc ab caca b
(25)
1
a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c ac c b bc b a ab
21 Từ:10a2 3b2 5ab0&9a2 b2 0 5ab3b210a2(1)
Biến đổi A = 2 2
9 15 3 b a b ab a b a a b b a b a (2) Thế (1) vào (2) ; A = -
22 Từ a + b + c = 2
b c
a suy ra:
ab + bc + ca = (1) a Nếu c z b y a x
suy : x y z
c b a z y x c z b y a x
2 2
z y x z y
x
Suy xy + yz + zx =
b Áp dụngabc3 a3b3c33abbcca
Từ a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3abbcca0 Từ tính a , b , c.
23 Xem 21
24 Từ xyz = Biến đổi
yz y yz yz y y yz y zx z yz y xy x 1 1 1 1 1
25 Chứng minh :
a b b a ab an a bn ab bn an a b a ab b ab a b a ab a 3 9 2 2 2 2 26
2 2 2 2
2008 1 1 1 1 . 3996 1999 1999 1998 1998 1999 1998 1997 27
3 2
2 1 5 3 5 n n n n n n
28
2
2 17 12
2
a a
a
a a
a
A
5 2 ;1 5 ;1 3 ;0 1 1 3 A a a A A a a a a
29 1
2 2 ca a c bc c b ab b a c a b c a b
30 Rút gọn
1
1 2
2 2 3
abb b a a
b a b a b a a b a b b a
31 x xyxyz z xx z x y y
=x yyyxz z x y y yz z
x z
x z y z z y z x xy z
Cộng vế A = 32 A =
c b a abc c b
a3 3
a b ca b c ab bc ca
abc c
b
3 2
3 3
(26)33 TXĐ: x 1 ;B = 2
1
x
34 A = x xx x y yy y xyxy xx yy xx yy
6
1
2 ) ( ) (
) ( ) ( ) (
35 Từ: acb c abc b bca a
Suy ra: 2 2 2 a
a c b b
b c a c
c b a
Suy ra: acbc abcbbcaa
Suy ra: a + b + c = a = b = c P = -1 P =
36 Từ: x + y + z = suy ra: x3 y3 z3 3xyz N
M
A M 63x2y2z2 16xyzx3 y3z34x3y3y3z3 z3x3
3 3 3 3 3
2
2 2 4
9x y z xyz x y z x y y z z x
N