Đang tải... (xem toàn văn)
HAØM LUYÕ THÖØA , HAØM SOÁ MUÕ VAØ HAØM SOÁ LOGARIT A.. CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ:.[r]
HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ: Các định nghóa a0 = 1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên âm: a-n = với a 0 vaø n * n a m n m a = a n a m với a > r , m , n * n r 1.2 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a = lim arn với 1.3 Lũy thừa với số mũ thực: 1.4 Căn bậc n a > , , rn vaø lim rn b 0 b n a n n n b a + Khi n leû, b a b a ; + Khi n chaün, log a b a b a 1, b a 0 1.5 Lôgarit số a: Các tính chất công thức 2.1 Lũy thừa: Với số a > 0, b > 0, , tùy ý, ta coù a a a ; a : a a ; n n n a b ab ; n n n a b a n leû a n ; a n chẵ n 2.2 Lôgarit: a a ; a.b a b ; a ; b a n n k m a : b a : b n am a n.k a Với giả thuyết biểu thức xét có nghóa, ta có: log a 0 vaø log a a 1; log a ab b vaø a loga b b; log a b.c log a b log a c log a b 1 log a b log a c, noùi rieâng log a log a c c c log a b log a b với số tùy ý , nói riêng log a n b log a b n * n log x log b x a , tức log a b.log b x log a x log a b log b a , tức laø log a b.log b a 1 log a b log a b log a b Noùi riêng, * Khi a log a b log a c b c * Khi a log a b log a c b c * Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx lgx Lôgarit số e kớ hieọu laứ: lnx 3, Các qui tắc tính đạo hµm: ' u v u 'v ' uv ' u '.v v '.u; ku ' k u ' ' ' (k R ) 4, bảng đạo hàm: Đạo hàm hàm số sơ cấp ' x x Đạo hàm hàm số hợp u=u(x) ' 1 u ' 1 x x ' x x (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx ' tan x 1 tan x cos x ' cot x cot x sin x ' u' 1 u u ' u' u u (sinu)'=u'.cosu (cosu)'=-u'.sinu u' ' tan u u '.(1 tan u ) cos u u' ' cot u u ' cot u sin u x ' u ' x e e a a ln a x ' ln x log x ' u u ' x a e u '.e a u '.a ln a x ' u 1.u ' u ln u x.ln a ' log u ' a u' u u u.ln a B CÁC DẠNG BÀI TẬP LUỸ THỪA Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức 7 4 : : 16 : (5 Bài 1: Tính a) A = 1 (2 Baøi 2: a) Cho a = (2 3) vaø b = 10 b = b) cho a = Bài 3: Tính a) A = 2 Vấn đề 2: Đơn giản biểu thức Bài 4: Giản ước biểu thức sau 3) (0, 25) ( ) 25 ( ) : ( )3 : ( ) 4 b) Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1 10 Tính A= a + b b) B = 23 3 c) C = 3 27 (a 5) a) A = b) B = c) C = (a 81a 4b với b 25 ) (a > 0) 2 x y ( x y) 1 ( x y) x y d) E = x y xy với x > 0, y > 1 a b 2 b a với x = 2a x e ) F = x x ax a x 2ab f) G = a x a x Với x = b a > , b > vaø a > , b > 4a 9a a 3a 1 a a với < a 1, 3/2 g) J = 2a 3a a a a 14 a b a b a a 3 a b h) a b i) a a a j) a4b 4 a b a ab a a x y x k) xy 3 x x y : x x y y Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức Bài chứng minh : x x x x 2 với 1 x Bài chứng minh : a a 4b b a b ( a b )3 1 32 1 2 x a x a 1 2 (ax ) x a x2 a2 Baøi 7: chứng minh: với < a < x 3 2 x x y xy y y(x y ) 1 ( x y) : ( x y ) 1 2 x xy y x ( x y) Bài chứng minh: Với x > , y > 0, x y , x - y Bài 9: Chứng minh 80 80 3 LOGARIT Vấn đề 1: phép tính logarit Bài 10 Tính logarit số A = log24 B= log1/44 C= log 25 E = log I = log16 (2 2) F= log log G= J= log 0,5 (4) Bài 11 : Tính luỹ thừa logarit số 2 8 K= log a3 a D = log279 3 3 log 27 H= L= log (a a ) a A= B = 27 log log 10 E= log I = (2a ) log9 C= 1log 70 F= 2 a log 3 4log8 G= 3 D = 2 2log log3 3log H= log3 3log J = 27 Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức Bài 12: Rút gọn biểu thức A= log 8log 81 B= D = log log8 log log G = log 625 log 25log C= log 25 log 30 F = log 30 log E = log 2.log 3.log 4.log 5.log log 24 log 192 log log 49 log 27 log log 96 12 H= I= Bài 9: Tính: a / Biết log7 12 a, log12 24 b Tính log 54 168 theo a b ? b / Biết log6 15 a,log12 18 b Tính log 25 24 theo a b ? c / Biết log3 15 a,log3 10 b Tính log 50 theo a vaø b ? d / Biết log2 a,log3 b,log7 c Tính log140 63 theo a vaø b, c ? * Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a b * Biết log214 = a Tính log4932 theo a Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit Bai 13: Chứng minh ( giả sử biểu thức sau cho có nghóa) 1 n(n 1) log b log a x log ax (bx) a log a1 x log a2 x log a.n x log a x log a x a) b) c) cho x, y > x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) / d) cho < a 1, x > log a2 x (log a x ) 2 Chứng minh: log ax Từ giải phương trình log3x.log9x = 2 e) cho a, b > a + b = 7ab chứng minh: log a b (log a log b) HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT Vấn đề 1: tìm tập xác định hàm số Bài 14: tìm tập xác định hàm số sau log 10 x a) y = b) y = log3(2 – x)2 2x d) y = log |x – 2| e)y = log ( x 2) c) y = f) y = log 1 x 1 x log x x 1 2 g) y = h) y = log x i) y= lg( x2 +3x +2) * Tìm tập xác định hàm số sau x −1 ex 1) y = x 2) y =√ e x −1 − 3) y = ln 1− x e −1 x −3 x +1 4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y = log −3 x x2 4x log ( ) ( ) Vấn đề 2: Tìm đạo hàm hàm số Bài 15: tính đạo hàm hàm số mũ a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex x2 x1 g) y = cos( e ) e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) x i) y = 32x + e-x + j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y = d) y = ex.sin3x h) y = 44x – x2 4x Baøi 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a/ y x 3x b/ y x x x e/ y sin x cos x e x k/ y ln x ln x f/ y c/ d/ y x x e x h/ y ln x 1 x e e e x e x y x x l/ y x ln x Bài 16 Tìm đạo hàm hàm số logarit x2 a) y = x.lnx b) y = x2lnx - e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx * Tính đạo hàm hàm số sau x x g/ y 2 e e y x 1 m/ x ln x x n/ y x c) ln( x 2009 x ) d) y = log3(x2- 1) g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3) e x − e −x 1) y = (x -2x + 2).e 2) y = (sinx – cosx).e 3) y = x − x e +e ln x 4) y = 2x - √ e x 5) y = ln(x2 + 1) 6) y = x 2 7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x ln √ x +1 9) y = 3x.log3x 10) y = (2x + 3)e 11) y = x π π x 12) y = √3 x 13) y = √3 ln 2 x 14) y = √3 √ cos x 15) y = 5cosx + sinx * Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng cho 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – = x 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan = x 4) y = e cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 5) y = ln2x ; x2.y’’ + x y = Bài 1: tính đạo hàm hàm sè sau: 2x y x x e x y x x e x 1, ; 2, ; 3, y e sin x ; i/ y 2x 4, y = e 2x x x x y = x.e e2x e x 2x x y = e e ; ; cotx y = cosx e x cos x 14 y = e 17 y = 19 y = 22 y = 4x x 10 y = e ; x 15 y = x x ; 11 y = x 18 y = 2x 1 ln 3x x ;20 y = ln x 3x 3x 2 25 y = y ln ; log x cos x x x e 16 y = cos 2x.e log cos x ; log 29, x cos x y = e y x2 3x x2 x 1 ; e3x e 2x 3x 2x 12 y = e e , ; y = ln 2x x e x ln cos x ln 2x 1 2x ;21 y = ;23 y = log cos x ;24 y = 2x 1 ln 3x ln 2x 1 cos x e ln cos x x 1 ;26 y = 2x ;27 y = ln x y ; 28, x x cos x sin x cos x sin x ex e x e x ' f x f ' 0 x tÝnh f 1 ; 2, cho Bµi2:1, cho tÝnh ; ' ' f x ln x 1 f x ln x f e f 1 3,cho tÝnh ;4; cho tÝnh ; f ' f x ln sin x f x esin x f ' 0 5,cho tÝnh ; 6,cho tÝnh f ' f x ln tan x f x ecos x f ' 0 7, cho tÝnh ;8, cho tÝnh f x 9,cho f x 2 11,cho x x 1 tÝnh f ' 0 f x ln x x tÝnh tÝnh f 0 ; 12.cho f x 2 tÝnh f 0 tÝnh f ' 1 ' x x ' x 1 f ' 1 tÝnh ; ' x2 '' f x lg x f 10 f x e f 0 14,cho tÝnh ; 15, cho tÝnh f x x ln x f '' e 16, cho tÝnh ; x2 ' y y ln cmr : xy e y x.e cmr : xy ' x y x Bµi 3:1, cho ; 2,cho y cmr : xy ' y y ln x 1 y x 1 e x cmr : y ' y e x x ln x 3,cho ; 4: cho 13, cho f x x x f x tan x, g x ln x 1 ; 10,cho f ' x g' x ; 14,cho f x log 4x x ''' ' x 2x '' ' 5,cho y e 2e cmr : y 13 y 12 y 0 ;6,cho y a.e b.e cmr: y y y 0 4 x '' ' x 7,cho y e sin xcmr : y y y 0 ;8; ,cho y e cos xcmr : y y 0 ; sin x 2x 9,cho y e cmr:y’cosx-ysinx-y’’=0; 10, y e sin x cmr:y’’-4y’+29y=0 ; y x e x x y sin ln x cos ln x 11,cho cmr:y’’-2y’+y= e ; 12, cmr: y+xy’+x2.y’’=0 f ' x f x 0 f x e x x 3x 1 f ' x 2 f x x 13,cho y=x3.lnx gpt: ;cho gpt: f x e x 2.e1 x x f ' x 0 gpt ; f x x ln x ; g x ln x 1 f ' x g ' x 16,cho gbpt f x 52 x 1 ; g x 5 x x ln f ' x g ' x 17,cho gbpt Baỡ 4.Tinh đạo hàm hàm số sau: a) y = ( sinx + cosx) e3x;b) y = ( x2 + 2x + 3) ex c) y = ( + cotgx).ex d) y= 23x+ 32x + 43x;e) y = 24x.34x 53x.;f) y = ex.22x.x2;g) y = x.ex.lnx h) y = a x +2 x+1;i) y = e (sin x ) ;j) y = 101 −sin x ;k) y = ( x2 + 2x) e- x m) y = a.e √ x ex Baỡi Tinh đạo hàm hàm số sau: a) y = ln b) y = ln (x+ √ 1+ x ) x 1+ e 15,cho 2 ( ) c) y = ln 1+ x − x2 ( ) d) y = ln(ln(lnx)) e) y = loga( x2+1) f) y = log2( x2 - sin(cosx)) Baìi Tinh đạo hàm hàm số sau 1+sin x −sin x a) y = ln b) y = ln cos x 1+sin x | | √ g) y = x ln x h) y = ( + lnx).lnx c) y = ln( ex + √ 1+e x ¿ x2 x x ln x x Hµm sè y = tháa m·n hƯ thøc: 2y = xy’ + lny’ 2 x 1 e Hµm sè y = x 2xy ex y’ = x 1 ln x x ln x Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: x 1 2008 2 x y 1 tháa m·n hÖ thøc: 2x y’ = 2 2) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) x ln(1 2x) đoạn [-2; 0].(TN09) x 2; 2 y x.e1 x Tìm GTLN,NN h.số Tìm GTLN,NN hàm số , với y ln x x đoạn 1;e ( Đại học, Cao đẳng, khối B, 2004) PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Phương trình mũ Dạng Đưa số a f (x) = a g(x) f(x) = g(x) f (x) a = b ( với b > ) f(x) = log❑ab Bài 17 : Giải ác phương trình sau x a) x d) 2 x 8 b) 41 x x2 x 2 x 9 x 3 x c) x 5 x 17 32 x 128 x f) 16 e) 52x + – 52x -1 = 110 2(1 f) 2x + 2x -1 + 2x – = 3x – 3x – + 3x - g) (1,25)1 – x = (0, 64) x h 2 x 8 41 3x x i b x x) 2x 3x 3x 3x Dạng đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ : a 2f (x) a + a b f (x) f (x) + a + =0 b f (x) f (x) Ñk t > f (x) Ñk t > ; Đặt : t = a + =0; Đặt : t = a a f (x) + b f (x) + = vaø a.b = 1; Ñaët: t = f (x) 2f (x) a + a.b + b Bài 18 : Giải phương trình a) 22x + + 22x + = 12 2f (x) a f (x) a = ; Đặt t = b ; t =b f (x) b) 92x +4 - 4.32x + + 27 = x 5 2 2 5 d) c) 52x + – 110.5x + – 75 = e) g) x 3 x 5 4 f) 20 x 52 x 1 x i) 2.7 5 f (x) 15 x1 0 x 4 15 x 2 x 10 h)32 x 1 9.3x 0 0 (TN – 2007) j) 2 x2 (TN – 2008) x 9.2 0 (TN –2006) x 27 0 b 17 0 c (2 3) (2 x x x 3 x x d 2.16 15.4 0 e (3 5) 16(3 5) 2 x x x x x f (7 3) 3(2 3) 0 g 3.16 2.8 5.36 a h 4x 8 2.4 x 2x 5 2x 6 4.3 6x 9 x i 14) Tham khảo 2006 15) ĐH-D-2006 Giải PT 16) 25 x +10 x =22 x+1 8x 3x 3 x 9x 2 x x2 x x 7 12 0 10.3x 4.2 x2 x x 3)x 0 j 0 2x 0 x 17) x −2 6x =3 x 18) x − x =5 19) 125 x +50 x =23 x+1 a./ 25 x 2.5 x 15 0 x 2 32 x 24 c./ 4x x 27 0 b./ - 4.3 Daïng Logarit hóạ Bài 19 Giải phương trình a) 2x - = x c) 3x – = b) 3x + = 5x – x x d) 5 x 6 x e) x x 500 x 12 f) 52x + 1- 7x + = 52x + 7x Vấn đề 2: Phương trình logarit Dạng Đưa số g(x) f (x) 0hoac g(x)>00 ❑a ❑a log f(x) = log g(x) f (x) g(x) log a f (x) b b daïng: 0 a 1 f(x) = a v(x) ; u(x) ; u(x) 1 b log u(x) v(x) v(x) u(x) =b Baøi 21: giải phương trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – log x log x log g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h) (TN L2 2008) Bài 31: Giải phương trình sau: b./ log2 x log x log2 x a./ log2 x log ( x 3) 2 c./ log4 ( x 3) log ( x 7) Bài3 1: Giải phương trình sau 1./ log x+ log x=log √ d./ log16 x log4 x log x log 108 ( ĐS: x = log 2 x log 2 x1 2 2./ 3./ 2.log ( x 1) log (5 x) 4./ log x log x log x 6 Dạng đặt ẩn phụ Bài 22: giải phương trình 1 a) ln x ln x c) logx + 17 + log9x7 = e) log1/3x + 5/2 = logx3 log 2 x 3log x log x 2 g) Bài 2: Giải phương trình sau: a./ log2 x log x 0 c./ lg x lg x lg x ) √3 ( ĐS: x = 0) ( ĐS: x= 3) ( ĐS: x=27) log 2 x log x1 1 b) logx2 + log2x = 5/2 10 log x 9 d) log2x + f) 3logx16 – log16x = 2log2x h) lg x2 16 l o g x 64 3 b./ log2 ( x 1) log x d./ log x log 16 x 0 Bài 2: Giải phương trình sau ( nâng cao) 1./ 16 log 27 x x log3 x x 0 ( ĐS: x=1) 2./ log9 x log x 3 3./ ( ĐS: x 3; x ) x 4, x=3 2) ( ĐS: log x 16 log2 x 64 3 log x log3 x 3 x ¿ log ( x −1 ) log ( x −2 ) =2 ¿ log ( x − ) log ( x − )=2 2) log ( x −1 ) log 25 ( 5x +1 −5 )=1 6 Dạng mũ hóa Bài 23: giải phương trình a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN f (x) a g ( x ) f ( x ) g( x ) 1/ Nếu a>1 a f (x) g( x ) a f ( x ) g( x ) 2./ Nếu 0 5x a./ c./ 2./ 10 3x x 1 1 2 x2 x x 1 2 3./ b./ 3 x 5 1 9x x 3 100 ĐS: -1