UBND HUYỆN LỤC NGẠN PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN Môn: Toán 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài:150 phút Bài 1:(6.0điểm) a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x - 2 xy 3y 2 x 2008,5+ − + b) Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x ≥ 0 ) 3 6 4 2 3. 7 4 3 x A x 9 4 5. 2 5 x − + − = + − + + Bài 2:(2,0diểm) Cho biểu thức : P =         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xx xx x a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 3 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên Bài 3:(4,0điểm) a) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x 2009 + 2009y 2010 = 2011. b) Chứng minh rằng nếu : abc = 1 và a 3 > 36 thì : cabcabcb a ++>++ 22 2 3 Bài 4: (6 điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O;R ) và ( O’;R’ ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ ). b) Chứng minh: SO.SO’ = SM 2 và ST.ST’ = SA 2 c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’tiếp xúc với SM tại M Bài 5. (2 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin 2 2 A a bc ≤ ………………………Hết…………………………. Phòng ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI Trường THCS Môn Toán – Năm học 2007-2008  Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 §Æt x a; y b víi a, b 0, ta cã: P = a 2ab 3b 2a 2008,5 = a 2a b 1 3b 2008,5 = a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5 = a - b -1 2 b b 2007,5 1 1 a - b -1 2 b b 2007,5 4 2 1 a - b -1 2 b 2 = = ≥ − + − + − + + + − + + + + − + + − +   = + − + + −  ÷     = + − +  ÷   ( ) 2 2 2007 2007 1 V× a - b -1 0 vµ b 0 a, b. 2 3 a b 1 a 2 Nªn P = 2007 1 1 b b 2 2 3 9 x x 2 4 VËy P ®¹t GTNN lµ 2007 1 1 y y 2 2 ≥   ≥ − ≥ ∀  ÷    = + =     ⇔ ⇔   =   =      = =     ⇔ ⇔     = =     Bài 2: (2,0đ) ( ) ( ) 2 3 6 6 2 4 4 *TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3 2 5 2 5 9 4 5 *Suy ra: A = 1 − = − = − + = + = + Bải giải Điểm - Nếu y chẵn thì với mọi x ∈ Z có 2008x 2009 + 2009y 2010 là số chẵn; mà 2011 là số lẻ, (vô lý) 0,5 điểm ( 0,5điểm ) ( 0,5 điểm ) ( 0,5 điểm ) ( 0,5 điểm ) ( 1,0 điểm ) ( 1,0 điểm ) ( 1,0 điểm ) - Nếu y lẻ thì y 1005 là số lẻ. Đặt y 1005 = 2k + 1 ( k ∈ Z ) ⇒ 2009y 2010 = 2009(y 1005 ) 2 = 2009(2k + 1) 2 = 2009(4k 2 + 4k + 1) = 4[2009(k 2 + k)] + 2009. Ta có 2009y 2010 chia cho 4 dư 1 ⇒ 2008x 2009 + 2009y 2010 chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý) Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức : 2008x 2009 + 2009y 2010 = 2011. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm ) b) Chứng minh: ∆ SO’M ~ ∆ SMO suy ra: 2 SO' SM hay SO.SO '= SM SM SO = ( 1 điểm ) ∆ SAT~ ∆ ST’A suy ra: 2 ST SA hay ST.ST' = SA SA ST ' = ( 1 điểm ) c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ và OO’ MA tại A. Do đó đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A. ( 0,5 điểm ) Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M//OT ⇒ SM M’M ở M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’. Do đó đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ tiếp xúc với SM tại M ( 0,5 điểm ) Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM ⊥ Ax và CN ⊥ Ax Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có sinMAB = sin 2 A = BM AB ⇒ BM = c.sin 2 A T O A M ’ ’ O’ S T’ a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên OMO’=90 o Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên: MA 2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA' R.R '= ( 1 điểm ) ∧ D N M x C B A sinNAC = sin 2 A = CN AC ⇒ CN = b. sin 2 A Do đó BM + CN = sin 2 A ( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN ≤ BD + CD = BC = a => sin 2 A ( b + c ) ≤ a ( vì sin 2 A < 1) Do b + c ≥ bc2 nên 1 1 2 b c bc ≤ + hay sin 2 A ≤ bc a 2 (đpcm . UBND HUYỆN LỤC NGẠN PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN Môn: Toán 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài:150 phút Bài 1:(6.0điểm). điểm ) - Nếu y lẻ thì y 1005 là số lẻ. Đặt y 1005 = 2k + 1 ( k ∈ Z ) ⇒ 2009y 2010 = 20 09( y 1005 ) 2 = 20 09( 2k + 1) 2 = 20 09( 4k 2 + 4k + 1) = 4[20 09( k 2