PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 13 160− - 53 4 90− b) B = 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5+ + + − + Câu 2: (5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x 3 + 4x 2 - 29x + 24 b) (x 2 – x + 2) 2 + (x + 2) 2 Câu 3: (3 điểm) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3abc. Câu 4: (3 điểm) Cho P = 2 2 1 2 2 y x z xy x yz y xz z + + + + + + + + Biết xyz = 4, tính P . Câu 5: (4 điểm) Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng: MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 Hết PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (5 điểm) a) 13 2 40 53 2 360A = − − + (0,5đ) 8 2. 8. 5 5 45 2. 45. 8 8A = − + − + + (0,5đ) 2 2 ( 8 5) ( 45 8)A = − − + (0,5đ) 8 5 45 8A = − − − (0,5đ) 5 3 5 4 5A = − − = − (0,5đ) b) Vì B > 0 (0,25đ) 2 8 2 10 2 5 2 (8 2 10 2 5 )(8 2 10 2 5 ) 8 2 10 2 5B = + + + + + − + + − + (0,25đ) 2 16 2 64 4(10 2 5)B = + − + (0,25đ) 2 16 2 24 8 5B = + − (0,25đ) 2 16 4 6 2 5B = + − (0,25đ) 2 2 16 4 ( 5 1)B = + − (0,25đ) 2 12 4 5B = + (0,25đ) 2 2(6 2 5)B = + (0,25đ) 2 2 2( 5 1)B = + (0,25đ) Suy ra: 2( 5 1)B = + (0,25đ) Câu 2: (5 điểm) a) x 3 + 4x 2 - 29x + 24 = x 3 – x 2 + 5x 2 – 5x – 24x + 24 (0,75đ) = x 2 ( x – 1) + 5x( x – 1) – 24( x – 1) (0,25đ) = ( x – 1)( x 2 + 5x – 24) (0,25đ) = ( x – 1)( x 2 – 3x + 8x – 24) (0,75đ) = ( x – 1)(x(x – 3) + 8(x – 3)) (0,25đ) = ( x – 1)( x – 3)( x + 8) (0.25đ) b) (x 2 – x + 2) 2 + (x + 2) 2 = x 4 + x 2 + 4 – 2x 3 + 4x 2 – 4x + x 2 – 4x + 4 (0,5đ) = x 4 – 2x 3 + 6x 2 – 8x + 8 (0,5đ) = x 4 + 4x 2 – 2x 3 – 8x + 2x 2 + 8 (1đ) = x 2 ( x 2 + 4) – 2x(x 2 + 4) +2( x 2 + 4) (0,25đ) = ( x 2 + 4)( x 2 – 2x + 2) (0,25đ) I B A d M J D C Câu 3: (3 điểm) Ta có: a + b + c = 0 (gt) Nên: a + b = -c hay c = - (a + b) (1đ) a 3 + b 3 + c 3 = a 3 + b 3 + (-( a + b)) 3 (0,5đ) = a 3 + b 3 – a 3 – 3a 2 b – 3ab 2 – b 3 (0,5đ) = - 3ab( a + b) (0,5đ) = 3abc M 3abc (đpcm) (0,5đ) Câu 4: (3 điểm) ĐKXĐ: 0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥ (0,25đ) Và xyz = 4 (gt) (0,25đ) Nên x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 2 (0,5đ) Nhân z vào hạng tử thứ nhất, nhân xz vào hạng tử thứ hai (0,5đ) 2 2 2 2 2 xyz xz z P xyz xz z xz z xyz xyz xz = + + + + + + + + (0,25đ) 2 2 2 2 2 2 2 2 xz z P xz z z xz xz z = + + + + + + + + (0,5đ) 2 2 1 2 2 xz z P xz z + + = = + + (0,5đ) Suy ra: 1P = (0,25đ) Câu 5: (4 điểm) Hình vẽ ( 0,5đ) Qua M kẻ đường thẳng d ⊥ AB nên d ⊥ CD vì AB//CD, d cắt AB tại I, cắt CD tại J. (1đ) Tứ giác AIJD là hình chữ nhật vì 0 ˆ ˆ ˆ 90DAI ADJ AIJ= = = (0,25đ) Suy ra: IA = JD (0,25đ) Do đó: IB = JC ( Vì AB- AI = CD – DJ) (0,25đ) Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông: IAM, MJC, IMB, DMJ, ta có: MA 2 = IM 2 + AI 2 MC 2 = MJ 2 + CJ 2 (0,5đ) MB 2 = MI 2 + IB 2 MD 2 = MJ 2 + DJ 2 Do đó: MA 2 + MC 2 = IM 2 + AI 2 + MJ 2 + JC 2 (0,25đ) MB 2 + MD 2 = MI 2 + IB 2 + MJ 2 + DJ 2 (0,25đ) Mà: IA = JD nên AI 2 = JD 2 (0,25đ) IB = JC nên IB 2 = JC 2 (0,25đ) Suy ra: MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 (đpcm) (0,25đ) Ghi chú: - Các cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa. - Điểm tổng toàn bài không được làm tròn số. . & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (5. MD 2 Hết PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (5 điểm) a)