Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 GIẢI TỐT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I LỜI NÓI ĐẦU Tốn học có vai trị vị trí đặc biệt quan trọng khoa học sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng mơn khoa học khác Thơng qua việc học tốn, học sinh nắm vững nội dung tốn học phương pháp giải tốn, từ em vận dụng vào môn học khác mơn khoa học tự nhiên Hơn tốn học cịn sở ngành khoa học khác, tốn học có vai trị quan trọng trường phổ thơng, địi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo để tạo phương pháp giảng dạy tốt giúp học sinh tiếp thu tốt áp dụng vào giải tập cách linh hoạt Để giúp em học tốt mơn tốn Người thầy giáo, giáo ngồi việc giúp em nắm kiến thức lý thuyết tốn, việc bồi dưỡng cho em mặt phương pháp giải loại tốn quan trọng Nó giúp em nhận dạng, tìm tịi đường lối giải cách nhanh chóng, hình thành kỹ phát triển tư ngày sâu sắc qua em yêu toán hơn, tự tin sống tương lai Trong tốn học: “Giải phương trình có chứa dấu ” vấn đề phức tạp, tương đối trìu tượng Thế lại góp phần giải toán phức tạp sau Khi gặp phương trình “vơ tỉ” khơng học sinh cịn lúng túng, phải bắt đầu từ đâu, hướng giải nào? Trong nhiều năm tham gia giảng dạy, với kinh nghiệm đúc kết từ thực tiễn, mạnh dạn đưa số phương pháp hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ để đồng nghiệp tham khảo trao đổi, nhằm mục đích khắc phục tồn nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh khối 10 có cách nhìn nhận phương pháp giải phương trình vơ tỉ tảng kiến thức trang bị cấp học, qua giúp em trau dồi phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An trình giải tốn, góp phần bồi dưỡng em trở thành học sinh khá, giỏi mơn tốn trường phổ thơng Đó tích lũy kinh nghiệm tơi qúa trình học dạy toán, với niềm mong ước giúp em học sinh dễ dàng tìm hướng giải phương trình có chứa dấu hay phương trình vơ tỉ thường gặp chương trình sách giáo khoa (SGK) toán 10 II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 1) Thuận lợi : - Trường THPT Định An – Gò Quao ln có quan tâm giúp đỡ cấp lãnh đạo Đảng Nhà nước Sở giáo dục Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất hoạt động trường - Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường cịn có đội ngũ thầy trẻ, khoẻ, nhiệt tình hăng say cơng việc - Đa số học sinh giỏi ham thích học mơn tốn 2) Khó khăn : + Về khách quan: Trường THPT Định An – Gò Quao điểm trường thuộc vùng sâu, học sinh dân tộc Khơmer chiếm tỷ lệ cao, sống em cịn gặp nhiều khó khăn Ngồi lên lớp em cịn phải phụ tiếp gia đình để kiếm sống em không thực tốt việc tự học nhà Trong thời đại thông tin bùng nổ, khoa học kỹ thuật phát triển, nhiều trị vui chơi giải trí điện tử, bi da, làm số em quên hết việc học tập dẫn tới em sa sút học tập Bên cạnh gia đình quan tâm chu đáo cho việc học tập em cịn nhiều gia đình bỏ bê việc học tập em phải lo cho việc làm ăn kinh tế, lao động kiếm sống hàng ngày Từ quản lí khơng chặt chẽ gia đình dẫn tới em quen thói chơi bời, tụ tập tư tưởng ỷ nại, lười học dần dần xuất Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An + Về chủ quan: - Trong chương trình đại số lớp 10 ban bản, việc tìm nghiệm phương trình có chứa ẩn trong dấu ( phương trình vơ tỉ ) học sinh cịn gặp khó khăn chưa trình bày lời giải phương trình cách đầy đủ xác, học sinh thường mắc số sai lầm bản: chưa tìm tập xác định phương trình thực phép biến đổi: bình phương hai vế….Hoặc tìm nghiệm kết luận khơng đối chiếu với tập xác định để chọn nghiệm kết luận Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương phương trình gắn với hệ điều kiện trình bầy rời rạc khơng theo qui trình, khơng khoa học, thiếu thẩm mĩ - Mức độ kiến thức dạng tốn giải phương trình vơ tỉ tương đối trừu tượng phức tạp + Do khó khăn nêu chưa sử dụng phương pháp mà học kì I năm học 2007 – 2008 kết giảng dạy mơn tốn lớp 10 tơi phụ trách sau: Bảng thống kê Lớp 10A1 10A4 10A7 Chất lượng học sinh chưa sử dụng phương pháp Giỏi 2.7%; Khá 5.4%; Trung bình 55.1%, Yếu – Kém 36.8% Giỏi 1%; Khá 7%; Trung bình 53%, Yếu – Kém 39% Giỏi 1.5%; Khá 5.7%; Trung bình 41.1%, Yếu – Kém 51.7% + Nguyên nhân chủ yếu khó khăn là: - Mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng làm đa số học sinh cịn yếu - Học sinh khơng nắm kiến thức giải phương trình vơ tỉ Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An - Học sinh không nhận dạng dạng phương trình có chứa ẩn dấu - Học sinh cịn lúng túng việc sử dụng định nghĩa bậc hai sử dụng đẳng thức A2  A - Học sinh không nắm khái niệm hai phương trình tương đương - Học sinh nhầm lẫn cách biến đổi để phương trình hệ với cách biến đổi để phương trình tương đương - Khơng đặt điều kiện cho thức có nghĩa bình phương vế phương trình - Khi tìm nghiệm, bỏ quên bước thử lại kết luận nghiệm - Giáo viên chưa phân biệt cho học sinh thấy rõ dạng phương trình vơ tỉ - Giáo viên xem nhẹ việc nhắc lại kiến thức cũ cho học sinh mà tập chung chủ yếu cho nội dung học III GIẢI PHÁP Do khả nhận thức suy luận học sinh lớp chưa đồng nên việc áp dụng lí thuyết dạng phương trình vơ tỉ cịn gặp nhiều khó khăn Nắm bắt tình hình tiết dạy tự chọn đưa dạng tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tượng Các tập dạng từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tịi sáng tạo học sinh Bên cạnh tơi thường xun hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến em Cho học sinh ngồi làm việc cá nhân cịn phải tham gia trao đổi nhóm cần thiết Tơi u cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với thân tập thể Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Để giải tốt phương trình vơ tỉ yêu cầu học sinh cần phải nắm yêu cầu sau : + Nắm phép biến đổi tương đương phương trình vơ tỉ: - Thực biến đổi đẳng thức vế phương trình mà khơng làm thay đổi tập xác định chúng phương trình tương đương với phương trình cho + Nắm phép biến đổi dẫn tới hai phương trình khơng tương đương: - Nhân hai vế phương trình với đa thức chứa ẩn ( xuất nghiệm ngoại lai ) - Chia hai vế phương trình với đa thức chứa ẩn số ( làm nghiệm phương trình đầu) - Cộng vào hai vế phương trình cho với phân thức - Nâng hai vế phương trình lên luỹ thừa tự nhiên: n > Nếu n chẵn nâng hai vế phương trình f1(x) = f2(x) lên luỹ thừa chẵn phương trình nhận thêm nghiệm phương trình f1(x)= - f2(x) + Nắm vững định nghĩa  x 0 A x    x  A A2  A + Phân biệt khác phép biến đổi tương đương phép biến đổi để đưa phương trình hệ Bên cạnh yêu cầu trên, chỉ cho học sinh nhận biết dạng phương trình vơ tỉ trình bày sách giáo khoa tốn 10, đồng thời đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng bài, giúp em so sánh cách giải sáng tạo, ngắn hay 1) Một số ví dụ  Dạng 1: f ( x)  a (1) (Trong a  R ) Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An * Phương pháp giải: - Nếu a <  phương trình (1) vơ nghiệm - Nếu a ≥  phương trình (1)  f (x) = a2 (2) Như nghiệm phương trình (2) nghiệm phương trình (1) Dựa vào khái niệm bậc hai số học mà ta có suy luận Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 3x  3 (Bài tập SGK đại số 10 ban bản, trang 62) b)  x   Giải: a) 3x  3  3x  9  3x – 14 = 14  x Kết luận phương trình b) 14 3x  3 có nghiệm x   x   Vì vế trái bậc hai số học không âm, vế phải (-5) nên phương trình  x   vô nghiệm  Dạng 2: f ( x) g ( x) * Phương pháp giải:  g ( x) 0  f ( x) g ( x)    f ( x)  g ( x)  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) x  x  (Bài tập 7a SGK đại số 10 ban bản, trang 63) b)  x  x x  c) x  x  (Bài tập 7c SGK đại số 10 ban bản, trang 63) Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Giải: a) Cách 1: x  x   x  0 x  x    5 x  ( x  6)  x  0   5 x  x  12 x  36  x 6     x  17 x  30 0  x 6    x 15   x 2  Với x = không thoả mãn điều kiện x 6 Vậy phương trình x  x  có nghiệm x = 15 Cách 2: Biến đổi để có phương trình hệ theo cách trình bày SGK toán 10 Điều kiện : 5x +   x  6 Bình phương hai vế phương trình phương trình x  x  ta có: x  ( x  6)2  x  x2  12 x  36  x 15  x2  17 x  30 0    x 2 Cả x = 15 x = thoả mãn điều kiện x  nghiệm phương trình 6 thử lại chỉ có x = 15 5 x  x  + Hai cách giải có kết nghiệm học sinh hay nhầm lẫn cách so sánh hai nghiệm thấy thỏa mãn điều kiện kết luận nghiệm mà bỏ qua bước thử nghiệm b)  x  x x   x  0  x 2  x 2        x  x x  2  x 0  x 0   x  x x  x  Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An  x  x x  vơ nghiệm Phương trình c) x  x   x  0 x2  x    2  x  ( x  2)  x      x  x  x   x     x  x 1 0  x     x 2     x 2  Với x 2  , x 2  thoả mãn điều kiện x  Vậy phương trình x2  x  có hai nghiệm: x 2  x 2  Đối với học sinh – giỏi đưa thêm dạng dạng  Dạng 3: f ( x)  g ( x ) * Phương pháp giải:  f ( x) 0  f ( x)  g ( x)   g ( x) 0  f ( x) g ( x)  Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) x 1   x b) x  x   x  x 1 c) x   x 1 Giải: a) 3x 1   x   x 2   x 0    3x 1   x  3x 1 0   x  3x 1 2  x     x 4 Trang Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Phương trình có nghiệm x  b) x  x   x  x 1  x  x 1 0    2  x  x  0 x  x   x  x 1  2  x  x  4 x  x 1  (2 x  1)2 0    ( x  3)2 0  3x2  10 x  0  3x  10 x  0   x 4 Giải phương trình 3x  10 x  0 ta tìm được:  2 x  c) x - = 2x +1   x   x 1 0     x   0  x     x   x 1    x   x  2 x 1   x  2 x 1   x    x  2 x 1 Giải phương trình x2  2 x 1 , ta x1 1  2; x2 1  2 So với với điều kiện phương trình x   x 1 có nghiệm x1 1  2  Dạng : f ( x)  g ( x)  h( x) (1) * Phương pháp giải: - Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình (1) có nghĩa: Trang  f ( x) 0   g ( x) 0  h( x) 0  Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An - Bước 2: Bình phương hai vế phương trình (1) rút gọn ta có: (1)  f ( x).g ( x)   h2 ( x)  f ( x)  g ( x)  (2)  2 - Bước 3: Đặt điều kiện cho phương trình hai (2) kết hợp với điều kiện đề ta tập xác định (TXĐ) phương trình để lấy nghiệm - Bước 2: Giải phương trình (2) ta biết cách giải (thuộc dạng f ( x) g ( x) ) Chọn nghiệm thoả mãn TXĐ kết luận nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình sau: a) 10  x  x  5 b) x   x   x 1 Giải: a) 10  x  x  5 TXĐ phương trình 10  x  x  5 là:   x 10 10  x 0     x    x   x  0 10  x x    x   10  x  x  5  10  x  x   25 2 (10  x).( x  3)  (10  x).( x  3)  Phương trình sau biến đổi trở thành phương trình có dạng ( f ( x) a ) Trong a < Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) x   x   x 1 TXĐ phương trình 10  x   x  0  x  5 là:  x  0  x 1 0  Trang 10    x 2   x 2   x    x 2 Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An x   x   x 1  x   x   (2 x  1).( x  2) x 1  x2  5x  2  x (*) Điều kiện cho phương trình (*) x  Kết hợp với điều kiện đề x ≥ suy x = nghiệm phương trình cho + Ngoài việc phân biệt cho học sinh dạng tốn tơi cịn đưa cho học sinh toán cần vận dụng linh hoạt sáng tạo giải: Ví dụ 5: Giải phương trình sau: a)  x  x  x   (Bài tập 3b SGK đại số 10 ban bản, trang 70)  x   x   x  x (Bài tập 3d SGK đại số 10 ban bản, trang 70) b) Giải a)  x  x  x    x 1 1  x 0   x 1 Điều kiện:   x  0  x 1 x = khơng thỏa mãn phương trình  x  x  x   Vậy phương trình  x  x  x   vô nghiệm b)  x   x   x2  x 2  x 0  x 2   x  0 x  Điều kiện:  Phương trình  x   x   x  x vô nghiệm Kết quả Học kì I năm học 2008 – 2009 tơi vận dụng phương pháp nêu vào lớp 10 phụ trách thu kết tương đối khả quan sau: Bảng thống kê Lớp Chất lượng học sinh sau sử dụng phương pháp Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Giỏi 7%; Khá 15%; 10A1 Trung bình 55%, Yếu – Kém 23% Giỏi 8%; Khá 13%; 10A2 Trung bình 49.1%, Yếu – Kém 29.9% Giỏi 5%; Khá 12%; 10A3 Trung bình 46.5%, Yếu – Kém 36.5% Giỏi 4.3%; Khá 10.6%; 10A4 Trung bình 48.3%, Yếu – Kém 36.8% IV KẾT LUẬN Trên số phương pháp thường áp dụng để giải phương trình vô tỉ Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp nói phải lựa chọn cách cho thích hợp Mỗi phương pháp nói khơng quan trọng hố đề cao q trình giải phương trình vơ tỉ Điều quan trọng sử dụng phương pháp cho phù hợp đạt kết cao, nhanh Vấn đề đòi hỏi người thầy có kinh nghiệm tốt giảng dạy, phải biết phối hợp hay nhiều phương pháp cho thích hợp Một số phương pháp: “Giải phương trình vơ tỉ” mà sau gần 10 năm tham gia giảng dạy tự rút học kinh nghiệm quí báu sau: - Thường xuyên khắc phục sai lầm sau giải phương trình vơ tỉ nói riêng phương trình đại số nói chung có tác dụng giúp cho học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức bản, rèn kĩ giải tốn xác, lời giải phải ngắn gọn, rõ ràng - Hệ thống phương pháp giải cho từng1 dạng phương trình vơ tỉ, giúp học sinh có cơng cụ hữu hiệu trình bày cách linh hoạt, hợp lý, tránh máy móc, rập khn thịi gian Đặc biệt giúp học sinh lựa chọn cách giải hay cho tốn, hình thành đức tính tư linh hoạt, làm việc có khoa học tránh sai lầm nghiêm trọng Trang 12 Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An - Rèn cho học sinh gặp phương trình định hướng thao tác: quan sát, nhận dạng, đưa phương trình có dạng quen thuộc, lựa chọn phương pháp hợp lý kiểm tra kết sau giải - Luôn ghi nhớ kiến thức bản, kĩ cần thiết cho loại phương trình, giúp học sinh có lời giải sáng tạo - Áp dụng phương pháp giải phương trình vơ tỉ cho dạng phương trình khác có hiệu tích cực mang lại kết tốt Sự nghiệp đổi giáo dục đào tạo, đòi hỏi giáo viên phải động, sáng tạo, tìm tịi biện pháp tốt để đạt hiệu cao Chúng ta, thầy giáo, giáo làm trịn trọng trách “Kĩ sư tâm hồn” với đầy đủ trách nhiệm lương tâm giáo dục hệ trẻ Tuy tơi có nhiều cố gắng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tơi trân trọng tất ý kiến phê bình, đóng góp cấp đồng nghiệp để đề tài tơi ngày hồn thiện áp dụng rộng rãi ngành Định An, ngày 12 tháng 04 năm 2009 Người thực Trần Quang Tú Trang 13 ...  g ( x)  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) x  x  (Bài tập 7a SGK đại số 10 ban bản, trang 63) b)  x  x x  c) x  x  (Bài tập 7c SGK đại số 10 ban bản, trang 63) Trang Sáng kiến... sáng tạo giải: Ví dụ 5: Giải phương trình sau: a)  x  x  x   (Bài tập 3b SGK đại số 10 ban bản, trang 70)  x   x   x  x (Bài tập 3d SGK đại số 10 ban bản, trang 70) b) Giải a)  x  x... phương trình vơ tỉ trình bày sách giáo khoa tốn 10, đồng thời đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng bài, giúp em so sánh cách giải sáng tạo, ngắn hay 1) Một số ví dụ  Dạng 1: f ( x)  a (1) (Trong