Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phơng pháp tính Tích phân
Mời Thầy vào http://violet.vn/n2chanoi để có
nhiều tư liệu loại
I Tính tích phân ph ơng pháp đổi biến:
Những phép đổi biến phổ thơng:
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao
- Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số
- Nếu hàm số chứa thức đặt t phần bên dấu thức
- NÕu tÝch ph©n chøa dx
x đặt t=ln x
- Nếu tích phân chứa ex đặt
t=ex
- NÕu tÝch ph©n chøa dx
√x đặt t=√x
- NÕu tÝch ph©n chøa dx
x2 đặt t=
1
x
- Nếu tích phân chứa cos xdx đặt t=sin x
- Nếu tích phân chứa sin xdx đặt t=cos x
- NÕu tÝch ph©n chøa dx
cos2x đặt t=tgx
- NÕu tÝch ph©n chøa dx
sin2x đặt t=cot gx
Bài tập minh hoạ:
1
0
( x +1)(x2+2 x −1)3dx ∫
0
x √3 1− x dx ∫
1
√e
dx
x √1 − ln2x ∫
exdx
ex− 1
5 ∫
0
dx
√x√1+√x ∫0
π
cos xdx
sin2x − sin x +6 ∫ π
4 sin3xdx
1+cos x ∫0
π
etgxdx cos2x
9 ∫
π π
dx
sin4x 10 ∫0
x3.√1− x2dx
II Tính tích phân ph ơng pháp tích phân phần:
Công thức:
a b
f (x)dx=uv¿ab−∫
a b
vdu Nh việc chọn đợc u dv có vai trị nh
trong việc áp dụng phơng pháp
Ta th ờng gặp ba loại tích phân nh sau:
Lo¹i 1:
¿
∫
a b
Pn(x ) sin f (x).dx
∫
a b
Pn(x ) cos f (x) dx
∫
a b
Pn(x) ef ( x) dx
(2)Lo¹i 2: ∫
a b
P(x ) lnnf (x).dx⇒u=lnnf (x ) : TÝnh n lần tích phân phần.
Loại 3:
¿
∫
a b
eαx.sin βx dx
∫
a b
eαx cos βx dx
{
Đây hai tích phân mà tính tích phân phải tính
tích phân lại Thông thờng ta làm nh sau:
- TÝnh ∫
a b
ex sin x dx :Đặt
u=ex Sau tích phân phần ta lại có tích ph©n
∫
a b
eαx cos βx dx .Ta lại áp dụng TPTP với u nh trªn
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ hai tích phân dễ dàng tìm c kt qu
Bài tập minh hoạ:
1 ∫
0 π
(x2− x+1) sin x dx ∫
1 e
x3 ln2x dx ∫
0 π
x2 cos3 x dx
4 ∫
0 π
e3 x.cos x dx ∫
0 π
e2003 x sin 2004 x dx ∫
0 π
e2 x.sin2x dx
Ngoài ta xét thêm vài tích phân áp dụng phơng pháp TPTP nhng không theo quy tắc đặt trên:
1 ∫
1 eπ
cos (ln x ) dx ∫
0
x8 dx
(x4−1)3 ∫1 e
(ln xx )
3
dx ∫
0
x2ex.dx (x +2)2
∫
0 π
1+sin x 1+cos x e
x
dx
III Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: Phần 1: Tích phân hữu tỷ bản.
1 a.D¹ng: ∫
❑ ❑
A
ax +b dx=
A
a ln|ax+b|+C
b.D¹ng:
ax+b
cx+d dx=¿∫
a cdx +∫
A
cx+d dx
∫¿
c D¹ng:
ax2+bx +c
dx+e dx=¿∫(Ax+B) dx +∫
C
dx+e dx
∫¿
2 a.D¹ng: ∫dx
ax2
+bx+c
- NÕu Δ>0 :
(x − x1)−(x − x2)dx
a(x − x1) (x − x2)
=¿
dx
a(x − x1) (x − x2)=¿
1
x2− x1∫¿
∫¿
- NÕu Δ=0 :
dx
a(x − b
2a)
2=¿
(3)- NÕu Δ<0 : dx
( x )2+2 Đặt ( x − α )=β tgt
3 D¹ng: I=∫Ax+B
ax2
+bx +c dx
Ph©n tÝch: I=∫Ax+B
ax2+bx +c dx=m.∫
(ax2+bx+c)'
ax2+bx +c dx +n ∫ dx
ax2+bx+c
¿m ln|ax2+bx+c|+n.∫dx ax2
+bx +c
Bài tập minh hoạ:
1
0
2004 x −2003
2003 x+2004 dx ∫1
2
dx
6+x2+5 x ∫0
dx
x2−6 x +9 ∫0
dx
x2+x +1
5 ∫
1
2 x+3
6+x2+5 x dx ∫0
4 −3 x
x2+x +1dx
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát ∫
a b
A (x ) Q(x)dx
- B
íc 1: NÕu bËc cđa A(x) lín h¬n bËc cđa B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phải tính
tích phân:
a b
P(x ) Q(x)dx
- B íc 2:
+ Nếu Q(x) tồn nghiệm đơn: Q(x)=(x − a1) (x − a2) (x − an) , ta tìm A , A A
cho :
P(x)
Q( x)=
A1
x − a1
+ A2
x − a2
+ .+ An
x −an
+ Nếu Q(x) gồm nghiệm đơn nghiệm bội: Q(x)=( x − a) ( x −b ) (x −c )2 , ta tìm
A , B , C , C cho :
P(x) Q( x)=
A x − a+
B x − b+
C1
( x −c )2+
C2
(x − c )
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn nhân tử bậc hai đơn:
Q(x)=( x − a)(x2+px+q) , ta t×m A , B , C cho :
P(x) Q( x)=
A x − a+
Bx+C
x2+px+q
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn nhân tử bậc hai bội:
Q(x)=(x − a)(x2+px+ q)2 , ta t×m A , B1, C1, B2, C2 cho :
P(x) Q( x)=
A x − a+
B1x+C1 (x2+px+q)2
+ B2x+C2
x2
+px+q Bài tập minh hoạ:
1
2
4 x2
+16 x − 8
x3−4 x dx ∫1
2
3 x2+3 x+3
x3− x+2 dx ∫2
x +1 x3− x2dx
IV Tích phân hàm vơ tỷ đơn giản:
1.D¹ng: ∫
a b
n
√ax +b dx ;∫
a b
dx
n
√ax +b : §ỉi √nax+b=( ax+b )
1 n
2.D¹ng: ∫
a b
❑
√ax2
+bx+c dx
(4)NÕu a<0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫
a b
√a2−u du đặt u=asint
3.D¹ng: ∫
a b
dx
❑
√ax2
+bx+c
- NÕu Δ>0 :
(x − x1)−(x − x2)dx
√a(x − x1) (x − x2)
=¿
dx
√a(x − x1) (x − x2)
=¿
x2− x1∫¿
∫¿
- NÕu Δ=0 :
dx
√a(x − b
2 a) =¿
dx
√a(x − b
2 a)
2=¿∫¿
∫¿
- NÕu Δ<0 : Víi a>o: ∫dx
(x )2+2 Đặt (x )= tgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức: du
u2+a2=ln|u+u
2
+a2|+C
Víi a<0: ∫dx
√β2−( x )2 Đặt (x )= sin t
Bài tập minh hoạ:
1 I=
0
dx
√x2− x +2 I=∫0
dx
√x2+2 x +1 I=∫0
dx
√x2+x+1 I=∫0
dx
√− x2−2 x+3
5 I=∫
0
√x2+x +1 dx I=∫
0
√− x2−2 x +3 dx
4.D¹ng ∫
a b
dx (x+)
ax2+bx+c Đặt ( x+ )=
t
BTMH: ∫
0
dx (x+1 )❑
√x2+x +1 ∫0
dx (2 x +4)❑
√x2+2 x
5.D¹ng: ∫
❑ ❑
R(√n(ax +b )m;√q(ax +b)p) dx Đặt t=(ax +b)1s với s BCNN cđa n vµ q.
BTMH: ∫
0
dx
3
√(2 x +1)2−❑√(2 x+1) ∫0
dx ❑
√(1 −2 x)−4√(1 −2 x) ∫0
√x
1+√3x dx
V Tích phân hàm số l ợng giác:
1.D¹ng: ∫
a b
f (sin x ;cos x ) dx
- NÕu f lµ hµm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx. - Nếu f hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx.
- Nếu f hàm chẵn theo sinx cosx: Đặt t=tgx.
Bài tËp minh ho¹:
1 ∫0
π
sin3x
cos3x dx ∫ π
cos3x
4 +sin xdx ∫0
π
dx
sin x cos3x ∫
4 0
2
x cos x sin
(5)2.D¹ng: ∫
a
sinmx cosnx dx
- Nếu m n chẵn: Hạ bậc - Nếu m lẻ: Đặt t=cosx - Nếu n lẻ: Đặt t=sinx
Bài tập minh hoạ:
1
0 π
sin3x cos2x dx ∫
0 π
sin4x cos2x dx ∫
0 π
sin4x cos2x dx
∫
0 π
dx
cos4x sin4x
3.D¹ng: ∫
a b
R (sin x ;cos x ) dx R hàm hữu tỉ theo sinx, cosx.
Đặt t=tg x
2 dx=
2 dt
1+t2 ; sin x= 2t
1+t2 ; cos x= 1− t2
1+t2 ; tgx= 2 t 1 −t2
Cơ thĨ lµ hµm: I=∫
a b
dx
a sin x +b cos x +c
Bài tập minh hoạ:
1 I=
0 π
dx
sin x+cos x+1 I=∫0
π
(1+sin x ) sin x (cos x+1) dx
I=∫
0 π
dx ( cos x+2 )
4.D¹ng: I=∫
a b
a sin x +b cos x c sin x+d cos xdx
Ph©n tÝch: (Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’
I=∫
a b
a sin x +b cos x
c sin x+d cos xdx=A∫a
b
dx+B ∫
a b
c cos x − d sin x
c sin x +d cos xdx= A∫a
b
dx +B ∫
a b
d (c sin x +d cos x ) c sin x+d cos x Bµi
tËp minh ho¹: I=∫
0 π
3 sin x − cos x 4 sin x+ cos xdx
5.D¹ng: I=∫
a b a
1sin x +b1cos x +c1
a2sin x +b2cos x +c2dx
Ph©n tÝch: (Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè) +C’
I=A∫
a b
dx+B∫
a b a
2cos x − b2sin x
a2sin x +b2cos x +c2dx ++ C∫a
b
dx
a2sin x+b2cos x+c2
¿A∫
a b
dx+B∫
a b d
(a2sin x +b2cos x +c2)
a2sin x +b2cos x +c2 +C J
J tích phân tính đợc
Bµi tËp minh ho¹: 1. I=∫
0 π
sin x − cos x+1
sin x+2 cos x +3 dx I=∫0
π
sin x+1
3 sin x − cos x+5dx VI Phép đổi biến đặc biệt:
I=∫
a b
f (x)dx
Khi sử dụng cách tính tích phân mà khơng tính đợc ta thử dùng phép đổi biến:
t=(a+b)− x Thực chất phép đổi biến nhờ tính chất chẵn lẻ hàm số f(x)
Bài tập minh hoạ:
1 I=
π
cos x
ex+1dx I=∫ −1
ln3(x +
√x2
+1)dx I=∫
0 π
x sin x
1+cos2xdx I=∫−1
(6)2 NÕu f(x) lµ hàm số lẻ liên tục [a ;a] thì:
f (x)dx=¿0
∫
− a a
¿
3
f (sin x)dx=¿∫
0 π
f (cos x)dx
∫
0 π
¿
x f (sin x)dx=¿π∫
0 π
f (sin x)dx
∫
0 π
vào