Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Nghĩa Tân

thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Chứng mi[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

Bài (4 điểm) :

Tính giá trị biểu thức :

a/ A = + (-2) +3 + (-2) + + 2003 + (-2004) + 2005 b/ B = - + 13 - 19 + 25 - 31 + (B có 2005 số hạng)

Bài 2(5 điểm) :

a/ Chứng minh : C = ( 2004 + 20042 + 20043+ +200410) chia hết cho 2005 b/ Tìm số nguyên n cho n + chia hết cho n +

Bài 3(4 điểm) : Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho

5 dư ; chia cho dư chia hết cho 13

Bài 4(2 điểm) : Tìm x số nguyên biết : x−5+x−5=0

Bài (5 điểm): Cho đoạn thẳng AB = cm ; điểm C nằm A b cho AC = cm ; điểm D,

E theo thứ tự trung điểm AC CB ,Gọi I trung điểm DE.Tính độ dài DE CI

ĐÁP ÁN Bài :

a/ A = + (-2+3) + (-3+4) + + (-2002+2003) + (-2004 + 2005) = 1+ + + + 1+ ( có 1002 số hạng)

= 1003

b/ B = – +13 – 19 + 25 – 31 + (B có 2005 số hạng) = + C

C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) + (C có 1002 cặp) = + 6+ +

= 6012

Vậy B = 6013

Bài :

a/ C = (2004 + 20042) + (20043+20044) + +( 20049+200410) = 2004.2005 + 20043.2005 + + 20049.2005

= 2005.( 2004+20043+ + 20049) 2005 b/ n + = (n + 1) + Z

n n

n

 + + = + + 

1 1

 +   +



1

n Z

n Ư(3) = {1 ; 3}

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài : Gọi số phải tìm a (a nguyên dương)

Theo gt : chia cho dư 1, chia cho dư ,chia cho dư ,chia cho dư suy a +2 chia hết cho 3,4,5,6

BCNN(3;4;5;6) = 60 suy a+260 hay a = 60k -2 (k N) Mặt khác a 13 suy 60k -2 13 hay 8k-213

Do a nhỏ suy k nhỏ nhất.Vậy 8k-2 = 78 k = 10 suy a = 598 Bài : x−5+x−5=0

Nếu x : x-5+x-5=0 x=5 (TM)

Nếu x <5 : 5-x+x-5 =0 0.x = phương trình thỗ mãn với x <5 Vậy với số nguyên x  thoã mãn

Bài : C nằm A B : CB = AB – AC= cm D trung điểm AI : AD = DC = 1cm

E trung điểm CB : CE = EB = 2,5 cm  DE = DC + CE = 3,5 cm

I trung điểm DE : DI = ,75 cm  CI = DI-DC = 0,75 cm

Đề số

Câu : (2 điểm) Cho biểu thức

1 2

1 2

2

+ + +

− + =

a a a

a a A

a, Rút gọn biểu thức

b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản

Câu 2: (1 điểm)

Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc= n2−1 cba= n( −2)2

Câu 3: (2 điểm)

a Tìm n để n2 + 2006 số phương

b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số

Câu 4: (2 điểm)

a Cho a, b, n  N* Hãy so sánh

n b

n a

+ +

và

b a

b Cho A =

1 10

1 10

12 11

− −

; B =

1 10

1 10

11 10

+ +

So sánh A B

Câu 5: (2 điểm)

Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng số

số liên tiếp dãy chia hết cho 10

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng

ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có:

1 2 2 3 + + + − + = a a a a a

A =

1 ) )( ( ) )( ( 2 2 + + − + = + + + − + + a a a a a a a a a a

Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm

b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 ( 0,25 điểm) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ

Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d

Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố ( 0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm)

Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1)

cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (0,25 điểm) Từ (1) (2)  99(a-c) = n –  4n –  99 (3) (0,25 điểm)

Mặt khác: 100  n2-1  999  101  n2  1000  11 n31  39 4n –  119 (4) ( 0, 25 điẻm)

Từ (3) (4)  4n – = 99  n = 26 Vậy: abc = 675 ( , 25 điểm)

Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm)

+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n)2 (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm)

Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm)

b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho

Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Bài 4: Mỗi câu cho điểm Ta xét trường hợp b =1

a

1 

b

a 1

b a

(0,5 điểm)

TH1: ab =1  a=b ab++nn ba++nn = ba =1 (0 , ,5 điểm) TH1: ba 1  a>b  a+m > b+n

Mà b n

n a

++ có phần thừa so với b n b a

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

b a

có phần thừa so với b b a −

, b n b a

+− < b

b a −

nên ba++nn < ba (0,25 điểm) TH3: ba <1  a<b  a+n < b+n

Khi ba++nn có phần bù tới b b a −

, b

b a −

< bbb−+an nên b n

n a + + > b a (0,25 điểm) b) Cho A =

1 10 10 12 11 − − ;

rõ ràng A< nên theo a, ba <1 ba+nn +

> ba  A<

10 10 10 10 11 ) 10 ( 11 ) 10 ( 12 11 12 11 + + = + − + − (0,5 điểm)

Do A<

10 10 10 10 12 11 + + = = + + ) 10 ( 10 ) 10 ( 10 11 10 10 10 11 10 + + (0,5 điểm) Vây A<B

Bài 5: Lập dãy số

Đặt B1 = a1

B2 = a1 + a2

B3 = a1 + a2 + a3

B10 = a1 + a2 + + a10

Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh ( 0,25 điểm)

Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau:

Ta đen Bi chia cho 10 10 số dư ( số dư  { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có

nhất số dư Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)  ĐPCM

Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần  số giao điểm thực tế là:

(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm

Đề số Câu 1:

a Tìm số tự nhiên x, y cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1

c Tìm tất số B= 62xy427, biết số B chia hết cho 99

Câu

a chứng tỏ

2 30 12 + + n n

phân số tối giản

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Câu3: Một bác nông dân mang cam bán Lần thứ bán 1/2số cam 1/2 quả; Lần thứ bán 1/3 số

cam lạivà 1/3 ; Lần thứ bán 1/4số cam lại 3/4 Cuối cung lại 24 Hỏi số cam bác nông dân mang bán

Câu 4: Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường

thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng

ĐÁP ÁN

Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước 12

12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 2x+1=3 (0,25đ) =>2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17

hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ)

Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)

để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1

*2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9

B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho

=>(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15

B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ)

y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu 2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ)

vậy d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố

2 30

1 12

+ +

n n

là phân số tối giản (0,5đ)

b Ta có 2

1 <

1

1 =

1

-2

2

1 <

3

1 =

2

-3

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

100

<

100 99

1 =

99

-100

1

(0,5đ)

Vậy 2

1 + 2

3

+ + 2 100

1 <

1

-2

+

-3

+ + 99

1

-100

2

1 + 2

3

+ + 2 100

1

<1-100

= 100

99

<1 (0,5đ) Câu 3.Số cam lại sau lần bán thứ :

(24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam lại sau lần bán thứ (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)

Số cam bác nông dân mang bán (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ)

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng cịn lại tạo nên 100 giao điểm có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm giao điểm tính hai lần nên có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)

Đề số

Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125 b) 32x = 81 c) 52x-3 – 2.52 = 52.3

Bài 2: (1,5đ)

Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a   −   5 a Bài 3: (1,5đ)

Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a Nếu a dương số liền sau a dương b Nếu a âm số liền trước a âm

c Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm? Bài 4: (2đ)

Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số số dương

Bài 5: (2đ)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 6: (1,5đ)

Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng:

a xOy=xOz= yOz

b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại

ĐÁP ÁN

Bài (1,5đ)

a).5x = 125  5x = 53 => x=

b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3

52x: 53 = 52.3 + 2.52

52x: 53 = 52.5

52x = 52.5.53

 52x = 56 => 2x = => x=3

Bài Vì a số tự nhiên với a Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4}

Nghĩa a ={0,1,1,2,2,3,3,4,4} Biểu diễn trục số cácc số lớn nhỏ -5<a<5

Bài

a)Nếu a dương số liền sau dương

Ta có: Nếu a dương a>0 số liền sau a lớn a nên lớn nên số dương b)Nếu a âm số liền trước a âm

Ta có: Nếu a âm a<0 số liền trước a nhỏ a nên nhỏ nên số âm

Bài (2đ) Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết

Tách riêng số dương cịn 30 số chi làm nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương

Bài (2đ):

Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ , ,2, …., nên ln tìm hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10

Bài (1,5đ).Ta có: x Oy' =60 ,0 x Oz' =600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên yOz=yOx'+x Oz' =1200 vậy xOy= yOz=zOx

Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz ' '

x Oy=x Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Đề số

Bài (3đ):

a) So sánh: 222333 333222

b) Tìm chữ số x y để số 1x8y2 chia hết cho 36

c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28 Bài (2đ):

Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002

a) Tính S

b) Chứng minh S  Bài (2đ):

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28 Bài (3đ):

Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900

a) Tính góc AOC

b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD

ĐÁP ÁN

Bài (3đ):

a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222

b) Để số 1x8y2  36 ( x, y  , x, y  N )

 

 + + + + 

4

9 )

1 (



 y

y x

(0,5đ)

1;3;5;7;9

4

2  y=

y 

(x+y+2)  => x+y = x+y = 16 => x = 6;4;2;0;9;7 (0,25đ) Vậy ta có số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ)

c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 )  a => 42  a (0,5đ)

=> a = 42 (0,5đ) Bài (2đ):

a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) Suy ra: 8S = 32004 - => S =

8 32004−

(0,5đ)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | = (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 )

= 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S  (0,25đ) Bài (2đ): Gọi số cần tìm là: a

Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) <=> 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p  (0,75đ)

Vì a nhỏ hay q - p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ)

Vậy số cần tìm 121 (0,25đ) Bài (3đ):

a) theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA

=> góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450

b) OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia