Đang tải... (xem toàn văn)
Toàn bộ kiến thức về toán cao cấp C1
V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ Ch ng I: Phép tính vi phân hàm m t bi nươ ộ ế 1.1. Hàm s và gi i h n c a hàm s :ố ớ ạ ủ ố 1.1.1. Hàm s :ố Đ nh nghĩa: ị Cho X là m t t p con c a t p s th c ộ ậ ủ ậ ố ự ¡ . M t hàm s xác đ nh trên X làộ ố ị m t quy t c f đ t t ng ng m i đi m ộ ắ ặ ươ ứ ỗ ể x X∈ v i m t giá tr duy nh t f(x) ớ ộ ị ấ ∈ ¡ . Ký hi u:ệ f : X → ¡ x y f (x)=a X đ c g i là t p xác đ nh c a hàm s f. ượ ọ ậ ị ủ ố T p h p ậ ợ { } f (x) x X∈ đ c g i là t p giá tr c a hàm s f.ượ ọ ậ ị ủ ố Đ th c a hàm s :ồ ị ủ ố Cho hàm s f có t p xác đ nh X. T p h p t t c các đi m ố ậ ị ậ ợ ấ ả ể ( ) ( ) x,f x v i ớ x X ∈ đ cượ g i là đ th c a hàm s f.ọ ồ ị ủ ố Hàm s đ n đi u: ố ơ ệ Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b).ố ị ả ■ N u ế ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x , x a, b , x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < thì f đ c g i là hàm s tăngượ ọ ố trên kho ng (a, b).ả ■ N u ế ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x , x a, b , x x f x f x∀ ∈ < ⇒ > thì f đ c g i là hàm s gi mượ ọ ố ả trên kho ng (a, b).ả Hàm s ch n, hàm s l :ố ẵ ố ẻ Cho hàm s xác đ nh trên t p h p X.ố ị ậ ợ ■ f đ c g i là hàm s ch n n u ượ ọ ố ẵ ế x X x X f ( x) f (x) ∀ ∈ ⇒ − ∈ − = ■ f đ c g i là hàm s l n u ượ ọ ố ẻ ế x X x X f ( x) f (x) ∀ ∈ ⇒ − ∈ − = − 1 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ Đ th c a hàm s ch n đ i x ng qua tr c Oy, còn đ th hàm s l đ i x ng qua g cồ ị ủ ố ẵ ố ứ ụ ồ ị ố ẻ ố ứ ố t a đ .ọ ộ 1.1.2. Gi i h n c a hàm s m t bi n:ớ ạ ủ ố ộ ế Đ nh nghĩa: ị Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b) có th tr ra đi mố ị ả ể ừ ể ( ) 0 x a,b∈ . Ta nói hàm s f(x) có gi i h n là A khi x ti n t i ố ớ ạ ế ớ 0 x n u v i m i dãyế ớ ọ { } ( ) { } n 0 x a, b \ x⊂ , n 0 n lim x x →∞ = ta đ u có ề ( ) n n limf x A →∞ = Ký hi u:ệ ( ) 0 0 x x lim f x A 0, 0,0 x x f (x) A → = ⇔ ∀ε > ∃δ > < − < δ ⇒ − < ε Các phép toán v gi i h n:ề ớ ạ Cho f(x), g(x) là hai hàm s có gi i h n khi ố ớ ạ 0 x x→ . Khi đó: [ ] 0 0 0 x x x x x x i) lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) → → → ± = ± [ ] 0 0 0 x x x x x x ii) lim f (x)g(x) lim f (x).lim g(x) → → → = ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f (x) f (x) iii) lim lim g(x) 0 g(x) lim g(x) → → → → = ≠ [ ] x x 0 0 0 lim g( x) g( x ) x x x x iv) lim f (x) lim f (x) → → → = M t s gi i h n c b n:ộ ố ớ ạ ơ ả a) N u f(x) là m t hàm s s c p và xế ộ ố ơ ấ 0 thu c mi n xác đ nh c a nó thì:ộ ề ị ủ ( ) 0 0 x x lim f(x) f x → = b) x x lim e →+∞ = +∞ , x x lim e 0 →−∞ = c) x x 0 lim ln x , lim ln x + →+∞ → = −∞ = +∞ d) 0 x x limc c → = e) x 0 sinx lim 1 x → = 2 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ f) x x 0 e 1 lim 1 x → − = g) x x 1 lim 1 e x → ∞ + = Ví d :ụ Tính các gi i h n sau:ớ ạ a) 2 x 2x 1 x lim e − + + →∞ b) ( ) 1 x x lim 1 sinx → ∞ + c) x 0 sin5x lim x → Gi iả Ta có: a) 2 x 2x 1 x lim e 0 − + + →∞ = b) ( ) ( ) ( ) x sinx sinx lim 1 1 1 x x x sin x sin x x x x lim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ + = + = + = c) x 0 x 0 x 0 sin5x sin5x sin5x lim lim 5. 5lim 5.1 5 x 5x 5x → → → = = = = 1.2. Vô cùng bé, vô cùng l n:ớ 1.2.1. Vô cùng bé: Đ nh nghĩa:ị Hàm ( ) xα đ c g i là vô cùng bé (VCB) khi ượ ọ 0 x x→ n u ế ( ) 0 x x lim x 0 → α = . Cho ( ) xα , ( ) xβ là hai VCB khi 0 x x→ . Gi s t n t i ả ử ồ ạ ( ) ( ) 0 x x x lim A x → α = β ♦Tr ng h p 1:ườ ợ N u A = 1 thì ế ( ) xα , ( ) xβ là hai VCB t ng đ ng. Kýươ ươ hi u: ệ ( ) ( ) x xα β: khi 0 x x→ . ♦ Tr ng h p 2:ườ ợ N u ế A , A 1, A 0∈ ≠ ≠¡ thì ( ) xα , ( ) xβ là hai VCB cùng c p.ấ ♦ Tr ng h p 3:ườ ợ N u A = 0 thì VCB ế ( ) xα g i là c p cao h n VCB ọ ấ ơ ( ) xβ khi 0 x x→ . Ký hi u: ệ ( ) ( ) ( ) x O xα = β khi 0 x x→ . 3 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ Ví d :ụ Ta có: x 0 sinx lim 1 x → = sinx x⇒ : khi x 0→ Ví d : ụ Ta có: 2 x 0 x lim 0 x → = nên 2 x c p cao h n x.ấ ơ 1.2.2. Vô cùng l n:ớ Đ nh nghĩa:ị Hàm ( ) xα g i là vô cùng l n ( VCL ) khi ọ ớ 0 x x→ n u ế ( ) 0 x x lim x → α = +∞ D th y r ng n u ễ ấ ằ ế ( ) xα là VCL thì ( ) 1 xα là VCB, ng c l i n u ượ ạ ế ( ) xα là VCB thì ( ) 1 xα là VCL ( ) ( ) x 0α ≠ Nh v y, vi c nghiên c u các VCL có th chuy n sang các VCB.ư ậ ệ ứ ể ể 1.3. Hàm s m t bi n liên t c:ố ộ ế ụ Đ nh nghĩa:ị Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b), ố ị ả ( ) 0 x a,b∈ . Hàm s f(x)ố đ c g i là liên t c t i xượ ọ ụ ạ 0 n u ế 0 0 x x lim f (x) f (x ) → = . Tr ng h p ườ ợ 0 0 x x lim f (x) f (x ) − → = thì ta nói hàm s liên t c bên trái t i đi m xố ụ ạ ể 0 , 0 0 x x lim f (x) f (x ) + → = thì ta nói hàm s liên t c bên ph i t i đi m xố ụ ả ạ ể 0 . V y f liên t c t i xậ ụ ạ 0 0 0 0 x x x x lim f (x) lim f (x) f (x ) + − → → ⇔ = = . N u hàm s không liên t c t i xế ố ụ ạ 0 thì f đ c g i là gián đo n t i đi m xượ ọ ạ ạ ể 0 . V y f giánậ đo n t i đi m xạ ạ ể 0 khi không t n t i ồ ạ 0 x x lim f (x) → ho c ặ 0 0 x x lim f (x) f (x ) → ≠ Đ nh lí: ị Cho hàm s f liên t c trên đo n [a, b]. Khi đó:ố ụ ạ i) f b ch n trên đo n [a, b],ị ặ ạ nghĩa là t n t i s M > 0 sao cho:ồ ạ ố [ ] f (x) M x a, b≤ ∀ ∈ ii) f có giá tr l n nh t và giá tr nh nh t trên đo n [a, b].ị ớ ấ ị ỏ ấ ạ iii) [ ] [ ] ( ) 0 0 c f (a),f (b) , x a,b : f x c∀ ∈ ∃ ∈ = iv) N u f(a).f(b) < 0 thì t n t i ế ồ ạ [ ] 0 0 x a,b : f (x ) 0∈ = 4 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ v) 1.4. Đ o hàm:ạ 1.4.1. Đ o hàm c p m t và đ o hàm c p cao:ạ ấ ộ ạ ấ Đ nh nghĩa:ị Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b), ố ị ả ( ) 0 x a,b∈ . Cho x 0 m tộ s gia ố x ∆ . Đ t ặ ( ) 0 0 y f x x f (x )∆ = + ∆ − . N u t n t i gi i h nế ồ ạ ớ ạ ( ) 0 0 x 0 x 0 f x x f (x ) y lim lim x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = ∆ ∆ thì gi i h n này đ c g i là đ o hàm c a hàm sớ ạ ượ ọ ạ ủ ố y = f(x) t i đi m xạ ể 0 . Ký hi u:ệ ( ) ( ) 0 0 0 x 0 x 0 f x x f (x ) y f x lim lim x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ ′ = = ∆ ∆ Hàm s có đ o hàm g i là hàm kh vi.ố ạ ọ ả Đ o hàm c a hàm s ạ ủ ố y ′ đ c g i là đ o hàm c p hai c a hàm s y = f(x). Ký hi u:ượ ọ ạ ấ ủ ố ệ y f (x) ′′ ′′ = T ng quát: đ o hàm c p n c a hàm s y = f(x) là ổ ạ ấ ủ ố ( ) ( ) ( ) n n 1 y y − ′ = 1.4.2. Ý nghĩa hình h c c a đ o hàm:ọ ủ ạ N u hàm s y = f(x) có đ o hàm t i đi m xế ố ạ ạ ể 0 thì ti p tuy n c a hàm s t i đi mế ế ủ ố ạ ể ( ) 0 0 M x ,f (x ) có ph ng trình: ươ ( ) ( ) 0 0 0 y y f x x x ′ − = − 1.4.3. Cách tính đ o hàm:ạ 5 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ Các đ o hàm c b n: ạ ơ ả ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 x x 2 2 c 0 c const x nx a a .lna 0 a 1 1 lnx x 0 x sinx cosx cosx sinx 1 1 tgx cotgx cos x sin x − ′ = = ′ = ′ = < ≠ ′ = > ′ ′ = =− ′ ′ = =− Các quy t c tính đ o hàm:ắ ạ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cu c.u c const u v u v uv u v v u u u v v u v v ′ ′ = = ′ ′ ′ ± = ± ′ ′ ′ = + ′ ′ ′ − = Ví d :ụ Tính đ o hàm c a các hàm s sau: ạ ủ ố a) 3 2 y x 3x 1= − + b) 2 x x 1 y 2x 5 + − = + c) 2 x y x e= d) y x.sinx= 1.4.4. Vi phân c a hàm m t bi n:ủ ộ ế Đ nh nghĩa: ị Hàm f kh vi t i xả ạ 0 n u và ch n u f có đ o hàm t i xế ỉ ế ạ ạ 0 . Vi phân c a hàm y = f(x) là ủ ( ) dy dy f (x)dx f x dx ′ ′ = ⇔ = Vi phân c p cao: ấ N u hàm s f có đ o hàm đ n c p n thì vi phân c p n c a hàm s fế ố ạ ế ấ ấ ủ ố là: ( ) ( ) n n n d y f x dx= Ví d : ụ Cho hàm s ố 3 y x 2x 1= + + . Khi đó: ( ) 2 2 2 dy 3x 2 dx, d y 6xdx= + = 1.5. ng d ng c a đ o hàm và vi phân:Ứ ụ ủ ạ 1.5.1. Kh d ng vô đ nh trong tính gi i h n:ử ạ ị ớ ạ 6 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ Đ nh lí:ị Quy t c L’Hospitalắ N u ế 0 x x (x) lim (x) → ϕ ψ có d ng ạ 0 0 ho c ặ ∞ ∞ thì 0 0 x x x x (x) (x) lim lim (x) (x) → → ′ ϕ ϕ = ′ ψ ψ Ví d : ụ a) Tính 3 3 2 x 2x 3x 3 lim -x 2x x → ∞ − + + + (d ng ạ ∞ ∞ ) b) Tính 3 2 x x 3x 3 lim 4x x 2 → ∞ − + + + (d ng ạ ∞ ∞ ) c) Tính 2 3 x 3x 3 lim 3 x 5x → ∞ − + − + (d ng ạ ∞ ∞ ) 1.5.2. C c tr c a hàm m t bi n:ự ị ủ ộ ế Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b) và ố ị ả ( ) 0 x a,b∈ . Đi m ể 0 x đ c g i làượ ọ đi m c c đ i c a hàm s y = f(x) n u t n t i kho ng m ể ự ạ ủ ố ế ồ ạ ả ở ( ) 0 I x I∈ sao cho: ( ) { } 0 0 f(x) < f x x I \ x∀ ∈ Đi m ể 0 x đ c g i là đi m c c ti u c a hàm s y = f(x) n u t n t i kho ng mượ ọ ể ự ể ủ ố ế ồ ạ ả ở ( ) 0 I x I∈ sao cho: ( ) { } 0 0 f(x) > f x x I \ x∀ ∈ Đi m xể 0 đ c g i là đi m c c tr n u nó là đi m c c đ i ho c c c ti u.ượ ọ ể ự ị ế ể ự ạ ặ ự ể Đ nh lí: ị N u xế 0 là đi m th a ể ỏ ( ) 0 f x 0 ′ = và đ o hàm đ i d u t âm sang d ng thìạ ổ ấ ừ ươ đi m xể 0 là đi m c c ti u c a hàm s .ể ự ể ủ ố N u xế 0 là đi m th a ể ỏ ( ) 0 f x 0 ′ = và đ o hàm đ i d u t d ng sang âm thì đi mạ ổ ấ ừ ươ ể x 0 là đi m c c đ i c a hàm sể ự ạ ủ ố Đ nh lí:ị N u xế 0 là đi m mà t i đó ể ạ ( ) 0 f x 0 ′ = và ( ) 0 f x 0 ′′ < thì hàm s đ t c c đ i t iố ạ ự ạ ạ đi m xể 0 . 7 x y ’ y x 1 0 0 - + + CĐ CT x 2 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ N u xế 0 là đi m mà t i đó ể ạ ( ) 0 f x 0 ′ = và ( ) 0 f x 0 ′′ > thì hàm s đ t c c ti u t i đi mố ạ ự ể ạ ể x 0 . 1.5.3. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố Cho hàm s y = f(x) xác đ nh là liên t c trên đo n [a, b] và f kh vi trong (a, b).ố ị ụ ạ ả Đ tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y = f(x) trên đo n [a, b] ta làmể ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố ạ nh sau:ư B c 1:ướ Tính y ′ B c 2:ướ Gi i ph ng trình ả ươ y 0 ′ = tìm các nghi m ệ [ ] i x a,b∈ B c 3:ướ Tính f(a), f(b), f(x i ) Khi đó: [ ] { } i x a,b max f (x) max f(a), f(b), f(x ) ∈ = [ ] { } i x a,b min f (x) min f(a), f(b), f(x ) ∈ = Ví d : Tụ ìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố 3 y x 3x 3= − + trên đo nạ [ ] 0,2 Ta có: 2 y 3x 3 ′ = − 2 x 1 y 1 y 0 x 1 x 1 y 5 = ⇒ = ′ = ⇔ = ⇔ = − ⇒ = M t khác: ặ f (0) 3,f (2) 5= = V y ậ [ ] ( ) x 0, 2 max f (x) 5 x 2 x 1 ∈ = = ∨ = − và [ ] ( ) x 0, 2 min f (x) 1 x 1 ∈ = = Ví d : ụ M t nhà máy s n xu t máy tính xác đ nh r ng đ bán x s n ph m m i, giáộ ả ấ ị ằ ể ả ẩ ớ m i s n ph m ph i là: p = 1000 – x. Nhà s n xu t cũng xác đ nh đ c t ng giá tr c aỗ ả ẩ ả ả ấ ị ượ ổ ị ủ x s n ph m làm ra cho b i C(x) = 3000 + 20xả ẩ ở a) Tìm t ng thu nh p R(x)ổ ậ b) Tìm t ng l i nhu n P(x)ổ ợ ậ c) Nhà máy ph i s n xu t và bán bao nhiêu s n ph m đ l i nhu n đ t max.ả ả ấ ả ẩ ể ợ ậ ạ d) L i nhu n l n nh t là bao nhiêu trong tr ng h p câu c)ợ ậ ớ ấ ườ ợ Giá m i s n ph m là bao nhiêu đ l i nhu n đ t max.ỗ ả ẩ ể ợ ậ ạ M T S NG D NG C A TOÁN H C TRONG KINH TỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ọ Ế 8 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ 1.1. Bài toán tìm kích th c lô hàng t i u:ướ ố ư Gi s n là s đ n v m t lo i hàng mà m t c a hàng bán đ c trong m t năm, h làả ử ố ơ ị ộ ạ ộ ử ượ ộ chi phí l u kho cho m t đ n v hàng trong m t năm, p là chi phí cho m i chuy n đ tư ộ ơ ị ộ ỗ ế ặ hàng, còn Q là kích th c c a m i chuy n đ t hàng ( kích th c c a m i lô hàng ).ướ ủ ỗ ế ặ ướ ủ ỗ Ta xem n, h, p là nh ng h ng s , còn Q là bi n s , lúc này t ng chi phí trong m t nămữ ằ ố ế ố ổ ộ c a c a hàng đ i v i lo i hàng hóa trên là hàm s Củ ử ố ớ ạ ố ( ) Q bao g m 2 lo i chi phí: chiồ ạ phí l u kho và chi phí cho các chuy n hàng.ư ế ■ Chi phí l u kho: ư Q .h 2 ■ Chi phí cho các chuy n hàng: ế n .p Q Ví d : ụ M t c a hàng bán l bán 2500 cái tivi m i năm. Chi phí g i trong kho là $ 10ộ ử ẻ ỗ ở m t cái trong m t năm. Đ đ t hàng, chi phí c đ nh là $20, c ng thêm $9 m i cái.ộ ộ ể ặ ố ị ộ ỗ C a hàng nên đ t hàng bao nhiêu l n trong m i năm và m i l n đ t bao nhiêu cái đử ặ ầ ỗ ỗ ầ ặ ể chi phí hàng t n kho là nh nh t ?ồ ỏ ấ Gi i ả Ta có: n = 2500, h = 10. G i Q là s tivi mà c a hàng đ t hàng m i l n. Khi đó: Qọ ố ử ặ ỗ ầ [ ] ∈ 1;2500 . Khi đó, s l ng tivi trung bình g i trong kho là ố ượ ở Q 2 . Do đó, chi phí l u kho m i nămư ỗ là 10. Q 2 = 5Q (1) S l n đ t hàng m i năm là: ố ầ ặ ỗ 2500 Q . Do đó, chi phí đ t hàng m i năm là: ặ ỗ (20 + 9Q) 2500 Q = 50000 Q + 22500 (2) T (1) và (2) suy ra chi phí c a c a hàng là:ừ ủ ử C(Q) = 5Q + 50000 Q + 22500 Ta có : ( ) ′ = − 2 50000 C Q 5 Q ( ) ′ = ⇔ = 2 C Q 0 5Q 50000 = ⇔ = ⇔ = − 2 Q 100 Q 10000 Q 100 Vì Q [ ] ∈ 1;2500 nên ta lo i Q = - 100ạ 9 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ ( ) ′′ = > 3 100000 C Q 0 Q v i Q>0 nênớ [ ] ( ) ( ) ∈ = = Q 1;2500 min C Q C 100 23500 Khi đó, s l n đ t hàng m i năm là ố ầ ặ ỗ = 2500 25 100 . V y, đ chi phí hàng t n kho nh nh t thì c a hàng nên đ t hàng 25 l n m i năm vàậ ể ồ ỏ ấ ử ặ ầ ỗ m i l n đ t 100 cái tivi. ỗ ầ ặ Ví d : ụ S hàng hóa c a m t c a hàng bán ra trong m t năm là n = 400000 s n ph m,ố ủ ộ ử ộ ả ẩ chi phí l u kho c a m i đ n v hàng hóa là $2, chi phí cho m i chuy n đ t hàng làư ủ ỗ ơ ị ỗ ế ặ $10. Xác đ nh kích th c lô hàng Q đ t ng chi phí c a c a hàng là nh nh t.ị ướ ể ổ ủ ử ỏ ấ 1.2. Ý nghĩa c a đ o hàm:ủ ạ Gi s hai bi n x và y có m i quan h hàm y = f(x) ( ả ử ế ố ệ ch ng h n x là giá c aẳ ạ ủ m t lo i hàng hóa và y là s l ng hàng đó bán raộ ạ ố ượ ). Trong th c t ng i taự ế ườ quan tâm đ n xu h ng bi n thiên c a bi n y t i xế ướ ế ủ ế ạ 0 khi x thay đ i m t l ng nhổ ộ ượ ỏ x∆ . L ng thay đ i c a y khi x thay đ i m t l ng ượ ổ ủ ổ ộ ượ x∆ là: ( ) ( ) 0 0 y f x x f x∆ = + ∆ − T c đ thay đ i ố ộ ổ trung bình c a y theo x trong kho ng t xủ ả ừ 0 đ n xế 0 + x ∆ là: y x ∆ ∆ T c đ thay đ i ố ộ ổ t c th iứ ờ c a y theo x t i đi m xủ ạ ể 0 là: ( ) 0 0 0 x 0 x 0 f (x x) f (x ) y lim lim f x x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ ′ = = ∆ ∆ Khi x ∆ khá nh thì ỏ ( ) 0 y f x x ∆ ′ ≈ ∆ hay ( ) 0 y f x x ′ ∆ ≈ ∆ V y x thay đ i m t l ng ậ ổ ộ ượ x ∆ thì y thay đ i m t l ng x p x b ng ổ ộ ượ ấ ỉ ằ ( ) 0 f x x ′ ∆ ( ch ng h n giá thay đ i m t l ng ẳ ạ ổ ộ ượ x∆ thì s hàng bán ra thay đ i m t l ng làố ổ ộ ượ ( ) 0 f x x ′ ∆ ) Ví d : ụ Hàm c u c a m t lo i s n ph m là ầ ủ ộ ạ ả ẩ 2 P 50 Q= − . Tìm t c đ thay đ i giá khiố ộ ổ l ng c u Q thay đ i. Giá thay đ i nh th nào khi Q = 1 ?ượ ầ ổ ổ ư ế Gi iả T c đ thay đ i c a giá P theo Q là: ố ộ ổ ủ P 2Q ′ = − . Do đó: P (1) 2.1 2 ′ = − = − . Đi u này cóề nghĩa là khi l ng c u tăng thêm 1 đ n v s n ph m thì giá gi m trên m t đ n v s nượ ầ ơ ị ả ẩ ả ộ ơ ị ả ph m là 2 đ n v ti n.ẩ ơ ị ề Ý nghĩa c a v n đủ ấ ề: Khi giá s n ph m cao thì nhu c u mua s n ph m đó s gi m,ả ẩ ầ ả ẩ ẽ ả ng c l i khi giá s n ph m xu ng th p h n thì nhu c u mua s n ph m đó s tăngượ ạ ả ẩ ố ấ ơ ầ ả ẩ ẽ lên. 10 . max.ỗ ả ẩ ể ợ ậ ạ M T S NG D NG C A TOÁN H C TRONG KINH TỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ọ Ế 8 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ 1.1. Bài toán tìm kích th c lô hàng t i u:ướ. x a,b : f (x ) 0∈ = 4 V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ v) 1.4. Đ o hàm:ạ 1.4.1. Đ o hàm c p m t và đ o hàm c p cao: ạ ấ ộ ạ ấ Đ nh nghĩa:ị Cho hàm s y =