Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 6 Năm học 2009-2010 Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010 (Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm ) a) Rỳt gn phõn s: 42.2.5.3 8.7.5.3.)2( 43 333 b) So sỏnh khụng qua quy ng: 2006200520062005 10 7 10 15 10 15 10 7 + = + = B;A Bài 2: ( 2.0 điểm ) Khụng quy ng hóy tớnh hp lý cỏc tng sau: a) 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 A + + + + + = b) 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B ++++= Bài 3: ( 2.0 điểm ) Mt ngi bỏn nm gi xoi v cam. Mi gi ch ng mt loi qu vi s lng l: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn mt gi cam thỡ s lng xoi cũn li gp ba ln s lng cam cũn li. Hóy cho bit gi no ng cam, gi no ng xoi? Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho gúc AOB v gúc BOC l hai gúc k bự . Bit gúc BOC bng nm ln gúc AOB. a) Tớnh s o mi gúc. b) Gi OD l tia phõn giỏc ca gúc BOC. Tớnh s o gúc AOD. c) Trờn cựng na mt phng b l ng thng AC cha tia OB,OD, v thờm 2006 tia phõn bit (khụng trựng vi cỏc tia OA;OB;OC;OD ó cho) thỡ cú tt c bao nhiờu gúc? Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 6 Năm học 2009-2010 A. Một số chú ý khi chấm bài: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. B. Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 2.0 điểm ) a) Rỳt gn phõn s: 42.2.5.3 8.7.5.3.)2( 43 333 b) So sỏnh khụng qua quy ng: 2006200520062005 10 7 10 15 10 15 10 7 + = + = B;A Đáp án Thang điểm a) 0.5 0.5 BA 10 8 10 8 10 7 10 8 10 7 10 7 10 15 B 10 7 10 8 10 7 10 15 10 7 A)b 20052006 20062005200520062005 20062006200520062005 > > + + = + = + + = + = 0.5 0.5 Bài 2: ( 2.0 điểm ) Khụng quy ng hóy tớnh hp lý cỏc tng sau: a) 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 A + + + + + = b) 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B ++++= Đáp án Thang điểm 20 3 ) 10 1 4 1 () 10 1 9 1 . 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 ( ) 10.9 1 . 7.6 1 6.5 1 5.4 1 ( 90 1 . 42 1 30 1 20 1 A)a ==+++++= ++++= ++ + + = 0.5 0.5 4 1 3 4 13 ) 28 1 2 1 .(7) 28 1 15 1 15 1 14 1 14 1 11 1 11 1 7 1 7 1 2 1 .(7 ) 28.15 13 15.14 1 14.11 3 11.7 4 7.2 5 .(7 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B)b ===++++= ++++=++++= 0.5 0.5 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? §¸p ¸n Thang ®iÓm Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3. Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg. Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Bµi 4: ( 3.0 ®iÓm ) Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? §¸p ¸n Thang ®iÓm Vẽ hình đúng a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =180 0 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 180 0 Do đó: AOB = 180 0 : 6 = 30 0 ; BOC = 5. 30 0 = 150 0 b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD = DOC = 2 1 BOC = 75 0 . Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =180 0 Do đó AOD =180 0 - DOC = 180 0 - 75 0 = 105 0 c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả 2 2009.2010 =2 019 045 góc 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 A B C O D Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Đáp án Thang điểm P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k N Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 3 p + 8 là hợp số 0.5 0.5 Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 7 Năm học 2009-2010 Ngày thi: 20/04/2010 (Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1. ( 2.0 điểm ) a) Thực hiện phép tính: 2 3 193 33 7 11 1931 9 A . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 = + + + ữ ữ b) Tìm x, biết: ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = Bài 2. (2.5 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5. Ba chiều cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào? Bài 3. ( 2.0 điểm ) 1. So sánh: a) 50 20 và 2550 10 ; b) (-3) 50 và (-5) 30 2. Tìm các cặp số nguyên âm (a, b) sao cho: 1 3 4 2 a b = Bài 4. (2.5 điểm) Tam giác ABC có à à 0 0 B 45 , C 120= = . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính ã ADB . Bài 5. (1.0 điểm) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1 =+ Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Hớng dẫn chấm học sinh năng khiếu toán lớp 7 Năm học 2009-2010 A. Một số chú ý khi chấm bài: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. B. Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 2.0 điểm ) a) Thực hiện phép tính: 2 3 193 33 7 11 1931 9 A . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 = + + + ữ ữ b) Tìm x, biết: ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = Đáp án Thang điểm a) 2 3 193 33 7 11 1931 9 A . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 = + + + ữ ữ 1 3 193 33 1 11 1931 9 A . 2 . : . 7 . 193 2 17 34 1931 2 25 2 1 1 33 25 1 9 A . : . 2 17 34 2 25 2 1 33 1 9 A : 34 34 2 2 1 A 5 = + + + ữ ữ = + + ữ ữ = + + ữ ữ = 0,25 0,25 0.25 0.25 b) Ta có: ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + = = 1 10 1 10 7 . 1 7 0 Hoặc 7 0 hoặc 1 7 0 x x x x x x ( ) + + = = 1 Nếu 7 0 thì 7 0 x=7 x x x ( ) ( ) + = = 10 10 Nếu 1 7 0 thì 7 1 Hoặc x-7 =1; hoặc x-7=-1 x=8 hoặc x =6 x x { } Vậy x = 6 ;7 ;8 0,25 0,25 0.25 0.25 Bài 2 (2.5 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào? Đáp án Thang điểm - Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lợt là a; b; c , ba chiều cao tơng ứng là x; y; z , và diện tích tam giác là S, Ta có: S = 1 2 a.x => a = 2S x S = 1 . 2 b y => b = 2S y S = 1 . 2 c z => c = 2S z Do ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5 ta có: 3 4 5 a b c = = Từ đó: 2 2 2 2 2 2 3 4 5 3 4 5 S S S S S S y x z x y z = = = = 3 4 5 20 15 12 x y z x y z = = = = Vậy ba chiều cao tơng ứng tỉ lệ với 20; 15; 12 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3. ( 2.0 điểm ) 1. So sánh: a) 50 20 và 2550 10 ; b) (-3) 50 và (-5) 30 2. Tìm các cặp số nguyên âm (a, b) sao cho: 1 3 4 2 a b = Đáp án Thang điểm a) ( ) 10 20 2 10 10 50 = 50 = 2500 2550 b) ( ) ( ) 10 30 30 3 10 -5 = 5 = 5 = 125 ( ) ( ) 10 50 50 5 10 -3 = 3 3 = 243 do ( ) ( ) 30 50 10 10 125 243 -5 -3 0,5 0,5 2. ( ) a - 2 3 = b a - 2 = 12 4 b do b < 0 và b là ớc của 12 nên ta có bảng sau: b -1 -12 -2 -6 -3 -4 a -2 -12 -1 -6 -2 -4 -3 a -10 1 -4 0 -2 -1 Vậy (a, b) = { } ( 10; 1);( 4, 2);( 2; 3);( 1, 4) 0,5 0,5 Bài 4 (2.5 điểm) Tam giác ABC có à à 0 0 B 45 , C 120= = . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính ã ADB ? Đáp án Thang điểm Ta có: ã ã 0 0 ACB 120 ACD 60= = ( hai góc kề bù) Do đó vẽ thêm DH AC CDH có ã 0 CDH 30= => CDH là nửa tam giác đều cạnh CD nên CH = CD 2 Mà BC = CD 2 (gt) CH = BC => CBH cân tại C do đó ã 0 CBH 30= => ã 0 0 0 ABH 45 30 15= = Ta cũng có: ã 0 BAH 15= Từ đó AHD vuông cân => ã 0 ADH 45= Vậy ã ã ã 0 0 0 ADB ADH HDB 45 30 75= + = + = 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 Bài 5 (1.0 điểm) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 5 1 y 1 x 1 =+ Đáp án Thang điểm 5 1 y 1 x 1 =+ => 5 1 xy yx = + => xy - 5x - 5y = 0 => xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 => x - 5 = 25 => x = 30, y = 6 x - 5 = 5 => x = 10, y = 10 x - 5 = 1 => x = 6, y = 30 1.0 Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 8 Năm học 2009-2010 Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010 (Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề) A B C D H => AHB cân tại H Bài 1: ( 2.5 điểm) a) Chng minh rng: 11 10 - 1 chia ht cho 100. b) Phân tích thành nhân tử: 10a13a2a 23 ++ Bài 2: ( 2.5 điểm) Cho biu thc: Q = 1 + xxx xx x xxx x + + + + 23 23 23 2 : 1 2 1 1 1 1 a) Rỳt gn Q. b) Tớnh giỏ tr ca Q bit: 4 5 4 3 = x c) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x Q cú giỏ tr nguyờn. Bài 3: ( 2.0 điểm) Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì: a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 chia hết cho 6. Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB. b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC AH HC = + . Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 8 Năm học 2009-2010 C. Một số chú ý khi chấm bài: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. D. Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 2.5 điểm) a) Chng minh rng: 11 10 - 1 chia ht cho 100. b) Phân tích thành nhân tử: 10a13a2a 23 ++ Đáp án Thang điểm a) 11 10 - 1 = ( 11 -1 )( 1111111 89 ++++ ) = 10( 1111111 89 ++++ ) Vỡ 10 10 v ( 1111111 89 ++++ ) cú ch s tn cựng ( hng n v) bng 0 Nờn: ( 1111111 89 ++++ ) chia ht cho 10 Vy: 11 10 - 1 chia ht cho 10. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b) Ta nhận thấy a = 1, a = 2 là nghiệm của đa thức nên: 10a13a2a 23 ++ ( 1)( 2)( 5)a a a= + 1.25 Bài 2: ( 2.5 điểm) Cho biu thc: Q = 1 + xxx xx x xxx x + + + + 23 23 23 2 : 1 2 1 1 1 1 a) Rỳt gn Q. b) Tớnh giỏ tr ca Q bit: 4 5 4 3 = x c) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x Q cú giỏ tr nguyờn. Đáp án Thang điểm a) Q = 1 + xxx xx x xxx x + + + + 23 23 23 2 : 1 2 1 1 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 11 1211 1 2 2 2 + ++ ++++ + xx xx xxx xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 11 22 1 2 1 11 42 1 2 2 2 2 2 + ++ += + + + += xx xx xxx xx xx xx xxx xx (iu kin: x 0;-1; 2) 0.25 0.25 0.25 [...]... Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: BC AH + HC Thang Đáp án điểm a) Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung CD CA = (Hai tam giác vuông CDE và CE CB CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) ã Suy ra: BEC = ã ADC = 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả 0 1.0 thi t) Nên ã AEB = 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BE = AB 2 = m 2 BM 1 BE 1 AD = ì = ì (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC mà... 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => C Bài 4: ( 3.0 điểm) 6 => B 6 0.5 0.5 0.5 0.5 Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh rằng...= 1+ 2 x 1 = x +1 x +1 x 3 5 = 4 4 0.25 ( Loi) x = 2 x = 1 2 1 V i x = 2 Q = 3 0.75 2 c) Q Z vi x {3; ;1} 0.75 Bài 3: ( 2.0 điểm) Cho 3 số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì: a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6 Thang điểm Đáp án A=a+b+c 3 =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2... BC 2 AC 2 AC AB 2 BE ã ã Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 ã AHM = 450 b) Ta có: 1.0 c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD = = ( ABC : DEC ) = ( ED // AH ) = , mà GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = = = Do đó: GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Suy ra: 1.0 . Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 6 Năm học 2009-2010 Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010 (Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề) Bài. giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không