cơ học lượng tử

a-Biến số động lực học: Các nhà sáng lập cơ học lượng tử cho rằng nếu như học cổ điển trạng thái của hệ được xác định bằng một tập hợp các biến số như toạ độ tốc,[r]

Cơ học Lượng Tử Ths Nguyễn Trọng Dũng I KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

1 Bài toán mở đầu

2 Các đại lượng đặc trưng

3 Mở rộng cho hàm phân bố liên tục II HÀM SÓNG

1 Biểu thức Ý nghĩa

3 Tính thống kê hàm sóng Ðiều kiện chuẩn hóa

5 Ðiều kiện hàm sóng

6 Quan hệ sóng Broglie hạt chuyển động Vận tốc pha, vận tốc nhóm

III TỐN TỬ

1 Khái niệm tốn tử

2 Hàm riêng trị riêng toán tử Các toán tử học lượng tử IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

V HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN VI DAO ÐỘNG TỬ ÐIỀU HOÀ

VII HIỆU ỨNG ÐƯỜNG NGẦM BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM

Cơ học lượng tử môn học gắn liền với chuyển động hạt vi mơ có v tốc chuyển động gần với vận tốc ánh sáng Ðặc điểm học lượng tử, tên nó, nghiên cứu tính chất lượng tử hóa đại lượng vật lý liên quan đến chuyển độ

mô Quan điểm xác suất sử dụng nhiều học lượng tử theo ngun lý Heisenberg ta khơng thể xác định xác đồng thời vị trí vận tốc hạt vi mô, không I KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

thiệu sơ lý thuyết xác suất

Giả sử phịng họp có phân bố số người dự họp theo số tuổi sau: Có người 14 tuổi Biểu diễn ( N(14)=1

Có người 15 tuổi ( N(15)=1 Có người 16 tuổi ( N(16)=3 Có người 22 tuổi ( N(22)=2 Có người 24 tuổi ( N(24)=2 Có người 25 tuổi ( N(25)=5

Tổng quát N(J) hàm theo biến nguyên biểu thị số người có số tuổi J Sự phân bố biểu diễn đồ thị (Hình 3.1) sau

Khi nói đến tốn phân bố ta xét đến khả chọn lựa biến cố bất kỳ, toán khả chọn người có số tuổi J Muốn tính khả nầy ta phải biết:

1.Bài toán mở đầu

Page of 29

Giả sử ta tính xác tuổi người theo ngày tháng năm gi sinh: Trong toán (J) biến số dương liên tục, viết (x) Hàm phân bố số tuổi viết lại P(x) xác suất tìm xác người có tuổi x phịng họp P(x) thường gọi mật độ xác suất Trong trường hợp tổng quát biến x biến thực

Xác suất tìm số người có tuổi khoảng x+dx là:

Theo giả thuyết Broglie hạt vi mơ ngồi tính hạt cịn có tính sóng, v ta thử mơ tả hạt vi mơ sóng ý định người sáng l môn học học lượng tử

II HÀM SÓNG (WAVE FUCTION)

Biểu thức

Ở ta dùng hàm phức có dạng:

thay cho hàm thực để mô tả trạng thái chuyển động hạt, nhà vật lý cho r sóng Broglie dao động phức tạp Hàm sóng phức giúp ta biết trạng thái vi mô c hạt chuyển động với vận tốc lớn khó xác định gía trị xác vận t

Xét chùm hạt phôton chuyển động không gian qua phần tử có th (V bao quanh điểm M Theo thuyết sóng ánh sáng cường độ sáng tạ với bình phương biên độ biểu thức dao động sóng:

Ý nghiã

Khi tìm hạt tồn khơng gian mà hạt cư trú, ta chắn tìm thấy hạt, nghiã xác suất tìm thấy hạt tồn không gian hạt cư trú

Phương trình 3.22 gọi điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

Như hàm sóng cho hạt chuyển động ( ta mượn biểu thức từ truyền sóng khơng gian hàm sóng nầy khơng mơ tả dao động thực mà cho ta xác suất tìm hạt trạng thái Nói cách khác hàm sóng ( viết cho hạt mang tính thống kê

Hàm sóng phải thoả mản điều kiện sau đây:

1- Giới nội Nếu hàm sóng khơng giới nội tích phân (3.21) phân kỳ thuẩn với ý nghĩa xác suất

2- Ðơn trị Nếu hàm sóng khơng đơn trị ứng với trạng thái có nhiều xác su tìm thấy hạt khác Ðiều mâu thuẩn với lý thuyết xác suất

Điều kiện chuẩn hóa

Điều kiện hàm sóng

3- Liên tục Ðiều nầy xác suất thay đổi cách nhảy vọt 4- Ðạo hàm bậc hàm sóng phải liên tục (sẽ đề cập phần sau)

Biểu thức 3.25 chứng tỏ vận tốc u lớn vận tốc ánh sáng điều nầy có nghiã v tốc pha vận tốc truyền hạt hay truyền lượng

Cơ học lượng tử cho chuyển động hạt ứng với sóng sắc riêng biệt mà ứng với tập hợp sóng có bước sóng gần (Ðiều nầy nhi electron chứng tỏ vân nhiễu xạ có độ rộng định khơng phải m mảnh) Vậy nhiễu xạ tạo sóng mà nhiều sóng có bước sóng g

Bó sóng gì: Một tập hợp gồm nhiều sóng có bước sóng gần Biên bó sóng tổng hợp biên độ sóng thành phần; cịn hàm sóng mơ tả cho bó sóng là: Quan hệ sóng Broglie hạt chuyển động

Tốn tử gì:

Tốn tử ánh xạ tác dụng lên hàm biến hàm thành m hàm khác:

III TOÁN TỬ (OPERATOR)

Khái niệm toán tử

trong a gía trị mà ta gọi trị riêng ứng với hàm riêng Nh ta tác dụng tốn tử lên hàm riêng ta hàm riêng nhân với tr tương ứng với hàm riêng Trị riêng tốn tử lấy giá trị gián đ gía trị liên tục Số lượng trị riêng tốn tử hữu hạn vô hạn Hàm riêng trị riêng toán tử:

a-Biến số động lực học: Các nhà sáng lập học lượng tử cho học cổ điển trạng thái hệ xác định tập hợp biến số toạ độ tốc, xung lượng, lượng học lượng tử trạng thái hệ đặ biến số động lực học tương tự biến số học cổ điển

b- Trong qúa trình sử dụng biến số động lực học người ta phải chấp nhậ tiên đề sau :

Tiên đề 1: Mỗi biến số động lực học biểu diễn toán tử HERMITE có trị riêng số thực mà đo đạc thực nghiệm từ biến số đại lượng vật lý c tương ứng Ví dụ tốn tử lượng có phổ trị riêng gía trị lượng đ nghiệm

Tiên đề 2: Hệ thức toán tử học lượng tử có dạng giống hệt nh biến số đại lượng học cổ điển tương ứng

Sau ta giới thiệu số tốn tử thơng dụng học lượng tử : Các toán tử học lượng tử

Nhắc lại hàm sóng Broglie cho hạt chuyển động tự có lượ xung lượng P là:

Tóm lại phương trình Schrodinger mơ tả vận động vi hạt có vai trị gi như phương trình định luật II Newton học cổ điển

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER (SCHRODINGER EQUATION)

thể nhận gía trị gián đoạn (gía trị tỷ lệ với bình phương số nguyên) Ta có thể xác định số A nghiệm (3.51) điều kiện chuẩn hóa:

Xét hạt có khối lượng m chuyển động trục x chịu tác dụng m F tỷ lệ với x trái dấu với x Theo học cổ điển hạt dao động quanh vi trí cân b x=0 ta gọi dao động tử điều hịa Phương trình dao động tử điều hoà theo học cổ điển là:

VII HIỆU ỨNG ÐƯỜNG NGẦM

Hệ số phản xạ hệ số truyền qua

Hệ số phản xạ R: tỷ số bình phương biên độ sóng phản xạ rào th bình phương biên độ sóng tới hàng rào Nếu xét phương diện ánh sáng h số phản xạ tỷ số mật độ phôtôn phản xạ mật độ phôtôn tới đơ

gian

Hệ số truyền qua D: tỷ số bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào bình phương biên độ sóng tới hàng rào Nếu xét phương di sáng hệ số truyền qua tỷ số mật độ phôtôn truyền qua hàng rào mậ phôtôn tới đơn vị thời gian

Theo định luật bảo tồn lượng thì:

R+D =1 3.86

Ta tính hệ số truyền qua hàng rào D tỷ số bình phương biên độ sóng qua hàng rào bình phương biên độ sóng tới hàng rào:

Hiệu ứng đường ngầm xảy kích thước vi mơ Nghĩa hệ s

qua D đáng kể độ rộng hố a nhỏ, hạt thể tính chất sóng c vi hạt điều khơng thể có với hạt vĩ mơ

Hiệu ứng đường ngầm nầy cho phép ta giải thích nhiều tượng t như tượng phát electron kim loại mà không cần cung cấp nhiệt lượng Ng ta thường gọi phát xạ elctron lạnh Muốn electron thoát khỏi bề mặt kim lo ta cần nung nóng kim loại để có đủ lượng thắng công cản mà vượt qua hàng rào Tuy nhiên hiệu ứng đường ngầm nên nhiệt độ phịng bình th

1 Theo giả thuyết Broglie hạt sóng:

a) Hạt vi mơ có tính chất sóng tính chất hạt BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM

d) Tất ý

4 Hàm sóng hạt vi mơ (vi hạt) biểu diễn hàm phức vì: a) Hàm phức xác định quỹ đạo hạt chuyển động

b) Hàm phức xác định tọa độ vận tốc hạt chuyển động. c) Bình phương biên độ hàm sóng mật độ xác suất tìm thấy hạt d) Trạng thái vi hạt trạng thái ảo, khơng có thật

5 Các điều kiện hàm sóng cho vi hạt là: a) Giới nội

b) Ðạo hàm theo biến, theo bậc liên tục c) Ðơn trị

d) Ðơn trị, giới nội có đạo hàm bậc theo biến không gian liên t

6 Ý nghĩa điều kiện chuẩn hoá hàm sóng là:

a) Xác suất tìm hạt vùngü không gian hạt tồn m b) Xác suất tìm hạt đơn vị thể tích

c) Xác suất tìm hạt đơn vị thời gian

d) Không thể xác định xác quỹ đạo vi hạt mà phải dùng khái ni đám mây điện tử

c) Vận tốc pha nhỏ vận tốc ánh sáng chân không d) Vận tốc pha lớn vận tốc ánh sáng chân không e) Câu b câu d

21 Trong toán dao động tử điều hòa:

a) Năng lượng dao động độ không tuyệt đối khác không b) Ở độ khơng tuyệt đối khơng có suy biến mức lượng c) Năng lượng hạt vi mô dao động không đổi

e) Các câu a, b, d

22 Hiệu ứng đường ngầm dùng để giải thích: a) Phản ứng nhiệt hạch

b) Sự phát xạ điều kiện thường e kim loại c) Hiện tượng quang điện

d) Hiện tượng phát tia X

23 Theo toán Hiệu ứng đường ngầm:

a) Tổng Hệ số phản xạ hệ số truyền qua

b) Khơng có phản hồi sóng sóng truyền xa vơ c) Cường độ sóng truyền tỉ lệ mật độ hạt phôrôn

d) Dù lượng vi hạt có nhỏ hàng rào vẫ một số hạt xuyên qua hàng rào

24 Hệ số truyền qua vi hạt Hiệu ứng đường ngầm phụ thuộc: a) Bán kính vi hạt

b) Năng lượng hàng rào c) Khối lượng vi hạt d) Vận tốc vi hạt e) Tất yếu tố