Chủ đề : TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG Phần I: NGUYÊN HÀM A) TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Bảng nguyên hàm bản: Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp dx x  C Nguyên hàm hàm số hợp kdx kx  C du u  C x  1 x  dx   C  1  1 dx ln x  C  x 0  x Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản u  1 u  du   C  1  1 du ln u  C  u 0  u  1    ax  b    ax  b  dx    dx ax  b  a ln ax  b  C  x 0 e x dx e x  C e u du e u  C ax au  C   a 1 a u dx   C   a 1 ln a ln a a e ax b  1  C  1 dx  e ax b  C a a mx+n + C ( < a ¹ 1) m ln a  mx +n ị a dx = cos xdx sin x  C cos udu sin u  C cos ax  b dx  a sin  ax  b   C sin xdx  sin udu  sin  ax  b  dx  a x dx   cos x sin x cos x  C dx tan x  C cos dx  cot x  C sin u u cos u  C 1 cos ax  b   C a 1 dx  tan  ax  b   C a cos  ax  b  du tan u  C  du  cot u  C sin  ax  b  dx  cot  ax  b   C a tan xdx  ln cos x  c cot xdx ln sin x  c 2) Các tính chất nguyên hàm: Cho hàm số f(x) g(x) có nguyên hàm Khi  k f ( x)dx  k f ( x)dx  [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx ( k số) 3) Các phương pháp tìm nguyên hàm: a) Nguyên hàm phần ò udv = uv - ò vdu b) Phương pháp đổi biến ò f [u( x )]u '( x )dx = ò f (u)du B MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu 1) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a * sin2a = 2sina.cosa b) Công thức hạ bậc: * cos2a =  cos 2a * sin2a =  cos 2a c) Cơng thức biến đổi tích thành tổng: * sin a.cos b   sin(a  b)  sin(a  b)  * sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  * cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b)  2) Các công thức lũy thừa bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : * n a a n m n * a0 = 1; a1 = a ; a-n = an *  a.b  a na  b b a a    a  *  a  a  a a  a b ;     b b  n * a a  a   ;   n * n a n b  n a.b ; a m a n  3) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) *  a b  a 2ab  b2 * a b3 (a b)(a a.b  b ) *  a b  a 3a 2b  3ab b3 C LUYỆN TẬP: Nguyên hàm hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ: 1.1 Ví dụ: Tìm họ ngun hàm sau: a) (3x  2)( x  1)dx b) (2 x  3) dx c) 3x  dx d)  x a) (3x  2)( x  1)dx  x  1 e)  x GIẢI b) ( x  2) xdx x2  5x  dx f)  x2 dx (2 x  3) dx Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu c) e) ( x  2)  x  1  x xdx d) 3x  dx x  x2  5x  dx f)  x2 dx 1.2 Bài tập: Tìm họ nguyên hàm sau: a) ( x  2) ( x  1)dx b) (5 x  2) dx d) 4x  2 x  dx  x  5 e)  x Nguyên hàm hàm số lượng giác: 2.1 Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm sau: a) sin xdx b) sin x cos3 xdx a) sin xdx c) sin3x sin xdx d) cos x cos5 xdx g) sin x cos xdx (2  x) ( x  1)dx f)  x  2x2  x dx dx cos x sin x.cos x dx h) sin x cos xdx e) c) f) sin3x sin xdx tan xdx i)   2sin x cos xdx c) GIẢI b) sin x cos3 xdx d) cos x cos5 xdx Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu e) cos x sin x.cos x dx g) sin i)   2sin x cos xdx x cos xdx f) tan xdx h) sin x cos xdx 2.2 Bài tập: Tìm họ nguyên hàm sau: 2 a) cos 2xdx b) cos x.sin3xdx d) tan x  dx cos x  e) sin x 1  cos Nguyên hàm hàm số mũ, logarit: 3.1 Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm sau: x a) e dx b) c) ln x   x dx x dx 1  e d)  dx x.cos x dx f)  (sin x  cos x) c) x sin dx 3ln x  dx x GIẢI a) c) e  x dx 3ln x  dx x b) 1  e d)  x dx log x  dx x Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu 3.2 Bài tập: Tìm họ nguyên hàm sau: x 3 x a) (e  e )dx b)  x dx d) 4ln x  dx x  e 1 ln x  dx e)  x e f)  c) ( x  2)sin f) x cos2 x dx c) (3  x)cos f) 3 x sin x dx Phương pháp nguyên hàm phần: 4.1 Ví dụ: Tìm họ ngun hàm sau: x a) (3x  2)e dx b) (2 x  3) cos xdx d) ( x  2)ln xdx (3x  2)e dx c) ( x  2)sin e) x ln x 2 ln x  x dx GIẢI b) x a) e) xdx dx ln x  x  1 dx e) x xdx (2 x  3) cos xdx d) ( x  2)ln xdx f) cos x x dx 4.2 Bài tập: Tìm họ nguyên hàm sau: 6x a) (3x  2)e dx b) (5 x  2)sin10 xdx d) dx  e x 2ln x  dx x c) (2 x  3) ln xdx xdx Tìm ngun hàm có điều kiện: 5.1: Ví dụ: Cho hàm số f(x)= (2 x  1)5 ( x  3) Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F(0) = Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu Giải 5.2 Bài tập: 1) Cho hàm số f(x)= sin 2x Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F(0) = 2) Cho hàm số f(x)= e x Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F(0) = 3) Cho hàm số f ( x)  x 1 Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F(0) = x  x 3 4) Cho hàm số f ( x) (2 x  1) x  x  Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F(0) = Phần II: TÍCH PHÂN A) TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa : b  f ( x)dx F (b)  F (a) a đó, F(x) nguyên hàm f(x) K chứa [a; b] Tính chất : Với f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có: 1) 3) 5) ò a a f ( x )dx = b c c a b a  f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx ò a b ò 2) a b ò 4) b a f ( x )dx =- ò b a f ( x )dx b b [ f (x ) ± g( x )]dx = ò f (x )dx ± ò g(x )dx a a b k f ( x )dx = k ò f ( x )dx ; k  R a Các phương pháp tính tích phân u (b) b  f  u ( x) u '( x)dx   f (u )du a Phương pháp đổi biến: a u ( a) b b b u( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)  |a  v( x)u '( x)dx b Phương pháp tích phân phần: a a B) LUYỆN TẬP 1) Tính tích phân định nghĩa: 1.1 Ví dụ: Tính tích phân sau: a) ( x 1) dx b) (2 x - 3)( x - x  1)dx c) x e (3e x -1) dx Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu d)   (2sin x - cos x)dx - e)   (sin x  )dx cos x f)   cos x(1  tan x)dx 1.2 Bài tập: Tính tích phân sau: a) (3x  4)dx 3x  x 1 x dx  1- sin x dx g)  sin x d) j)   tan xdx b)  x( x -1)dx c) -2 x2  4x 1 x dx  cos x h) 2 dx sin x  cos x  dx k) 4 2 cos x sin x e) f) i) x ( x - 2e )dx ( x - e )dx x   cos x dx l) 2) Tính tích phân phương pháp đổi biến số: 2.1 Ví dụ: Bài 1: Tính tích phân sau: a)  sin x cos xdx b)    cos3 x dx sin x 3x 1 dx c)  x  x2 d) 2 x x  1dx Bài 2: Tính tích phân: a) ò - 1 - x dx b) ò1 + x dx Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu 2.2 Bài tập: Tính tích phân sau a)   (1  sin x) cos xdx b) d) 5x x -1dx e)  4x  x2 ò - x2 - òx - 1 )dx sin x dx x2  x i)  cot x(1  f)   x g) 2 3x 1 x  dx x -1 dx - x 6 c) òx 2 - x dx - h) òx - dx dx +4 dx +2x +2 3) Phương pháp tích phân phần 3.1 Ví dụ: Tính tích phân sau a)   x sin xdx b) x  xe dx e c)  x ln xdx c)  x sin 3.2 Bài tập: Tính tích phân sau a) d) g)   x cos xdx   x cos xdx ;  x cos xdx b) e) h)      ( x 1)sin 3xdx  xdx sin x x f) sin xdx i)   xdx  cos e ln xdx 2 x xdx 4) Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 4.1 Ví dụ: Tính tích phân sau: a) ị x dx - b) òx - dx Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu 4.2 Bài tập: Tính tích phân sau: a) ò x + dx òx b) - 3 d) ò 2 - dx c) - x - x + 4dx p e) ò ò éëx - + x +1 ùûdx - e ò ln x dx f) - sin 2xdx e 5) Bài tập tổng hợp: Tính tích phân sau: a) I = ò p x dx 1+ x - b) I = - 2sin x dx ò + sin x e c) I = ò p + 3ln x ln x dx x d) I = ò p f) I = ò + 3cos x dx x x2 + p ) h) I = ò sin x + 2(1 + sin x + cos x) dx sin( x - ò( x - 2x 2)e dx j) I = k) I = dx p g) I = tan x dx ò cos2 x i) ( sin x + cos x ) e) I = s in2x + sin x dx ò p ò ò ln( x - x )dx ln x dx x3 l) I = p ò (e sin x - cos x )cos xdx p ( x - 1)e dx m) I = ò x x n) I = ò sin x dx sin x + cos x Phần III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG a Hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành đường thẳng x a, x b b S | f ( x ) | dx a b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng x a, x b là: b S | f ( x)  g ( x) | dx a THEÅ TÍCH CỦA VẬT THỂ Tl ơn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu a Hàm số y  f ( x) liên tục, không âm đoạn  a; b Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x a, x b , quay quanh trục hồnh tạo nên khối trịn xoay tích là: b V   f ( x)dx a b Hàm số x g ( y ) liên tục, không âm đoạn  c; d  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x g ( y ) , trục tung hai đường thẳng y c, y d , quay quanh trục tung tạo nên khối trịn xoay tích là: b V   g ( x)dy a B LUYỆN TẬP Diện tích hình phẳng: 1.1 Ví dụ: Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 2x, trục Ox, đường thẳng x = -1, x = GIẢI Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y = - x với đường thẳng (d): y = x GIẢI 1.2 Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = + sin2x, trục Ox,  trục Oy đường thẳng x = Bi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng : y x x  3, y  x  x2 x2 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y   , y  4 Bài 4: Cho hàm số y =  x  1 tuyến A(0,1) (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) tiếp Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu 10 Bài Cho hàm số y = 3x  (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) 2x  trục Ox; Oy đường thẳng x = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (C): y  x đường thẳng (d): x + y - = ; y = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (P): y = x - 2x + ;tiếp tuyến (d) điểm M(3;5) Oy Bài Cho hàm số y = 3x  (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) ; tiệm cận x x = ; x= Thể tích khối trịn xoay 2.1 Ví dụ Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường y = 2x - x2 , y = ta quay quanh trục Ox Bài Tính thể tích vật trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường y = cos2x , y = 0, x = 0, 3 x= quay quanh trục Ox 2.2 Bài tập Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: 1) y = x3, y = 0, x = 0, x = 2) y = -3x2 + 3x + 6, y = Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành hình phẳng (D) giới hạn : y = x -1, y = 0, x = ta quay quanh (D) quanh Ox Bài TÝnh thÓ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox đờng y sin x, x 0, x  Bµi Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành hình phẳng (D) giới hạn : x y  xe , trục Oy, đường thẳng x = y = ( x 1 ) ta quay quanh (D) quanh Ox Bµi Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành hình phẳng (D) giới hạn y ln x , x = y = ta quay quanh (D) quanh Ox Tl ôn thi 2011-GV: Bùi Phú Hữu 11 ... 4) Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 4.1 Ví dụ: Tính tích phân sau: a) ị x dx - b) òx - dx Tl ôn thi 201 1- GV: Bùi Phú Hữu 4.2 Bài tập: Tính tích phân sau: a) ò x + dx òx b) - 3... Phương pháp tích phân phần: a a B) LUYỆN TẬP 1) Tính tích phân định nghĩa: 1.1 Ví dụ: Tính tích phân sau: a) ( x 1) dx b) (2 x - 3)( x - x  1)dx c) x e (3e x -1 ) dx Tl ôn thi 201 1- GV: Bùi Phú... Tính tích phân sau: a)  sin x cos xdx b)    cos3 x dx sin x 3x 1 dx c)  x  x2 d) 2 x x  1dx Bài 2: Tính tích phân: a) ò - 1 - x dx b) ò1 + x dx Tl ôn thi 201 1- GV: Bùi Phú Hữu 2.2 Bài