De thi va dap an HSG toan 6

TÝnh tæng sè dông cô.. thªm 15 chiÕc.[r]

§Ị thi häc sinh giái líp 6§Ị thi häc sinh giái líp 6

( Thời gian 120 phút (không kể thời gian chép đề) ( Thời gian 120 phút (khơng kể thời gian chép đề)

C©u

Câu : (2 điểm) : (2 điểm)

Tìm hai số tự nhiên chia hết cho biết :Tìm hai số tự nhiên chia hết cho biÕt r»ng :

a.Tỉng cđa chóng lµ *657 vµ hiƯu cđa chóng lµ 5*91a.Tỉng cđa chóng lµ *657 vµ hiƯu cđa chóng lµ 5*91

b.Tổng chúng 523* số lớn gấp đôi số béb.Tổng chúng 523* số lớn gấp đôi số

Câu2:

Câu2: (2 điểm)(2 điểm)

Cho S = +

Cho S = + 222 + 2 + 233 + 2 + 244 + +……+ 2+ 2100100

a.Chøng minh S a.Chøng minh S  3

b Chøng minh S b Chứng minh S 1515

c Tìm chữ số tận Sc Tìm chữ số tận S

Câu3

Câu3 : (2 điểm) : (2 điểm)

Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 101 làm thành số AViết dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến 101 làm thành số A

a.a A có hợp số đA có hợp số đợc không? ợc không?

b.b A có số phA có số phơng đơng đợc khơng?ợc khơng?

c.c A cã thĨ cã 35 A cã thĨ cã 35 íc sè kh«ng?íc sè không?

Câu

Câu :(1 điểm) :(1 ®iĨm)

Tìm số tự nhiên n để 5n + 8n + hai số nguyên tố

Tìm số tự nhiên n để 5n + 8n + hai số nguyên tố

C©u

C©u : (2 ®iĨm) : (2 ®iĨm)

Tìm số có chữ số biết viết thêm chữ số vào đằng tr

Tìm số có chữ số biết viết thêm chữ số vào đằng trớc đớc đ-

-ợc số gấp lần viết thêm chữ số vào đằng sau?

ợc số gấp lần viết thêm chữ số vào đằng sau?

C©u

Câu : (1 điểm) : (1 điểm)

Cho AB = 2cm ; BC = 3cm ; CA = 4cm Chøng minh r»ng ba ®iĨm A , B , C

Cho AB = 2cm ; BC = 3cm ; CA = 4cm Chøng minh r»ng ba điểm A , B , C

không thẳng hàng

không thẳng hàng

Đáp án : Đáp án : Câu

Câu :(2 điểm) :(2 điểm)

a.(1điểm) Vì hai số tự nhiên cần tìm chia hết tổng hiệu

a.(1điểm) Vì hai số tự nhiên cần tìm chia hết tỉng vµ hiƯu cđa

số số chia hết cho

số số chia hết cho

-V× *657

-V× *657  nªn *+6+5+7 nªn *+6+5+7  nªn 18 + * nªn 18 + *  VËy * = nên tổng 9657 Vậy * = nên tổng 9657

-Vì 5*91

-Vì 5*91 nên 5+*+9+1 nên 5+*+9+1 nên 15+ * nªn 15+ *  VËy * = nên hiệu 5391 Vậy * = nên hiệu 5391

Sè lín lµ : 9657 – 2133 = 7524Sè lín lµ : 9657 – 2133 = 7524

b (1 điểm) Vì hai số tự nhiên cần tìm chia hÕt cho nªn tỉng chia hÕt cho

b (1 điểm) Vì hai số tự nhiên cần tìm chia hÕt cho nªn tỉng chia hÕt cho

V× 523*

Vì 523*  nên 5+3+2+* nên 5+3+2+*  nên 10 + * nên 10 + *  * = nên tổng 5238 * = nên tổng 5238 Ta có sơ đồ :Ta có sơ đồ :

Sè bÐ Sè bÐ ……

Sè lín Sè lín …………

Sè bÐ lµ : 5328 : (1+2) = 1776Sè bÐ lµ : 5328 : (1+2) = 1776

Sè lín lµ : 5328 – 1776 = 3552Sè lín lµ : 5328 – 1776 = 3552

Câu

Câu : (2 điểm) : (2 ®iĨm)

a.(1 ®iĨm) S = 2+2

a.(1 ®iĨm) S = 2+222+2+233+2+244++……+2+2100100

=(2+2=(2+222)+(2)+(233+2+244)+(2)+(255+2+266)+)+……+(2+(29999+2+2100100))

=(2+2=(2+222)+2)+222(2+2(2+222)+2)+244(2+2(2+222)+)+……+2+29898(2+2(2+222))

=(2+2=(2+222)(2)(222+2+244+2+266++……+2+29898))

= (2= (222 + 2 + 244 +2 +266 + +……+2+29898) ) 33

b

b ( 0,5 ®iĨm) S = 2+2( 0,5 ®iĨm) S = 2+222+2+233+ + ……+ 2+ 2100100

=(2+2

=(2+233)+(2)+(222+2+244)+)+……+(2+(29898+2+2100100))

=(2+2

=(2+233)+2(2+2)+2(2+233) +) +……+2+29797(2+2(2+233))

=(2+2

=(2+233)(1+2+)(1+2+………….+2.+29797))

=10 (1+2+….+2

=10 (1+2+….+29797) )  5 5

Ta cã tỉng trªn võa chia hÕt cho vừa chia hết cho màTa có tổng vừa chia hÕt cho võa chia hÕt cho mµ

UCLN(3,5) =1 VËy tỉng trªn chia hÕt cho 15

UCLN(3,5) =1 VËy tỉng trªn chia hÕt cho 15

c (0,5 điểm) Vì S = 10 (1+2+ .+

c (0,5 điểm) Vì S = 10 (1+2+ .+ 29797) nên S có chữ số tận 0) nên S có chữ số tận 0

Câu3 :

Câu3 : (2điểm) (2điểm)

a (1 ®iĨm) Ta cã A = 1+2+3+4+… +101 Cã tỉng chữ số (1+2+3+

a (1 điểm) Ta có A = 1+2+3+4+ +101 Có tổng chữ số lµ (1+2+3+…

+9) + (1+2+3+…+10)+(2+3+4+…+11) +…+(9+10+11+…+18) +1+2 = 903

+9) + (1+2+3+…+10)+(2+3+4+…+11) +…+(9+10+11+…+18) +1+2 = 903

chia hết cho A hợp số

chia hết cho A hợp số

b ( 0,5 điểm) Vì 903 chia hết cho mà kh«ng chia hÕt cho vËy A kh«ng

b ( 0,5 điểm) Vì 903 chia hết cho mà không chia hết cho A không

phải số ph

phải số phơngơng

c ( 0,5 điểm) Vì A số ph

c ( 0,5 điểm) Vì A số phơng nên A lẽ số ơng nên A lẽ số ớc sốớc số

nên A 35

nên A 35 ớc sốớc số

Câu

Câu : (1 điểm) Gọi ƯCLN(5n+6, 8n+7) =D : (1 điểm) Gọi ƯCLN(5n+6, 8n+7) =D

Ta có 5n+6

Ta cã 5n+6  D D  40n+48 40n+48  D D 8n+7 8n+7  D D  40n+ 35 40n+ 35  D D

VËy (40n+48) – ( 40n+ 35)

VËy (40n+48) – ( 40n+ 35)  D Hay 13 D Hay 13 D nên D = 13 D nên D = 13

*Nếu 8n+7

*NÕu 8n+7  13 th× 40n+35 13 th× 40n+35  13 nªn n+9 chia hÕt cho 13 nªn n+9 = 13 k (k 13 nªn n+9 chia hÕt cho 13 nên n+9 = 13 k (k

là số tự nhiên) n =13k-9 UCLN(5n+6, 8n+7) = 13

là số tự nhiên) n =13k-9 th× UCLN(5n+6, 8n+7) = 13

*NÕu n

*NÕu n  13k – th× 13k – th× ƯƯC LN(5n+6, 8n+7) = 1C LN(5n+6, 8n+7) = 1 Câu5

Câu5 : (2điểm) Gọi số cần tìm : (2điểm) Gọi số cần tìm abcdg

Viết thêm chữ số vào trViết thêm chữ số vào trớc ta đớc ta đợc:ợc:4abcdg

Viết thêm chữ số vào sau ta đViết thêm chữ số vào sau ta đợc:ợc:abcdg4

400000 +

400000 + abcdg = 4.(10 = 4.(10.abcdg+4)+4)

400000 + 400000 + abcdg = 40 = 40 abcdg+ 16+ 16

399984 = 39

399984 = 39 abcdg

abcdg = 39984 : 39 = 39984 : 39 abcdg = 10256 = 10256

Câu

Câu : (1 điểm) : (1 điểm)

Vì +3 Vì +3 4 Nªn AB+ BC 4 Nªn AB+ BC  AC B không nằm A C AC B không nằm A C

Vì 3+4 Vì 3+4 Nên BC+ CA Nªn BC+ CA  AB vËy C không nằm A B AB C không nằm A B Vì 4+2 Vì 4+2 Nªn CA+AB Nªn CA+AB  BC vËy A không nằm B C BC A không nằm B C Nên điểm A, B , C điểm nằm hai điểm lại

Nên điểm A, B , C điểm nằm hai điểm lại

Vậy điểm A , B , C không thẳng hàng

Vậy điểm A , B , C không thẳng hàng

§Ị thi häc sinh giái khối 6Đề thi học sinh giỏi khối 6 Môn: toán Thßi gian 120

§Ị bµi§Ị bµi

bµi

bµi 1: Chøng minh ( 2: Chøng minh ( 21010 + 2 + 21111 + 2 + 212 12 ) ) ⋮ 7 7

Bµi 2: ViÕt 32 thµnh tổng lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp

Bài

Bµi 3: TÝnh: TÝnh A = A = 3× 117 ×

1 119 −

4 117 ×5

upload.123doc.net

119 −

5 117ì

1 119+

8 39 Bài 4: Cho biÓu thøc

A =

A =

229 ×2 433−

1 229×

432 433 −

4 229ì433 a)Bằng cách đặt a =

a)Bằng cách đặt a =

229 , b = , b = 433 Rót gän biĨu thøc A theo a b a)

a) Tính giá trị biểu thức ATính giá trị biểu thức A

b)

b) Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 4545 + 19 + 193030 ) chia hÕt cho 20 ) chia hÕt cho 20

Bài

Bài 6: Tìm số d: Tìm sè d chia 1963 chia 1963 1964 1964 cho 7 cho 7

Bµi

Bài 7: Một xí nghiệp làm số dụng cụ đợt ,đợt làm đ: Một xí nghiệp làm số dụng cụ đợt ,đợt làm đ-

-ỵc

ỵc

3 tổng số dụng cụ , tổng số dụng cụ , đợt làm đđợt làm đợc ợc

4 tỉng sè dơng vµ lµm tỉng sè dụng cụ làm thêm 15 Đợt xí nghiƯp lµm nèt 25 dơng TÝnh tỉng sè dơng cụ

thêm 15 Đợt xí nghiệp làm nèt 25 dơng TÝnh tỉng sè dơng

đáp án đáp án

Câu

Câu 1: (3 điểm): (3 điểm)

Chøng minh: (

Chøng minh: ( 21010 + 2 + 21111 + 2 + 212 12 ) ) ⋮ 77

Ta cã (

Ta cã ( 21010 + 2 + 21111 + 2 + 212 12 ) = ) = 10 10 (1 + +(1 + + 22 2 ) )

mµ

mµ (1 + +(1 + + 22 2 ) ) ⋮ 7 7

do vËy

do 10 10 (1 + +(1 + + 22 2 ) ) ⋮ Do Do

(

( 21010 + 2 + 21111 + 2 + 212 12 ) ) ⋮ ( (đđpcm)pcm)

C©u

C©u 2: (3 điểm) : (3 điểm)

Đặt số tự nhiên thứ a số a + 1, a +

Đặt số tự nhiên thứ a số a + 1, a +

Ta cã: 32 =

Ta cã: 32 = a a + + a+1 a+1 + 2+ 2 a+2 a+2 = 2 = 2aa +2 +2aa + 2 + 2aa 2 222 = =

2

2a a (1 + + 2(1 + + 222 ) = 2 ) = 2a a 77

7 32 =

7 32 = 2a a 7 7  32 = 2 32 = 2a a  a = a =

VËy 32 =

VËy 32 = 5 + + 6 + 2+ 2 7

C©u

C©u 3: TÝnh: TÝnh A= A= 117 ×

1 119−

4 117 5×

upload.123doc.net

119 −

5 117 ×

1 119+

8 39 đặt a =

đặt a =

117 , b = , b = 119 Ta cã:

Ta cã: 3× 117 ×

1 119 −

4 117 ×5

upload.123doc.net

119 −

5 117 ×

1 119+

8 39

=

= 3ab – 4a (5 + - b) – 5ab + 3ab – 4a (5 + - b) – 5ab +

39

= 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + = 3ab – 24 a + 4ab – 5ab +

39 = 2ab – 24a +

= 2ab – 24a +

39 Thay a =

Thay a =

117 , b = , b = 119 ta cã A =

ta cã A = 2×

117 ×

119 −24× 117+

= =

117×119 −

24×119 117×119+

24×119 117×119 = =

2

117ì119 Câu

Câu 4: : A =A =

229 ×2 433−

1 229×

432 433 −

4 229ì433 a) đặt a

a) đặt a

229 , b = , b = 433

Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a

Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a

b) A = 5a =

b) A = 5a =

229= 229

C©u

C©u 5: Chøng minh r»ng (19 : Chøng minh r»ng (19 4545 + 19 + 193030 ) chia hÕt cho 20 ) chia hÕt cho 20

C¸ch 1: ta cã (19

C¸ch 1: ta cã (19 4545 + 19 + 193030 ) = 19 ) = 193030 (19 (191515 +1) +1)

Mµ (19

Mµ (191515 +1) = (BS 19 + 1) chia hÕt cho 20 +1) = (BS 19 + 1) chia hÕt cho 20

Do đó: 19

Do đó: 193030 (19 (191515 +1) chia hết cho 20 +1) chia hết cho 20

Nªn (19

Nªn (19 4545 + 19 + 193030 ) chia hÕt cho 20 ) chia hÕt cho 20

C©u

C©u 6: Ta thÊy 1963 chia cho d: Ta thÊy 1963 chia cho d 3

Do 1963

Do 196319641964 = (BS +3) = (BS +3)19641964 = BS + 3 = BS + 319641964

XÐt sè

XÐt sè 319641964 = 3 = 322 (3 (333))654 654 = (28 – ) = (28 – )654654 = (BS + ) = BS + 2 = (BS + ) = BS + 2

VËy

Vậy 319641964 chia cho d chia cho d 1963 196319641964 chia cho d chia cho d 2 2

C©u

Câu 7: Đặt tổng số dụng cụ xí nghiệp sản xuất a : Đặt tổng số dụng cụ xí nghiệp sản xuất a

Ta có:

Ta cã:

3a + +

4a + 15 + 25 = a + 15 + 25 = a

3a + +

4a + 40 = a + 40 = a

3a + +

4a - a = - 40 - a = - 40 a (

a (

3+

4−1 ) = - 40) = - 40 a (

a ( 4+3−12

12 ) = - 40 ) = - 40 −

12a = - 40 = - 40  a = (- 40) : ( a = (- 40) : ( −

12 ) =96 ) =96 Đáp số