Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải Lời Mở đầu Trong môn toán ở trờng THCS các bài toán về phơng trình ngày càng đợc quan tâm và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ đặc tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng. Phơng trình là một trong những mảng kiến thức cơ bản nhất của toán học bậc THCS vì thông qua các bài tập về phơng trình học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về: - Các phép biến đổi toán học cũng nh một số các tính chất về dấu giá trị tuyệt đối, căn thức bậc hai, tính chất luỹ thừa, tính chia hết Thông qua quá trình giải các dạng bài tập và các phơng pháp giải phơng trình đặc chng, năng lực suy nghĩ độc lập, sáng tạo của học sinh đợc phát triển đa dạng, mạnh mẽ. Đòi hỏi học sinh phải có lối suy nghĩ logic, liền mạch kết hợp giữa các kiến thức cũ và mới một cách linh hoạt và sáng tạo. Với sự nghiên cứu chọn lọc tôi đã phân loại phơng trình và đa ra một số phơng pháp giải phơng trình phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng t duy của học sinh THCS mong muốn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán giải phơng trình. nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 1 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải A. Mục tiêu: * Giúp học sinh: - Nắm chắc các khái niệm phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai, phơng trình bậc cao, phơng trình vô tỷ, phơng trình nghiệm nguyên, các kiến thức cơ bản cũng nh nâng cao mà ta thờng bắt gặp trong bài toán giải phơng trình. - Nắm đợc các phơng pháp giải phơng trình, đặc biệt là một số phơng trình đặc biệt. - Rèn kỹ năng vận dụng giải bài tập có sử dụng bất đẳng thức (dùng bồi dỡng học sinh giỏi) nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 2 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải B. mục lục Nội dung Trang Lời nói đầu 1 Phần I: Phơng trình bậc nhất 4 Khái niệm về phơng trình bậc nhất. Phơng trình bậc nhất một ẩn. 4 Phơng trình chứa ẩn ở mẫu 5 Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 6 Phơng trình bậc cao giải bắng cách đa về phơng trình bậc nhât một ẩn 8 Phần II: Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao 10 Phơng trình bậc hai một ẩn 10 Phơng trình tam thức 12 Phơng trình đối xứng 13 Một số cách giải các phơng trình bậc cao 15 Phơng trình phân thức hữu tỉ 17 Phần III: Phơng trình vô tỉ 20 Phơng pháp nâng lên luỹ thừa 20 Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 21 Phơng pháp đặt ẩn phụ 23 Phơng pháp bất đẳng thức 24 Phần IV: Phơng trình nghiệm nguyên 27 Phơng pháp đa về dạng tích 27 Phơng pháp sắp thứ tụ các ẩn (Các ẩn có vai trò nh nhau) 29 Phơng pháp sử dung dấu hiệu chia hết và chia còn d 32 Phơng pháp sử dụng tính chẵn lẻ 33 Phơng pháp loại trừ hay chặn dần các nghiệm 34 Phơng pháp đa về dạng A 2 + B 2 + C 2 + + = 0 35 Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức 36 Phân phối số tiết cho từng phần Đề mục Số tiết Phần I: Phơng trình bậc nhất 2 Phần II: Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao 5 Phần III: Phơng trình vô tỉ 4 Phần IV: Phơng trình nghiệm nguyên 4 nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 3 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải Phần I Phơng trình bậc nhất một ẩn I. Khái niệm về phơng trình. Phơng trình bậc nhất một ẩn. 1. Ví dụ Ví dụ 1: Giải phơng trình: a 2 x + b = a(x + b) Giải: a 2 x + b = a(x + b) a 2 x + b = ax + ab a 2 x ax = ab -b ax(a 1) = b(a -1) (1) Nếu 1,0 aa thì phơng trình có một nghiệm duy nhất Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x. Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi b = 0, phơng trình vô nghiệm khi 0 b . Ví dụ 2: Giải phơng trình: Giải: Phơng trình trên có hệ số bằng chữ ở mẫu thức. Điều kiện để phơng trình có nghĩa là 1 a . Với điều kiện này, phơng trình đã cho tơng với (a+x)(a+1) (a-x)(a 1) = 3a Sau khi biến đổi ta đợc: 2ax = a (1) Nếu a 0, phơng trrình có nghiệm duy nhất Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x. Kết luận: Nếu 1,0 aa , phơng trình có nghiệm duy nhất Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x Nếu a = 1 , phơng trình vô nghiệm. Bài tập vân dụng Bài 1: Tìm giá trị của m sao cho phơng trình: a) 5(m + 3x)(x + 1) 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2. b) 3(2x + m)(3x + 2) 2(3x + 1) 2 = 43 có nghiệm x = 1. Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) 04 107 309 105 311 103 313 101 315 =+ + + + xxxx nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 4 1 3 11 2 = + + a a a xa a xa a b x = 2 1 = x 2 1 = x Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải b) 0 16 4 1 4 2 = + + + + a ax a ax a ax c) 3 = + + c bax b acx a cbx d) 1 )1(2 1 12 1 1 1 1 4 2 4 = + + a xa a x a x a x II. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức. 1. Ví dụ Ví dụ 3: Giải phơng trình: 116 68 14 2 41 3 2 + + = x x xx Giải: Nghiệm của phơng trình nếu có, phải thoả mãn điều kiện 4 1 x Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với: 3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x) 14x = 7 x = 2 1 Giá trị này thoả mãn điều kiện trên. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2 1 Ví dụ 4: Giải phơng trình: )35)(51( 4 53 2 15 3 = + xxxx Giải: Điều kiện của nghiệm số, nếu có, là 5 3 ; 5 1 xx . Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với: 3(3 5x) + 2(5x 1) = 4 Giải phơng trình này, ta đợc x = 5 3 . Giái trị này không thảo mãn điều kiện. Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. Bài tập vận dụng Bài 3: Giải các phơng trình sau: a) )1( 3 1 1 1 1 2422 ++ = + ++ + xxxxx x xx x b) 168 1 )2(2 1 8 7 84 5 2 + =+ xxx x x xx x c) bxax b b ba bx ba ba a + + = + + 4222 d) )10)(( 10 10 111 ++ = + + + ++ xaxx x ax ax e) 2 4 3 3 = + + x x x ax Bài 4: Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có một nghiệm duy nhất? nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 5 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải 11 1 2 2 2 2 =+ x x a x xax . III. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến. Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau: 1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối: { A A A = 2. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b )0( a : Nhị thức cùng dấu với a khi x > a b , nhị thức trá dấu với a khi x < a b . Chứng minh: Xét a bax + = x + a b . Nếu x > a b thì x + a b > 0, do đó a bax + > 0, tức là ax + b cùng dấu với a. Nếu x < a b thì x + a b < 0, do đó a bax + < 0, tức là ax + b trái dấu với a. => ĐPCM Chú ý rằng a b là nghiệm của nhị thức. Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau: Nhị thức ax + b )0( a cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức . 3. Ví dụ Ví dụ 5: Giải phơng trình: 723 =++ xx Giải: Lập bảng xét dấu ta đợc x -2 3 + x 3 - - 0 + x + 2 - 0 + + Nhìn trên bảng xét dấu ta có: + Nếu x < -2, thì x 3 < 0 => 3 x = 3 x và x + 2 < 0 => 2 + x = -(x + 2), khi đó phơng trình có dạng 3 x x 2 =7 <=> x = -3, thuộc khoảng đang xét. + Nếu 32 x , thì x 3 < 0 => 3 x = 3 x và x + 2 > 0 => 2 + x = x + 2, khi đó phơng trình có dạng 3 x + x + 2 = 7 <=> 0x = 2, phơng trình vô nghiệm + Nếu x > 3, thì x 3 > 0 => 3 x = x 3 và x + 2 > 0 => 2 + x = x + 2, khi đó phơng trình có dạng x 3 + x + 2 = 7 <=> x = 4, thuộc khoảng đang xét. Vậy phơng trình có nghiệm x 1 = -3; x 2 = 4. Ví dụ 6: Giải phơng trình: 594 =+ xx Giải: Cách 1: Lập bảng xét dấu nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 6 Với A 0 Với A < 0 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải x 4 9 + x 4 - 0 + + x 9 - - 0 + Nhì trên bang xét dấu ta có: + Nếu x < 4, thì x 4 < 0 => 4 x = 4 x và x - 9 < 0 => 9 x = 9 x, khi đó phơng trình có dạng 4 x + 9 x = 5 <=> x = 4, không thuộc khoảng đang xét. + Nếu 94 x , thì x 4 > 0 => 4 x = x 4 và x - 9 < 0 => 9 x = 9 - x, khi đó phơng trình có dạng x 4 + 9 - x = 5 <=> 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là 94 x . + Nếu x > 9, thì x 4 > 0 => 4 x = x 4 và x - 9 > 0 => 9 x = x - 9, khi đó phơng trình có dạng x 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, không thuộc khoảng đang xét. Vậy phơng trình có nghiệm là 94 x . Cách 2: Viết phơng trình có dạng 594 =+ xx . Chu ý rằng 5 chính là tổng của x 4 và 9 x. Nh vậy tổng các giá trị tuyệt đối của hai biểu thức bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai biểu thức ấy, điều này chỉ xẩy ra khi (x 4)(9 x) 0. Giải bất phơng trình này ta đợc 94 x . Bài tập vận dụng Bài 5: Giải các phơng trình sau: a) 73 = xx b) xx =+ 53 c) 132 =+ xxx d) 0121 =++ xxx e) 31 +=+ xxxx f) 433221 =+ xxx IV. Phơng trình bậc cao giải bằng cách đa về phơng trình bậc nhất một ẩn Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa về giải các phơng trình bậc nhất một ẩn. 1. Ví dụ Ví dụ 7: Giải phơng trình: (x 1) 3 + x 3 + (x + 1) 3 = (x + 2) 3 Giải: Sau khi biến đổi phơng trình ta đợc. x 3 3x 2 3x 4 = 0 <=> x 3 1 3x 2 -3x 3 = 0 <=> (x 1)(x 2 + x + 1) -3(x 2 + x + 1) = 0 <=> (x 2 + x + 1)(x 4) = 0 Vì x 2 + x + 1 0, nên phơng trình có một nghiệm x = 4. Ví dụ 8: Giải phơng trình: (x + 2)(x 2)(x 2 10) = 72 nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 7 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải Giải: (x 2 4) (x 2 10) = 72 Đặt x 2 7 = y, phơng trình trở thành (y + 3)(y - 3) = 72 <=> y 2 = 81 <=> y = 9 + Với y = 9 ta có x 2 7 = 9 <=> x = 4 + Với y = -9 ta có x 2 7 = - 9 <=> x 2 = -2, vô nghiệm. Vậy phơng trình có nghiệm là x = 4 * Chú ý: Trong cách giải trên ta đã đặt ẩn phụ. Khi giải phơng trình bậc bốn dạng: (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ta thờng đặt ẩn phụ y = x + 2 ba + . Khi giải phơng trình đối xứng bậc chẵn, chẳng hạn ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ta thờng đặt ẩn phụ y = x + x 1 . Ví dụ 9: Giải phơng trình: (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2. Giải: Đặt x + 4 = y, phơng trình trở thành: (y - 1) 4 + (y + 1) 4 = 2. Sau khi biến đổi ta đợc y 2 (y 2 + 6) = 0, do đó y = 0. Vậy x = -4. Ví dụ 10: Giải các phơng trình sau: a) 2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0 b) x 4 3x 3 + 4x 2 3x + 1 = 0. * Nhận xét: Hai phơng trình trên đều là những phơng trình đối xứng(Chú ý các hệ số có tính đối xứng). Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì a 1 cũng là nghiệm. Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1. Ph- ơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ y = x + x 1 . Giải: a) Biến đổi phơng trình thành (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0 Phơng trình có ba nghiệm: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = 2 1 b) Cách 1: Đa phơng trinh về dạng (x 1) 2 (x 2 x + 1) = 0. Phơng trình có một nghiệm x = 1. Cách2: Chia hai vế của phơng trình cho x 2 (Vì x 0)ta đợc: (x 2 + 2 1 x ) 3(x + x 1 ) + 4 = 0. Đặt y = x + x 1 thì x 2 + 2 1 x = y 2 2, ta đợc: y 2 3y + 2 = 0 nên y 1 = 1; y 2 = 2. Với y = 1, ta có x 2 x + 1 = 0, vô nghiệm nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 8 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải Với y = 2 ta có x 2 2x + 1 = 0, nên x = 1. Vậy phơng trình có nghiệm x = 1. Ví dụ 11: Giải phơng trình: x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 Giải: Ta thấy x 1 0 vì x = 1 không nghiệm đúng phơng trình. Nhân hai về của phơng trình với x 1 0 ta đợc x 5 1 = 0 hay x = 1, không thoả mãn điều kiện trên. Vậy phơng trình vô nghiệm Bài tập vận dụng Bài 6:Giải các phơng trình sau: a) x 3 5x 2 + 8x 4 = 0 b) 9ax 3 -18x 2 4ax + 8 = 0 (a là tham số) c) x 3 + x 2 + 4 = 0 d) (x 1) 3 + (x +2) 3 = (2x + 1) 3 Bài 7: Giải các phơng trình bậc bốn: a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12 b) x(x 1)(x + 1)(x + 2) = 24 c) (x 7)(x 5)(x 4)(x 2) = 72 d) (x 1)(x 3)(x + 5)(x + 7) = 297 e) (6x + 7) 2 (3x + 4)(x + 1) = 6 Bài 8: Giải các phơng trình sau: a) (x 2 4) 2 = 8x + 1 b) (x 2 4x) 2 + 2(x 2) 2 = 43 c) (x 2) 4 + (x 6) 4 = 82 d) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 e) 2x 4 + x 3 6x 2 + x + 2= 0 Bài 9: Cho phơng trình x 3 (m 2 m + 7)x 3(m 2 m 2) = 0 a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phơng trình bằng 1 b) Giải phơng trình ứng với các giá trị đó của m. Phần II Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc hai một ẩn. ở phần này tôi xin chỉ đa ra một số bài tập cơ bản và đơn giản mà không nói sâu, tôi xin tập chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) cùng với một số phơng pháp giải. A/ Lý thuyết: 1/ Công thức nghiệm: Cho phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ) (1) Ta có = b 2 4ac ( ' = b 2 ac) (1) vô nghiệm <=> < 0 ( ' < 0) nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 9 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải (1) có nghiệm kép <=> = 0 ( ' = 0) x 1 = x 2 = a b 2 (x 1 = x 2 = a b' ) (1) có hai nghiệm phân biệt <=> > 0 ( ' > 0) x 1 = a b 2 + ( x 1 = a b ' + ) ; x 2 = a b 2 ( x 2 = a b ' ) (1) có nghiệm <=> 0 ( ' 0) 2/ Hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: S = x 1 + x 2 = a b và P = x 1 .x 2 = a c 3/ Hệ quả (nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai): Phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ). - Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x 1 = 1; x 2 = a c - Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x 1 = -1; x 2 = a c 4/ Hệ thức Vi ét đảo: Nếu hai số x, y thoả mãn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phơng trình: X 2 SX + P = 0. ( áp dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phơng trình bậc hai khi khi biết trớc hai nghiệm ) 5/ Chú ý (Điều kiện cần và đủ ): Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0 Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=> { 0 0 > P Để PT (1) có hai nghiệm cùng dơng <=> > > 0 0 0 P S Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm <=> > < 0 0 0 P S B/ Bài tập Bài 1: Cho phơng trình: 2x 2 + mx 5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại. Bài 2: Cho phơng trình: x 2 + 2(m - 1)x 2m +5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: - 1 2 2 1 x x x x + = 2. nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com http://violet.vn/nguyenthanh1981 10 [...]... 2x3 + xy 7 = 0 x(2x2 + y) = 7 = 7.1 = 1.7 = -7 . (-1 ) = -1 . (-7 ) Vì x, y Z => 2x2 + y Z, do đó có 4 trờng hợp xẩy ra Giải 4 trờng hợp đó ta đợc nghiệm của phơng trình là: (1;5); (-1 ;-9 ); (7 ;-9 7); (-7 ;-9 9) Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: xy = x + y Giải: xy = x + y xy x y = 0 xy x y + 1 = 1 (x 1)(y 1) = 1 = 1.1 = -1 . (-1 ) Vì x, y Z => x 1 và y 1 Z nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com... đồng nhất thứ ta có hệ sau: p + r = -4 và s + p + qr = -1 0 và ps + qr = 37 và qs = -1 4 Giải hệ phơng trình này ta đợc p = -5 ; q = 2; s = -7 ; r = 1 do đó phơng trình (7) trở thành: ( x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7 ) = 0 Giải hai phơng trình bậc hai x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x 7 = 0, ta đợc nghiệm của phơng trình (7) là: x 3, 4 = 1 29 2 x1, 2 = 5 17 2 Bài tập vận dụng Bài 18: Giải các phơng trình sau: a)... tích vế trái của phơng trình thành nhân tử, vế phải bằng 0: - x6 + 9x3 8 = 0 nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com 12 http://violet.vn/nguyenthanh1981 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải ( x6 + x3) + (8x3 8) = 0 -x3(x3 - 1) + 8(x3 1) = 0 (x3 - 1) (8 - x3) = 0 Từ đó ta cũng tìm đợc x = 1 hoặc x = 2 Bài tập vận dụng Bài 16: Giải các phơng trình sau: a) x6 7x3 + 6 = 0 b) x8... Chuyên đề bồi dỡng HSG 2 x x 1 2 x2 x x + 2 x 2 =8 x 1 x2 + 2x x x 1 Phơng trình và Phơng pháp giải + - 2x x x 1 =8 2 Đặt y = x2 x2 x 1 2 x 1 = 8 x2 , x 1 ta có phơng trình y2 2y 8 = 0 Giải phơng trình này có nghiệm y = -2 ; y = 4; từ đó suy ra x1 = 2; x2 = -1 + 3 ; x3 = -1 - 3 Vậy phơng trình (9) có nghiệm là: x1 = 2; x2 = -1 + 3 ; x3 = -1 Ví dụ 11: Giải phơng... xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ) Bài tập vận dụng Bài 17: Giải các phơng trình sau: a) x4 + 5x3 12x2 + 5x + 1 = 0 b) 6x4 + 5x3 38x2 + 5x + 6 = 0 c) 6x4 + 7x3 36x2 - 7x + 6 = 0 d) 6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6 = 0 e) x7 2x6 + 3x5 - x4 - x3 + 3x2 - 2x + 1 = 0 VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao ở chơng trình toán sau này chúng...Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải - x1 + x2 + 2x1x2 6 Bài 3: Cho phơng trình: x2 2x + m + 2 a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu? b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn: - x1 + x2 + 2x1x2 6 - x1 + x2 + 4x1x2 = 10 Bài 4: Cho phơng trình: x2 8x + m + 5 = 0 a) Giải phơng trình với m = 2 b)... +1) = 1 3 x(2 x +1) = x x(2x +1) = -x3 x(2x + 1 + x2) = 0 x(x + 1)2 = 0 x1 = 0; x2= -1 Thử lại: - với x1 = 0 thảo mãn (1) - với x2 = -1 không thoả mãn (1), loại Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 0 Nhận xét: 3 (1) 2x +1 + 3 x = 1 (2) (3) (4) nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com 20 http://violet.vn/nguyenthanh1981 Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải Các phơng... 7) = 9 d) (x2 + 5x)2 - 2(x2 + 5x) - 24 = 0 Bài 19: Giải các phơng trình: a) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2 b) (x 2)6 + (x 4)6 = 64 c) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 d) (x 4,5)4 + (x 5,5)4 = 1 Bài 20: Giải phơng trình: nguyenthanhthcsngoclien@gmail.com 16 http://violet.vn/nguyenthanh1981 ; Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải a) (x2 3x + 1)(x2 + 3x + 2)(x2 9x + 20) = -3 0 b) (x2 x + 1)4 6x2(x2... các nghiệm của phơng trình là: (-2 ;2); (1;2); (-2 ;1); (2;1); (-1 ;1); (1 ;-1 ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) (3) Giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (1.x + 1.y + 1.1)2 (12 + 12 + 12)( x2 + y2 + 12) (x + y + 1)2 3(x2 + y2 + 1) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi Vậy nghiệm của phơng trình (3) là: (1;1) Bài tập vận dụng Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của... nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1) Bài 13: Cho phơng trình: x2 2(a 1)x + 2a - 5 = 0 a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < 1 < x1 Bài 14: Cho phơng trình: x2 + (m +1)x + m - 1 = 0 a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12x2 + x1x22 4x1x2 đạt giá trị lớn nhất Bài 15: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: . nghiệm y = -2 ; y = 4; từ đó suy ra x 1 = 2; x 2 = -1 + 3 ; x 3 = -1 - 3 . Vậy phơng trình (9) có nghiệm là: x 1 = 2; x 2 = -1 + 3 ; x 3 = -1 - 3 . Ví dụ. = 0 <=> -x 3 (x 3 - 1) + 8(x 3 1) = 0 <=> (x 3 - 1) (8 - x 3 ) = 0 Từ đó ta cũng tìm đợc x = 1 hoặc x = 2 Bài tập vận dụng Bài 16: Giải các