phuong_phap_hinh_hoc_khong_gian_hoan_chinh.doc

Tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy - CM ba điểm thẳng hàng ta CM chún[r]

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I CƠNG THỨC TÍNH TỐN THƯỜNG DÙNG

1 Hệ thức lượng tam giác vuông *) a2 b2c2

*) c2 a c ' *) a h b c  *) sin cos

b

B C

a

 

*) tan cot

b

B C

a

 

*) b2 a b ' *) h2 b c' ' *) 2

1 1

h b  c *) sin cos

c

C B

a

 

tanC cotB c b

 

2) Hế thức lượng tam giác bất kỳ a) Định lý côsin: a2 b2c2  cosbc A b) Định lý sin: sin sin sin

a b c

R

A  B  C  (R: bán kính dường ngoại tiếp ABC) 3) Cơng thức tính diện tích tam giác

(1):

1 1

2 a b c

S a h  b h  c h

(3): abc S

R 

(5): S p p a p b p c(  )(  )(  )

(2):

1 1

sin sin sin

2 2

S  ab C  bc A ac B

(4): ,

a b c S pr p   

(r: bán kính đường trịn nội tiếp)

Chú ý: Nếu ABC vng A,

S  AB AC

Nếu ABC cạnh a

2 3 3

,

4

a a

S  h 4) Công thức tính diện tích hình khác

a) Hình vng cạnh a: S = a2 b) Hình chữ nhật: S = dài x rộng c) Hình thoi: S = nửa tích hai đường chéo

d) Hình thang: S = [(Đáy lớn + Đáy nhỏ) x Chiều cao] chia e) Hình bình hàng: S = Đáy x Chiều cao

g) Hình trịn: S .R2

h) Tứ giác có hai đường chéo x, y vng góc: 2S = x.y 5) Chú ý:

Đường chéo hình vng cạnh a là: a Đường chéo hình lập phương cạnh a là: a

II) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng tốn 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Cách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Khi giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung

Cách 2: Sử dụng hệ định lí giao tuyến ba mặt phẳng (Định lý 2.SGK.Tr57)

Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

Cách 3: Sử dụng định lí SGK Tr61 hệ nó

- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp(P) mp(Q) chứa a cắt (P) theo giao tuyến b b song song với a

- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng

Cách 4: Sử dụng định lí SGK Tr67.

Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với

*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, là: - Tìm điểm chung hai mặt phẳng

- Các định lí, hệ cách 2, 3, cho ta phương giao tuyến theo đường thẳng Từ xác định giao tuyến

Dạng tốn 2: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng

Tìm giao điểm đường thẳng với đường thẳng nằm mặt phẳng Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy - CM ba điểm thẳng hàng ta CM chúng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

- CM ba đường thẳng đồng quy ta CM giao điểm hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt mà giao tuyến đường thẳng thứ

Dạng toán 4: Tìm thiết diện mặt phẳng hình - Xác định giao tuyến mặt phẳng với mặt hình

- Xác định giao điểm giao tuyến với cạnh hình đến ta thu đa giác khép kin, đa giác khép kín thiết diện

Dạng toán 5: Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (đường trung bình, định lí talét đảo,…)

Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Cách 3: Áp dụng định lí giao tuyến (Cách 2, 3, – Bài toán 1)

Cách 4: CM hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Cách 1: Áp dụng định lí: Đường thẳng d khơng nằm (P) d song song với một đường thẳng d’ nằm (P) d song song với (P)

Cách 2: CM đường không nằm mặt CM đường thẳng mặt phẳng cùng song song vng góc với đường thẳng mặt phẳng

Dạng toán 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách 1: Áp dụng định lí: Một mp(P) chứa hai đường thẳng cắt a, b hai đường thẳng song song với mp(Q) (P) song song với (Q)

Cách 2: CM hai mặt phẳng phân biệt CM hai mặt phẳng song song hoặc vng góc với đường thẳng mặt phẳng

Dạng tốn 8: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Cách 1: ( ) ( ) d P d a a P       

Cách 2: Áp dụng định lí ba đường vng góc: Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P), đường thẳng b nằm (P), a’ h.c.v.g a lên (P)

Khi đó: b a  b a ' Cách 3: / /( ) ( ) a P b a b P     

 Cách 4:

/ / a b d a d b      

Dạng toán 9: Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) Cách 1: Ta CM a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp(P)

Cách 2: / / ( ) ( ) a b P a P b       Cách 3: ( ) / /( ) ( ) ( ) P Q a P a Q      

Cách 4: CM a giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với (P) Cách 5: ( ) ( ) ( ) ( ), P Q a P a Q a

         

Dạng toán 10: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Ta CM mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng

( ) ( ) ( ) ( ) a P P Q a Q      



( ) ( ) b Q b P     

Cách 1: Là góc a hình chiếu a’ a lên (P) Cách 2: Là góc a đường thẳng b, với b//(P)

Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng tù

Dạng tốn 12: Xác định góc hai mặt phẳng (P), (Q) Cách 1: - Xác định giao tuyến d (P) (Q)

- Xác định đường thằng a thỏa mãn: a(P), ad - Xác định đường thẳng b thỏa mãn: b(Q), bd

Khi góc (P) (Q) góc a b

Cách 2: Là góc hai đường thẳng a b, với a(P) b(Q)

Dạng toán 13: Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng - Xác định h.c.v.g điểm lên mp, đường thẳng

- Khoảng cách đoạn nối điểm cho với hình chiếu

Dạng tốn 14: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song - Lấy M thuộc a

- d a P( ,( ))d M P( ,( ))

Dạng toán 15: Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P), (Q) - Lấy M thuốc (P)

- d((P),(Q)) = d(M, (Q))

Dạng toán 16: Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Cách 1:

( )

( , ) ( ,( )) ( ) / /

P b

d a b d a P P a

 

 

 

Cách 2: ( )

( ) ( , ) (( ),( )) ( ) / /( )

P a

Q b d a b d P Q P Q

  

  

  

Cách 3: Xác định độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho a, b chéo

d a M d b N

 

 

  

Dạng tốn 17: Cơng thức tính thể tích khối đa diện 1) Thể tích khối lập phương: V a3 (a kích thước cạnh)

2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c (a, b, c kích thước ba cạnh) 3) Thể tích khối lăng trụ: V B h (B: diện tích đáy, h: chiều cao) 4) Thể tích khối chóp:

1 V  B h

(B: diện tích đáy, h: chiều cao) Dạng tốn 18: Khối trịn xoay

1) Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay: Sxq rl (r: bán kính đường

trong đáy, l: đường sinh) 2) Thể tích khối nón trịn xoay:

2 V  r h

(r: bán kính đường đáy, h: chiều cao)

3) Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay: Sxq 2rl

4) Thể tích khối trụ trịn xoay: V r h2

Dạng toán 19: Khối cầu 1) Diện tích: S 4r2 (r: bán kính mặt cầu)

2) Thể tích:

3 V  r

III CHIỀU CAO CÁC HÌNH CHĨP ĐẶC BIỆT

1) Hình chóp đều: Là hình chóp có cạnh bên đáy đa giác Chân đường cao trùng với tâm đáy

2) Hình chóp có cạnh bên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy

3) Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

4) Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng đáy

5) Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy đường cao nằm giao tuyến hai mp