CH 1: Hệ thức lợng tam giác vuông I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh củng cố kiến thức hệ thức tam giác vuông, tỉ số lợng giác * Rèn luyện kĩ vẽ hình, t tính toán thông qua cá tập phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác học tập, lao động, t độc lập sáng tạo II/ Nội dung: I Kiến thức bản: 1) Các hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông - §Þnh lÝ 1: b2 = a c’ ; c2 = a c - Định lí 2: h2 = b c - Định lí 3: b.c = a.h ` 1 2 - Định lí 4: h = b + c 2) Các hệ thức cạnh góc tam giác vuông b = a.SinB = a.CosC c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB - NÕu biÕt gãc nhän α góc lại 900 - - Nếu biết cạnh tìm tỉ số LG góc Tìm góc cách tra bảng - Dùng hệ thức cạnh góc tam giác vu«n - Tõ hƯ thøc : b = a.SinB = a CosC A b b ⇒ a = SinB = CosC c = a SinC = a CosB b c C C ⇒ a = SinC = CosB B a C 30 VÝ dơ minh ho¹ VÝ dơ1: Cho vuông với cạnh góc vuông có độ dài Khi độ dài cạnh huyền A B C D gía trị khác Ví dụ2: Với đề nh tập kẻ đờng cao ứng với cạnh huyền Khi độ dài đờng cao A 1,3 B C 2,4 D giá trị khác Ví dụ3: Cho có độ dài cạnh nh sau vuông ? A ( 2,3,4) B ( 6,9,10) C ( 7,24,25) D ( 3,5,6 ) ˆ ∆ABC ( A = 1v), AH ⊥ BC ; AB = 6, AC = VÝ dô4: Cho TÝnh AH = ? HB = ? HC = ? A ˆ Theo pi ta go : ∆ ABC ( A = 1v) 2 2 BC = AB + AC = + = 100 = 10 B C H - Tõ ®/lÝ 3: AH BC = AB AC AB AC AH = BC = 10 = 4,8 ⇒ Tõ ®/lÝ 1: AB2 = BC HB AB 62 HB = BC = 10 = 3,6 ⇒ AC2 = BC HC AC 82 HC = BC = 10 = 6,4 ⇒ VÝ dô5: ˆ ∆ABC( A = 1v) ; AH ⊥ BC A GT AH = 16 ; HC = 25 KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ? 16 Híng DÉn ˆ - Pi ta go ∆ AHC ( H = 1v) 2 2 AC = AH + HC = 16 + 25 = Tõ ®/lÝ 1: AC2 = BC.HC ( 29,68) AC 25 BC = HC = 881 = 29,68 −29,68 ≈ 18,99 ⇒ VÝ dô6: ˆ Cho ∆ ABC ( A = 1v) ; AB = ; AC = ˆ B a) TÝnh tỉ số lợng giác C b) Từ KQ ( a) tỉ số lợng giác góc B Híng DÉn ˆ ∆ ABC ( A = 1v) a Theo Pi ta go = 32 + = C H 25 = AB AC AB AC SinC = BC = ; CosC = BC = ; tgC = AC = ; CotgC = AB = Do ˆ B vµ ˆ C 25 A AH 16 HB = HC = 25 = 10,24 AB + AC H ≈ 35,24 ˆ Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v) 2 AB = BC − AC = 35,24 Tõ ®/lÝ 2: AH2 = HB.HC BC = C B lµ hai gãc phơ SinB = cosC = ; cosB = sinC = 4 gB = cotgC = ; cotgB = tgC = ˆ ˆ VÝ dô7: Cho ∆ ABC ( A = 1v) ; AB = ; B = α tg α = 12 TÝnh a) AC = ? b) BC = ? a tg α A AC = AB = 12 AB 6.5 ⇒ AC = AC = 12 = 2,5 (cm) b) Pi ta go ∆ABC ( BC = ˆ A= AB + AC 2 B α C 1v) = + (2,5) = 42,25 = 6,5 (cm) Bài tập nhà : Đơn giản biểu thøc 1) – Sin2 α = ? 2) (1 - cos α ).(1+ cos α ) = ? 3) 1+ sin2 α + cos2 α = ? 4) sin α - sin α cos2 α = ? 5) sin4 α + cos4 α + 2sin2 α cos2 α = ? 6).Không dùng bảng số máy tinh HÃy so s¸nh c¸c tØ sè LG theo thø tù tõ lín ®Õn nhá: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620 Gỵi ý a) sin α + cos2 α = thay vào thu gọn Đs : cos2 b) Dùng A2-B2 gợi ý phần a) Đs : = sin2 α c) §s : = d) đặt thừa số chung Đs : sin3 e) HĐT : ( A+B ) §s: = VÝ dơ8: Tính S hình thang cân Biết hai cạnh đáy 12cm 18cm góc đáy 75 Híng DÉn KỴ AH ; BK ⊥ CD A Ta cã : AB = KH = 12 (cm) B ⇒ DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6 DH = = (cm) AH = DH.tgD = 3,732 = 11,196 ( AB + DC ) AH (12 +18).11,196 2 SABCD = = = 167,94 (cm) VÝ dô9: Cho ∆ ABC cã gãc A = 200 ; AB t¹i P ( h×nh vÏ) H·y t×m a) AP ? ; BP ? b) CP ? ˆ B C H D K = 300 ; AB = 60cm §êng cao kẻ từ C đến AB cắt B 60 Hớng Dẫn A P C a) KỴ AH ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ t¹i H ⇒ AH = AB SinB = 60.Sin30 = 60 = 30 ˆ ∆ AHC ( H = 1v) AH = AC Cos400 AH 30 ⇒ AC = Cos 40 = 0,7660 = 39,164 ˆ ∆ APC cã ( P = 1v) AP = AC.Cos 200 = 39,164 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 B 60 P A C b) ∆ APC ( = 1v) CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394 ˆ P H HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9) Bài 1:Cho tam giác ABC vuông A, đương cao AH Biết AB = 20cm, HC = 9cm Tính độ dài AH Lời giải sơ lược: Đặt BH = x Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vng A, có đường cao AH ta được: 20 B A ? x H C AB2 = BH BC hay 202 = x(x + 9) Thu gọn ta phương trình : x2 + 9x – 400 = Giải phương trình ta x1 = 16; x2 = –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính AH = 12cm Lưu ý : Giải PT bậc nên dùng máy tính để giải cho nhanh Thuộc số ba số Pitago tốt để mau chóng ghi kết qu µ Bài 2: Cho tam giác ABC , B = 60 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ dài cạnh AB Lời giải sơ lược: Kẻ AH ⊥ BC Đặt AB = 2x Từ tính BH = x AH = x ; HC = – x Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vng H Ta có: AC = ( x 3) + ( − x) = A 2x x − 16 x + 64 B x − 16 x + 64 = 12 Do AB + AC = 12 nên 2x + Giải PT ta : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý: Ta tính chu vi tam giác ABC = 20cm 60 ° x C H 8cm Diện tích tam giác ABC = 10 cm Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A có BD phân giác Biết AD = 1cm; BD = 10 cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết dạng số thập phân) A Bài giải sơ lược 1cm D Áp dụng định lí Pitago tính AB = 3cm Đặt BC = x , dùng Pitago tính AC = 10 cm x2 − B x2 − – C Do AD = nên DC = Tam giác ABC có BD phân giác góc ABC nên : AB AD = = x BC DC hay x x − − Từ ta phương trình 8x2 – 6x – 90 = Xử dụng máy tính tìm x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm A Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A; BD phân giác Biết AD = 4cm; 10 BD = 10 cm Tính diện tích tam giác ABC D B x (Nhập kết dạng phân số) - Hướng dẫn: Giải giống Chú ý nhập kết theo yêu cầu Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Bài giải sơ lược: X A B Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền- góc nhọn) X 10 − x Suy : DH = CK = D H 10cm K C C 10 − x x + 10 Vậy HC = HK + CK = x + = Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông A có đường cao AH 10 − x 10 + x ⇔ 5x2 = 100 2 Ta có : AH = DH CH hay Giải phương trình ta x = x = – (loại) x2 = Vậy : AH = Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC Bài giải sơ lược: Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x A Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, + x Từ hai tam giác vuông KBC HAC đồng dạng ta được: 2 2x BC KB = AC AH hay = 15, 62 + x 12 15, 15,6 K 12 Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 Giải phương trình ta nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài 7: Tính giá trị biểu thức : // B H // C 2x A = cos + cos + cos + + cos 87 + cos 88 + cos 89 – 2 2 2 2 Hướng dẫn: α + β = 900 ⇒ sin α = cos β ; cos α = sin β ; cos450 = ta được: A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 2 2 2 2 = (cos + cos 89 ) + (cos + cos 88 ) + +(cos 44 + cos 46 )+cos 45 – 2  2   ÷ ÷  – = (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + + (cos2 440 + sin2440) +  = 1.44 = 44 Bài tập tương tự: Tính giá trị biểu thức sau: a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – b) C = tg210 tg220 tg230 tg2870 tg2880 tg2890 c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm2 Biết AB – BC = 3cm Tính chu vi hình chữ nhật ABCD ? Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) BC = y(cm) với x >y Tính x y suy x A chu vi hình chữ nhật 2(x + y) Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108 108cm 108 cm2 2 Từ x – y = Suy (x – y) = hay (x + y) – 4xy = (1) Thay xy = 108 vào (1) ta (x + y)2 = 441 ⇒ x + y = 21 D B y C Kết hợp với giả thiết x – y = ta kết x = 12 y = Vậy chu vi hình chữ nhật 2(12 + 9) = 42 cm Cách 2: Từ x – y = ⇒ y = x – thay vào đẳng thức x y = 108 ta phương trình: x (x – 3) = 108 ⇔ x2 – 3x – 108 = (1) ⇔ x2 – 12x + 9x – 108 = ⇔ ( x – 12)(x + 9) = Nghiệm dương phương trình x = Từ tìm y trả lời kết Lưu ý: Giải phương trình (1) máy tính để đưa kết nhanh Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vng A có diện tích 504 dm2 Biết AB – AC = 47dm Tính độ dài AB AC Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 x.y = 1008 Từ ta phương trình: x2 – 47x – 1008 = Nghiệm dương máy tính x = 63 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, BC = cm Hình vng ADEF cạnh cm có D ∈ AB , E ∈ BC , F ∈ AC Biết AB > AC S ADEF = 2 Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0) Ta có x + y Hình vng ADEF có cạnh nên S ADEF = S ADEF = S ABC Tính AB ; AC ( 5) = = 45 (1) C S ABC nên SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) E // F = = Mà A D 2 Từ (1) (2) suy ra: (x + y) = 81 (x – y) = Do x > y > nên x + y = x – y = Vậy x = y = Trả lời: AB = (cm) AC = (cm) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC; Gọi I giao điểm đường phân giác , // B · M trung điểm BC Cho biết BIM = 90 Tính BC : AC : AB ? · Hướng dẫn: Chú ý BIM = 90 ; I giao điểm đường phân giác · ta tính DIC = 45 , từ chứng minh BC = 2CD AB = 2AD Xử dụng tính chất đường phân giác BD kết hợp với định lý pitago ta tìm mối quan hệ ba cạnh tam giác Lời giải: Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI I AC A B b D I c // a M // µ µ µ I = B1 + C1 (góc ngồi tam giác BIC) · ABC + · ACB 90 = 450 2 = = (do BI CI phân giác góc B C ∆ ABC µ · vuông A); kết hợp với giả thiết BIM = 90 ta I1 = 45 Vậy ∆ CIM = ∆ CID (g.c.g) ( ) Do : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD (1) AB AD AB BC = = BD phân giác tam giác ABC nên BC DC hay AD CD = Vậy AB = 2AD hay c = 2AD (2) C Từ (1) (2) ta a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) b Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta a – c = (4) 5b 5b 3b Cộng (3) (4) vế theo vế ta 2a = Vậy a = Do c = 5b 3b 5 :b : :1: 4 = 4 = ( ): (1.4) : ( 4) = : : Vậy a : b : c = Trả lời: BC : AC : AB = : : Lưu ý: Bài tốn trích từ Quyển “Nâng cao phát triển Tốn 9- Vũ Hữu Bình” có sửa đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm Bài 11: Tính độ dài cạnh AB tam giác ABC vng A có hai đường trung tuyến AM BN cm cm Hướng dẫn: ⇒ AC = 2y Đặt AB = x ; AN = y Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta A BC = 2AM = 2.6 = 12 cm Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vng ABC ABN vuông A N Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) x2 + y2 = 81 ⇔ y2 = 81 – x2 (2) Thay (2) vào (1) ta phương trình : C B M x2 + 4( 81 – x2 ) = 144 Thu gọn phương trình ta phương trình : 3x2 = 180 / / // // Nghiệm dương phương trình : x = A Trả lời: AB = cm Bài 12: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm Tính cos A Hướng dẫn: Kẻ đường cao AH BK Từ tính chất tam giác cân định lí Pi ta go ta tính CH = 5cm ; AH = 12 cm Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB HCA ta tính 13 50 119 AK 119 119 CK = 13 ⇒ AK = 13 Vậy cos A = AB = 13 : 13 = 169 119 Trả lời: cos A = 169 K B // H // 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG • Hệ thức lượng tam giác vng A- Nhắc lại lí thuyết : Cho tam giác ABC có  = 900, gọi AB = c , AC = b , BC = a Ta có số công thức sau: C A b c h B b2 = ab' c2 = ac' c' C H b' bc = ah h2 = b'c' 1 = + h2 b2 c2 B- Một số tập áp dụng: BT1 : ( SBT Toán Tập )Cạnh huyền tam giác vuông lớn cạnh góc vng cm tổng hai cạnh góc vng lớn cạnh huyền 4cm Hãy tính cạnh góc tam giác này? HD: c-1=a;a+b-c=4; a2+b2=c2 Suy b =5 ; Thay a = c-1 & b =5 → (c-1)2+52=c2 C b a B A c Từ có c = 13cm a = 12 cm BT 2: Cho tam giác ABC vuông A, vẽ đường cao AH Chu vi tam giác ABH 30 cm chu vi tam giác ACH 40 cm Tính chu vi tam giác ABC HD: Gọi chu vi ∆AHB, ∆CHA, ∆CAB p1 ,p2 , p3 A AHB ∼ C B H Suy CHA → AB = AC = p1 p2 BC = & AB AC = = = AHB ∼ CHA ∼ BC CAB Từ tính chu vi ∆ABC 50 cm BT 3: Cho tam giác ABC vng A có dường phân giác AF Biết BD = 3cm, DC = cm Tính cạnh tam giác ABC ? HD: Theo tính chất đường phân giác AB DB AB AC AB AC BC 49 = = suyra = = = = = AC DC 4 16 25 25 Từ tính AB, BC, AC Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = cm BT 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên AB lấy điểm D, AC lấy điểm E Chứng minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 HD: Áp dụng Pytago cho tam giác ADC, ABE C CD2=AD2+AC2 & BE2= AB2+AE2 CD2+BE2=AD2+ AC2+AB2+AE2 ma AC2+AB2=BC2& AD2+AE2=DE2 E D A B BT : Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với AB, AC Chứng minh rằng: FB  AB  A = F ÷ a) FC  AC  b) BC BE CF = AH3 E C B H HD: Hình vẽ bên a) Trong ∆AHB có HB2 = BE BA (1) ; ∆AHC có HC2 = CF CA (2 ) HB BE AB = HC FC AC Trong ∆ABC có :AB2 = BH BC AC2 = HC Từ (1) (2) có : HB AB  HB   AB  = ⇔ ÷ = ÷ HC AC  HC   AC  BC suy EB  AB  = ÷ FC  AC  Vậy BE BH AB AB ∆ABC : ∆EBH → = BH = → BE = BA BC Thay BC BC (3) b) AC CF = BC ( 4) tỪ (3) VÀ (4) Ta có Tương tự ta có AB AC BE CF = BC Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF = AH3 • VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHƠNG VNG A- Lí thuyết Mọi tam giác nhọn vẽ đường cao để tạo tam giác vng Mọi tam giác tù kẻ đường cao để tạo tam giác vuông tam giác vuông Một số công thức cho tam giác khơng vng ( Các kí hiệu tam giác vuông ) 1 +S = bc sin A = ca sinB = ab sin C (1) +S = p ( p − a )( p − b)( p − c) abc +S = R (3) (2) Công thức Heron ; p nửa chu vi tam giác + S = pr (4) Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác + Nếu a2 < b2 + c2 góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều tập ) + a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC +Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH ∆AHB có AH = c.sin B Do diện tích ∆ABC : 1 S = AH BC = c.sinB a = ac sinB Hay S = ac.sinB Đối với góc khác tương tự A b c C B H c BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm a) Chứng minh góc B C nhọn ? b) Tính AB, AC ? Hướng dẫn: A c B b 12cm C H 14cm a) Ta có c > 12 mà c + b = 28 suy b 3) Hai ®êng tròn không giao nhau: a Hai đờng nhau: OO > R + r b Hai đờng tròn ®ùng nhau: OO’ < R – r 3) C¸c VÝ Dụ minh hoạ: Ví dụ1: ABCD hình vuông O giao ®êng chÐo , OA = cm VÏ ( A; ) ®iĨm A,B, C, D , O Điểm năm bên trong, bên ®êng trßn ? Híng DÉn 〈 OA = 2 = R ⇒ O n»m bªn (A) AB = AD = = R ⇒ B , D n»m trªn (A) AC = 2 〉2 = R ⇒ C nằm (A) Ví dụ2: GT KL ABC cân néi tiÕp (O) AH ⊥ BC ; BC= 24; AC = 20 A a) AD đờng kính b) sđ ACD c) AH ? R ? B C H D Hớng Dẫn a) ABC cân A (gt) AH ⊥ BC (gt) ⇒ AH lµ trung trùc cđa BC (1) ⇒ AD lµ trung trùc cđa BC (2) Vì O nằm trung trực BC Nên O nằm trung trực AD Vậy : AD ®êng kÝnh (O) b) ∆ ACD cã CO lµ trung tun øng víi c¹nh AD ⇒ OC = AD BC 24 c) Ta cã : BH = HC = = = 12 ⇒ ACD = 900 ˆ Pi ta go : ∆ AHC( H = 1v) AH2 = AC2 – HC2 = 202 – 122 = 256 ⇒ AH = 256 = 16 §/lÝ 1: b2 = a.b’ AC2 = AD AH ⇒ AC 20 AD = AH = 16 = 25 AD 25 ⇒ R = = = 12,5 VÝ dô3 : Cho (O) cã b¸n kÝnh OA = 3cm ; Dây BC đờng tròn OA trung điểm cđa OA TÝnh BC ? Híng DÉn Gäi H trung điểm OA Có : OH = HA (gt) Và BC OA H OBA cân B OB = BA = R (1) Mà OB = OA = R (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ⇒ OB = BA = OA = R ⇒ OBA HB = OB.Sin O B ˆ O 3 2 H = 60 (®pcm) = 3.Sin60 = A C VËy : BC = 2.BH = =3 (cm) Ví dụ4: Cho nửa (O) đờng kính AB dây E F không cắt đờng kính Gọi I K lần lợt chân đờng kẻ từ A, B ®Õn E F CMR: IE = KF Híng DÉn F H KỴ OH ⊥ E F E Ta có : tứ giác AIKB hình thang OB = OA = R (1) A I K B AI // BK (2) OH đờng trung bình HI = HK (2) Mà HE = H F Đ/lí đờng kính dây cung (3) Từ (1) , (2) (3) ⇒ IE = F K ( ®pcm) VÝ dơ5: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Dây CD , đờng với CD C D t/øng c¾t AB ë M,N CMR: AB = BN Híng DÉn Tõ O kỴ OI ⊥ CD ⇒ IC = ID ( đ/lí đờng kính) Tứ giác CDNM h×nh thang cã IC = ID (1) OI // CM // DN OI đờng TB OM = ON ( 1) mµ OA = OB = R (2) Từ (1) (2) AM = BN (đpcm) C A D H M N B VÝ dô6: Cho (O) , A nằm (O) kẻ tiếp tuyến AM , AN với đờng tròn (M,N tiếp điểm) Chứng minh: OA ⊥ MN VÏ ®êng kÝnh NOC Chøng minh : MC//AO Tính độ dài cạnh AMN biÕt OM = 3cm ; OA = cm Chøng minh: a) Chứng minh: OA MN AMN cân A ( v× MA = NA ; t/c t2 ) OA p/giác A (t/c tiếp tuyến) OA đờng cao nên OA MN b) H giao điểm MN OA Có ON = OC = R HM = NM ( OA lµ trung tuyÕn ) HO đờng trung bình MNC HO // MC Pi ta go ∆ vu«ng AON 2 2 AN = OA − ON = − = 16 = Tõ hƯ thøc lỵng : AN.ON = AO HN Hay : 4.3 = HN 12 ⇒ HN = = 2,4 C M A N Mµ HM = HN ⇒ MN= 2.HN = 2,4 = 4,8 AM = AN = cm VÝ dơ 7: Cho nưa (O) §êng kÝnh AB , qua C nửa đờng tròn Kẻ tiếp tuyến d nửa đờng tròn Gọi E, F lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A B đến d , gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh r»ng a) CE = CF b) AC lµ tia p/gi¸c cđa BAE c) CH2 = AE.BF Chøng minh: a) Ta cã: AE ⊥ d ; BF ⊥ d ⇒ AE // BF Tứ giác AEFB hình thang Mµ : OA = OB = R OC // AE // BF CE = CF ( Đ/ lí đờng TB ) b) ∆ AOC cã : OC = OA = R AOC cân O C1 = A2 ˆ ˆ A1 = C1 ( so le v× AE // OC ) ˆ ˆ ˆ ⇒ A1 = A2 Nên AC phân giác B A C ˆ ˆ c) ∆CAE ( E = 1v) vµ ∆CAH ( H = 1v) cã AC ( c¹nh hun chung ) ˆ ˆ A1 = A2 ⇒ ∆CAE = ∆CAH ⇒ AE = AH T¬ng tù : BF = BH d F C E A H B ∆ABC cã : OC = AB lµ trung tuyÕn AB ACB C Theo hệ thức lợng : CH2 = HA HB = AE BF ( đpcm) Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD trung trực OA a) Tứ giác OCAD hình ? ? b) Kẻ tiếp tuyến với (O) C tiếp tuyến cắt OA I Tính độ dài CI , biÕt OA = R Chøng minh: a) Gäi H giao điểm OA CD C Ta có : OA ⊥ CD ( gt) ⇒ HC = HD ( đ/lí 2) Mà tứ giác OCAD có : OH = HA ( gt) HC = HD ( Cm trên) A OCAD hình bình hành H Mà OA CD OCAD H ình Thoi b) ∆ AOC cã : OC = CA ( c¹nh H Thoi) OC = OA = R D ⇒ OC = CA = OA nên AOC Do : C O A = 600 Mà OCI C v× OC ⊥ CI (gt) CI = OC tg600 = R VÝ dơ 9: Cho I lµ trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ đờng tròn (I ; IA) vµ (B ; BA) a) (I) vµ (B) có vị trí tơng đối nh ? ? b) Kẻ đờng thẳng qua A , căt (I) (B) theo thứ tự M N So sánh độ dµi AM vµ MN ? Chøng minh: N a) IB = BA – IA = R – r nªn (I) (B) tiếp xúc A M b) AMB cã : OA = OB = r nªn MI đờng trung tuyến AB AMB vuông t¹i M ⇒ AMB = 900 A B I ∆ ABN cân B ( BA = BN = R ) Mà Có BM đờng cao , nên ®êng trung tuyÕn ⇒ AM = MN VÝ dô 10: (O) (O) tiếp xúc A Gọi CD tiếp tuyến chung đờng tròn ( C ∈ (O) ; D ∈ (O’) ) a) Tíng sđ góc CAD b) Tính độ dài CD BiÕt OA = 4,5 cm , OA = 2cm C chứng minh: a) Kẻ tiếp tuyến chung A , Cắt CD M Ta có : MA = MC MA = MD ( Theo t/c tiÕp tuyÕn) ⇒ MA = MC = MD M A Nªn ∆ACD có đờng trung tuyến ứng với cạnh CD AM = CD ACD vuông A CAD = 900 b)Ta có MO , M0 làtia phân giác hai gãc kỊ bï AMC vµ AMD ⇒ OMO’ = 900 Nên OMO vuông M Nên MA ®êng cao Theo hƯ thøc lỵng : MA2 = OA.O’A = 4,5 = ⇒ MA = = VËy CD = 2.M = 2.3 = (cm) 15 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN ( TỰ LU Y ỆN) Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác a) Tính số đo góc ABD b) Tứ giác BHCD hình gì? Tại sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH Bài 2: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường trịn điểm D a) AD có phải đường kính đường trịn (O) khơng ? Tại sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH DH D 0' c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường trịn (O) Bài tập Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H Tứ giác ACOD hình gì? Tại sao? Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng A Chứng minh đẳng thức CD2 = AH HB H B Bài tập Hình bên cho biết AB = CD Chứng minh rằng: MH = MK O MB= MD D K Chứng minh tứ giác ABDC hình thang cân C Bài Cho đường trịn đường kính 10 cm, đường thẳng d cách tâm O khoảng cm Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (O) Đường thẳng d cắt đường trịn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB · Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Tính độ dài BC số đo CAB (làm tròn đến độ) Tiếp tuyến đường trịn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN Tính số đo góc BMC BNC Chứng minh AH vng góc BC Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH Bài Cho đường trịn tâm (O;R) đường kính AB điểm M đường tròn cho ˆ MAB = 60 Kẻ dây MN vng góc với AB H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM): Chứng minh MN2 = AH HB Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng Bài Cho đường tròn (O) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường trịn (B tiếp điểm) Tính số đo góc tam giác OAB Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh OA ⊥ BC tính tích OH OA theo R Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 10 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ⊥ AC CF ⊥ AB ( E ∈ AC , F ∈ AB ), BE CF cắt H Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng M Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O) Bài 11 Cho đường tròn (O ; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm).Gọi H giao điểm OA BC Tính độ dài OH Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE Tính số đo góc DOE Bài 12 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By tia vng góc với AB( Ax , By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N Tính số đo góc MON Chứng minh MN = AM + BN Tính tích AM BN theo R (sách tập toán 9- trang 135) Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC Chứng minh AD AB = AE AC Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M; MD) (N; NE) Gọi P trung điểm MN, Q giao điểm DE AH.Giả sửAB = 6cm, AC = cm Tính độ dài PQ Bài 14 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi CD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( với C ∈ (O) D ∈ (O’) ) Tính số đo góc CAD Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = cm Bài 15 Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M thuộc (O) N thuộc (O’) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO’, Q điểm đối xứng với N qua OO’ Chứng minh : MNQP hình thang cân PQ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) (O’) MN + PQ = MP + NQ  ... giao điểm MN vµ OA Cã ON = OC = R HM = NM ( OA lµ trung tuyÕn ) ⇒ HO lµ ®êng trung b×nh ∆ MNC ⇒ HO // MC Pi ta go ∆ vu«ng AON 2 2 AN = OA − ON = − = 16 = Tõ hƯ thøc lỵng : AN .ON = AO HN Hay : 4 .3.. . ⇔ 3+ ) ( ) ( = + ) ) − 2.3 2.2 3.cos750 18 − 3 − = 12 6 Từ có cos75 = • Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác Áp dụng cho hình thang Ta vẽ thêm đường thẳng song song đường thẳng vng góc nhằm tạo... A Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A; BD phân giác Biết AD = 4cm; 10 BD = 10 cm Tính diện tích tam giác ABC D B x (Nhập kết dạng phân số) - Hướng dẫn: Giải giống Chú ý nhập kết theo yêu cầu Bài