Chuyên đề 1: Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị. Chúng ta đã biết với a 0; b 0 thì a + b 2 ab (1) (dấu = xảy ra a = b). Đó là bất đẳng thức Co-si đối với hai số không âm. Bất đẳng thức này còn đợc mở rộng đối với n số không âm: với a 1 ,a 2 ,,a n 0 thì a 1 + a 2 ++ a n n n n aaa . 21 ( dấu = xảy ra a 1 = a 2 = =a n ). Với hai số d- ơng a, b từ bất đẳng thức (1) ta suy ra: Nếu ab= k (không đổi) thì min(a+b) = 2 k (khi và chỉ khi a = b). Nếu a+b = k(không đổi) thì max(ab) = 4 2 k (khi và chỉ khi a = b). Kết quả trên đợc mở rộng đối với n số không âm: Nếu a 1 a 2 a n = k (không đổi) thì Min(a 1 +a 2 ++a n ) = n n k (khi và chỉ khi a 1 =a 2 ==a n ). Nếu a 1 +a 2 ++a n = k (không đổi) thì max(a 1 a 2 a n ) = n n k (khi và chỉ khi a 1 =a 2 ==a n ). Vận dụng bất đẳng thức Cosi ta có thể tìm đợc giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một số biểu thức. Ta hãy bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản. Thí dụ 1: Cho x>0,y>0 thoã mãn điều kiện 2 111 =+ yx .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= yx + . Giải: Vì x>0, y>0 nên 0;0;0 1 ;0 1 >>>> yx yx .Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối với hai số dơng x 1 và y 1 ta đợc + yxyx 11 2 111 suy ra .4 4 11 xy xy Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối với hai số dơng yx, ta đợc: A= 442.2 =+ yxyx (dấu = xảy ra ).4 == yx Vậy min A =4 (khi và chỉ khi x=y= 4). Nhận xét về phơng pháp giải: Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức cosi theo hai chiều ngợc nhau. Lần thứ nhất ta đã làm trội yx 11 bằng cách vận dụng 2 ba ab + để dùng điều kiện tổng 2 111 =+ yx , từ đó đợc .4 xy Lần thứ hai ta đã làm giảm ttổng ( )yx + bằng cách vận dụng bất đẳng thức cosi theo chiều a+b 2 ab để dùng kết quả .4 xy Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi đối với các số trong đề bài.Dới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức cosi rồi tìm cực trị của nó. Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó. Thí dụ2: Tìm gia trị lớn nhất của biểu thức: A= .3753 xx + Giải: ĐKXĐ : 3 7 3 5 x . A 2 = (3x-5) + (7-3x) + 2 )37)(53( xx A 2 4)3753(2 ==+ xx (dấu = xảy ra 3x- 5 = 7- 3x x = 2). Vậy max A 2 = 4 maxA=2 (khi và chỉ khi x=2). Nhận xét về cách giải: Biểu thức A đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức.Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phơng biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần của hai căn thức.Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức cosi: baab + 2 . Biện pháp hai : Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0. Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 5 9 x x A = Giải: ĐKXĐ: x 9 . 30 1 5 3 99 5 3 3 9 2 1 5 3. 3 9 5 9 = + = + = = x x x x x x x x A (dấu bằng xảy ra 183 3 9 == x x ). Vậy maxA= 30 1 (khi và chỉ khi x= 18). Nhận xét về cách giải : Trong cách giải trên, x- 9 đợc biểu diễn thành 3. 3 9 x và ta đã gặp may măn ở chỗ khi vận dụng bất đẳng thức cosi, tích 3. 3 9 x đợc làm trội thành nữa tổng 3 3 3 9 xx =+ có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dới mẫu,kết quả là một hằng số. Con số 3 ở trên tìm đợc bằng cách lấy căn bậc hai của 9,số 9 này có trong đề bài(bạn đọc tự phân tích). Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. 1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau. Thí dụ 4: Cho x 0 ,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . 163 3 4 x x + Giải: A= 8 16 .4 1616 3 4 333 =+++=+ x xxx x xxx x x Dấu bằng xảy ra 3 16 x x = 2= x . Vậy minA = 8(khi và chỉ khi x = 2). Nhận xét : Hai số dơng 3x và 3 16 x có tích không phải là một hằng số.Muốn khử đợc x 3 thì ở tử phải có x 3 = x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x= x+x+x rồi dùng bất đẳng thức cosi với 4 số dơng. 2) Tách một hạng tử cha biết chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có trong biểu thức đã cho(có thể sai khác một hằng số). Thí dụ 5: Cho 0<x<2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= . 2 2 9 xx x + Giải: A= .1 2 2 9 + + x x x x A 71921 2 2 9 2 =+=+ x x x x (dấu = xảy ra 2 12 2 9 = = x x x x x ). Vậy minA = 7 (khi và chỉ khi x= 2 1 Nhận xét về phơng pháp giải: Trong cách giải trên ta đã tách x 2 thành tổng 1 2 + x x .Hạng tử x x 2 nghịch đảo với x x 2 nên khi vận dụng bất đẳng thức cosi ta đợc tích của chúng là một hằng số. Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho. Thí dụ 6: Cho ba số dơng x,y,z thoã mãn điều kiện x+y+z = 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 222 yx z xz y zy x P + + + + + = Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi đối với hai số dơng zy x + 2 và 4 zy + ta đợc: . 2 2.2 4 22 x x a zy zy xzy zy x == + + + + + Tơng tự : y xz xz y + + + 4 2 z xy xy z + + + 4 2 Vậy ( yx z xz y zy x + + + + + 222 ) + zyx zyx ++ ++ 2 P 1 2 )( = ++ ++ zyx zyx (dấu = xảy ra x=y=z= 3 2 ). Vậy minP = 1(khi và chỉ khi x=y=z= 3 2 ). Nhận xét vè phơng pháp giải: Ta đã thêm 4 zy + vào hạng tử thứ nhất zy x + 2 có trong đề bài,để khi vận dụng bất đẳng thức cosi có thể khử đợc (y+z). Cũng nh vậy đối với hạng tử thứ hai và 3 Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1),(2),(3) khi và chỉ khi x=y=z= . 3 2 Nêu ta lần lợt thêm (y+z),(z+x),(x+y) vào yx z xz y zy x +++ 222 ;; thì ta cũng khử đợc (y+z),(z+x),(x+y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc giá trị của x,y,z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm đợc giá trị bé nhất của P. Các bài tâp: Bài 1 : Cho x>0,y>0 và x+y = 2a (a>0). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= yx 11 + . HD: 2 2 axya yx xy = + 2 2 2 a a a xy yx A = + = (dấu = xảy ra )ayx == Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức A= xx + 235 HD: ĐKXĐ: 235 x . maxA 2 = 36 maxA = 6 (khi và chỉ khi x=14). Bài 3: Cho x+y = 15,tìm GTLN,GTNN của biểu thức B = 34 + yx . HD: ).3;1211;4(8min8 .3;4 ===== yhoacxykhixBB yx MaxB 2 = 16 ).7;8(4max === ykhixB Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức A = x xx 2 562 2 + với x> 0. HD: A 3103 2 5 23 2 5 =+= x x x x (dấu = xảy ra 10 2 1 2 5 == x x x Bài 5:Cho a,b,x là những số dơng.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x bxax ))(( ++ . HD: 2 )()(.2)( baba x ab xba x ab xP +=+++++= (dấu = xảy ra abx = ) Bài 6: Cho x 0 ,tìm GTNN của biểu thức )1(2 172 2 + ++ = x xx Q . HD: 4 1 8 2 1 2 1 8 2 1 )1(2 16)1( 2 = + + + + + = + ++ = x x x x x x Q (dấu = xảy ra 3 1 8 2 1 = + = + x x x ). Bài 7: Tìm GTNN của M = 3 346 + ++ x xx HD: Tơng tự bài 6. Ta có kết quả: minM = 10 (khi và chỉ khi x= 4). Bài 8: Cho x>0, tìm GTNN của biểu thức N = x x 2000 3 + . HD: .300100.3 1000 . 1000 .3 100010002000 3 222 ==++=+= xx x xx x x xN (Dấu = xảy ra 10 1000 2 == x x x ). Bài 9: Cho x>0;y>0 và x+y 6 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 1612 35 yx yxP +++= HD: y y x x y y x xyxP 16 2 12 3212) 16 () 12 3()(2 +++++++= 3281212 =++= (dấu = xảy ra x x 12 3 = và 4;2 16 === yx y y Bài 10:Cho x>y và xy=5,tìm GTNN của biểu thức yx yxyx Q ++ = 22 2,1 HD: 8162 16 )( 2,3)(2,1 222 = += + = ++ = yx yx yx xyyx yx yxyx Q (dấu = xảy ra 4 16 = = yx yx yx kết hợp với điều kiện xy=5 ta đợc x=5;y=1 hoặc x=-1;y=-5.) Bài 11:Cho x>1,tìm GTLN của biểu thức 1 25 4 += x xA . HD: 24410.24 1 25 )1(424 1 25 )1(4 1 25 4 =+=+ + += += x x x x x xA Dấu bằng xảy ra 2 7 1 25 )1(4 = = x x x Bài 12: Cho 0<x<1, tìm GTNN của biểu thức xx x B 4 1 3 + = HD: 2 )32(3477 )1(4 1 3 27 )1(4 1 3 +=+=+ + + = x x x x x x x x B Dấu = xảy ra 2 )13( )1(4 1 3 = = x x x x x Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đợc ?7 )1(4 1 34 1 3 + + =+ x x x x xx Ta đặt c x xb x ax xx + + =+ )1(4 1 34 1 3 Sau đó dùng phơng pháp đồng nhất hệ số,tìm đợc a = b =1; c = 2. Bài 13: Cho x,y,z 0 thoã mãn điều kiện x+y+z=a. a) Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+zx; b) Tìm GTNN của biểu thức B= x 2 + y 2 + z 2 . HD: a) 2 ; 2 ; 2 222222 xz zx zy yz yx xy + + + ( ) )(2 ; 2 222 zxyzxyzyxzxyzxy zyxzxyzxy ++++++ ++++ 3 ;3 2 2 a AaA (dấu = xảy ra 3 a zyx === ) c) B= x 2 + y 2 + z 2 = (x+y+z) 2 -2(xy+yz+zx) B = a 2 -2(xy+yz+xz). B min )( xzyzxy ++ max 3 2 a zxyzxy =++ (theo câu a). Lúc đó min B = 33 2 22 2 aa a = (khi và chỉ khi x=y=z= 3 a ). Bài 14: Cho x,y,z là các số dơng thoã mãn điều kiện x+y+z .12 Tìm GTNN của biểu thức P = . x z z y y x ++ HD:áp dụng bất đẳng thức cosi : x yz zyxx z z yx z yx y x 4 . 4 4 222 =+++ y xz xzyy x x zy x zy z y 4 . 4 4 222 =+++ z yx yxzz y y xz y xz x z 4 . 4 4 222 =+++ Do đó P 2 3612.3 )(3)()(4 2 = ++=++++ P zyxzyxzyx Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=4. Vậy minP = 6 (khi và chỉ khi x=y=z=4). Bài 15: Cho x,y,z là các số dơng thoã mãn điều kiện x+y+z =a. Tìm GTNN của biểu thức )1)(1(1 z a y a x a Q ++ += . HD: . 422 1 ; 422 1 ; 422 1 4 22 4 22 4 22 z yxz z yxz z yxzz z a y xzy y xzy y zxyy y a x yzx x yzx x zyxx x a + +++ =+ + +++ =+ + +++ =+ Do đó 64 )(64 4 4 = xyz xyz Q .(dấu = xảy ra 3 a zyx === ). Bài 16: Cho a,b,c là các dơng thoã mãn điều kiện a+b+c = 1. Tìm GTNN của biểu thức A = ( ) . )1)(1)(1( )1)(1(1 cba cba +++ HD: a+b+c =1 .01 >+= cba Tơng tự 1-b>0;1-c>0. Mặt khác 1+a=1+(1-b-c) = (1-b) + (1-c) )1)(1(2 cb Tơng tự, .)1)(1(21;)1)(1(21 baccab ++ Suy ra )1)(1)(1(8)1()1()1(8)1)(1)(1( 222 cbacbacba =+++ 8 )1)(1)(1( )1)(1)(1( +++ = cba cba A . Dấu = xảy ra khi 1-a=1-b=1-c a=b=c= 3 1 . Bài 17: Cho x,y thoã mãn điều kiện x+y = 1 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức B = x 2 y 3 . HD: Nếu 0 y thì .0 B Nếu y 0 thì : 1= x+y = . 108 5 33322 5 33322 5 32 5 yxyyyxxyyyxx =++++ Suy ra: . 3125 108 5 1 108 32 5 32 yx yx Dấu = xảy ra 5 3 ; 5 2 32 === yx yx . . đẳng thức cosi rồi tìm cực trị của nó. Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó. Thí dụ2: Tìm gia trị lớn. (y+z),(z+x),(x+y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc giá trị của x,y,z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm đợc giá trị bé nhất của P. Các bài tâp: Bài