TiÕt 35: TiÕt 35: § § 2 2 HÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. HÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. To¹ ®é cña vect¬ vµ cña ®iÓm To¹ ®é cña vect¬ vµ cña ®iÓm 1.Hệ toạ độ đề các trong không gian 1.Hệ toạ độ đề các trong không gian Cho 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. i , j , k O x y z Trục Ox gọi là trục hoành. Trục Oy gọi là trục tung. Trục Oz gọi là trục cao. Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ. Chú ý: 1 22 == kj i 2 = i . j = j . k = k . i = 0 i j k Hệ gồm 3 trục như vậy gọi là hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ toạ độ Oxyz 2. Toạ độ vủa vectơ đối với hệ toạ độ 2. Toạ độ vủa vectơ đối với hệ toạ độ O x y z i j k v A A A 1 A 2 A 3 v = x i + y j + z k Định nghĩa: Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý , Vì 3 vectơ không đồng phẳng nên có duy nhất bộ 3 số (x; y; z) sao cho : v i , j , k hoặc ( ) zyxv ;; = Kí hiệu: ( ) zyxv ;; Chú ý: 1) x; y; z là các toạ độ tương ứng của các điểm A 1 , A 2 , A 3 trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz hay: 2) k = (0; 0; 1) i = (1; 0; 0) j = (0; 1; 0) ; ; x = v . i y = v . j z = v . k ; ; ( ) zyxv ;; = thì:3) Nếu ( ) zyxu ;; = 4) Cho ( ) ';';' zyxv = = = = = ' ' ' zz yy xx vu 321 ,, OAzOAyOAx === Bộ 3 số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v slide7 3. Định lí Đối với hệ toạ độ Oxyz, nếu , thì ( ) zyxu ;; = ( ) ';';' zyxv = u + v = ( x+x' ; y+y' ; z+z' ) u - v = ( x-x' ; y-y' ; z-z' ) k u = ( kx ; k y ; kz ) Cho: ( ) zyxu ;; = ( ) ';';' zyxv = và . Tính toạ của vectơ vu + Bài toán: u = x i + y j + z k v = x' i + y' j + z' k Lời giải: Ta có u + v = (x+x') i + (y+y') j + (z+z') k u + v = (x+x' ; y+y' ; z+z') 4. Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ O y z i j k M M x x y z Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M bất kì M = (x; y; z) 5. Định lí: Đối với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm: A = (x A ; y A ; z A ) và B = (x B ; y B ; z B ), khi đó: ( ) zyxOM ,, = OM Toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ = OM x i + y j + z k ( x B -x A ; y B -y A ; z B -z A ) =AB Chú ý: phương pháp xác định điểm M(x; y; z) trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz: Bước 1: Trong mp(Oxy): xác định điểm M(x; y) Bước 2: Qua M dựng MM // Oy sao cho zMM = ' Suy ra M là điểm cần xác định Định nghĩa: slide8 6. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(x A ; y A ) và B(x B ;y B ).Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 thì M có toạ độ là: = k kyy y k kxx x BA M BA M 1 1 = = = k kzz z k kyy y k kxx x BA M BA M BA M 1 1 1 k OBkOA OM = 1 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(x A ;y A ;z A ) và B(x B ;y B ;z B ). Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 thì M có toạ độ là: Thật vậy: Từ biểu thức này tính toạ độ của vectơ theo toạ độ của vectơ và OM OB OA Đặc biệt: M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi k = -1 2 ; 2 ; 2 BA M BA M BA M zz z yy y xx x + = + = + = O x y i j k v A A A 1 A 2 A 3 3213 ' OAOAOAOAOAOAv ++=+== = x i + y j + z k CH2: Cho biết toạ độ của các vectơ trong hệ trục toạ độ Oxyz i , j , k i = 1 i + 0 j + 0 k i = (1; 0; 0) j = 0 i + 1 j + 0 k j = (0; 1; 0) k = (0; 0; 1) k = 0 i + 0 j + 1 k CH3: Hãy tính các tích vô hướng sau: v . k v . i v . j ;; v . i = ( x i + y j + z k ). i = x i . i + y j . i + z k . i = x x CH4: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau ( ) zyxu ;; = ( ) ''' ;; zyxv = == 0vuvu (x-x') i + (y-y') j + (z-z') k = 0 slide3 CH1: Hãy nêu cách biểu diễn vectơ theo vectơ i , j , k v z VÝ dô: Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é Oxyz h·y biÓu diÔn c¸c ®iÓm A(2; 0; 0); B(1; 1; 2): C(2; 1; -1) 1 2 1 2 -1 -1 1 2 -1 O y x z A . B C . B’ C’ slide5 . gãc trong kh«ng gian. HÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. To¹ ®é cña vect¬ vµ cña ®iÓm To¹ ®é cña vect¬ vµ cña ®iÓm 1 .Hệ toạ độ đề các trong không. trong không gian 1 .Hệ toạ độ đề các trong không gian Cho 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox,