BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC Chuyªn ®Ị I TÍCH PHÂN & CÁC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÝch ph©n I.C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n 1. TÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa ,tÝnh chÊt vµ b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n 2.Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. §Þnh lÝ . NÕu u(x) vµ v(x) lµ c¸c hµm sè cã ®¹o hµm liªn tơc trªn [ ] ;a b th×: ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x v x u x dx a = − ∫ ∫ hay b b a a b udv uv vdu a = − ∫ ∫ . ¸p dơng c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau: • Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng ' udv uv dx= b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hỵp cđa f(x) lµm u(x) vµ phÇn cßn l¹i ' ( ) .dv v x dx= • Bíc 2: TÝnh ' du u dx= vµ ' ( )v dv v x dx= = ∫ ∫ . • Bíc 3: TÝnh ' b b a a vdu vu dx= ∫ ∫ vµ b uv a . • Bíc 5: ¸p dơng c«ng thøc trªn. VÝ dơ 5: a)Tính tích phân 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = + ∫ (§H-KB-2009) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 1 2 1 1 3 2 2 1 3 ln x dx ln x I dx 3 dx (x 1) (x 1) (x 1) dx 3 3 I 3 (x 1) (x 1) 4 ln x I dx (x 1) + = = + + + + − = = = + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t u = lnx Đặ dx du x ⇒ = 2 dx dv . (x 1) = + Ch n ọ 1 v x 1 − = + 3 3 3 3 2 1 1 1 1 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 = − + = − + − = − + + + + ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC V y : ậ 3 I (1 ln 3) ln 2 4 = + − b) TÝnh 1 ln e x xdx ∫ Gi¶i: §Ỉt lnu x dv xdx =   =  2 2 dx du x x v  =   ⇒   =   2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 4 e e e e x e x e x xdx x xdx + = − = − = ∫ ∫ . VÝ dơ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) 2 5 1 ln x dx x ∫ b) 2 0 cosx xdx π ∫ c) 1 0 x xe dx ∫ d) 2 0 cos x e xdx π ∫ Gi¶i: a) §Ỉt 5 4 ln 1 1 4 dx u x du x dv dx v x x  = =     ⇒   =   = −    . Do ®ã: 2 2 2 2 5 4 5 4 1 1 1 1 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2 4 4 64 4 4 256 x x dx dx x x x x −   = − + = − + − =  ÷   ∫ ∫ . b) §Ỉt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   . Do ®ã: ( ) 2 2 0 0 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 x xdx x x xdx x π π π π π π = − = + = − ∫ ∫ . c)§Ỉt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do ®ã: ( ) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 x x x x xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − = ∫ ∫ . d) §Ỉt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = =   BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC 2 2 0 0 cos sin sin 2 0 x x x e xdx e x e xdx π π π ⇒ = − ∫ ∫ . §Ỉt 1 1 1 1 sin cos x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = = −   2 2 2 0 0 cos cos cos 2 0 x x x e xdx e e x e xdx π π π π ⇒ = + − ∫ ∫ . 2 2 2 2 0 0 1 2 cos 1 cos . 2 x x e e xdx e e xdx π π π π − ⇔ = − ⇔ = ∫ ∫ *C¸ch ®Ỉt u vµ dv trong ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. ( ) b x a P x e dx ∫ ( )ln b a P x xdx ∫ ( )cos b a P x xdx ∫ cos b x a e xdx ∫ u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chó ý: §iỊu quan träng khi sư dơng c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn lµ lµm thÕ nµo ®Ĩ chän u vµ ' dv v dx= thÝch hỵp trong biĨu thøc díi dÊu tÝch ph©n f(x)dx. Nãi chung nªn chän u lµ phÇn cđa f(x) mµ khi lÊy ®¹o hµm th× ®¬n gi¶n, chän ' dv v dx= lµ phÇn cđa f(x)dx lµ vi ph©n mét hµm sè ®· biÕt hc cã nguyªn hµm dƠ t×m. Cã ba d¹ng tÝch ph©n thêng ®ỵc ¸p dơng tÝch ph©n tõng phÇn: • NÕu tÝnh tÝch ph©n ( ) ( )P x Q x dx β α ∫ mµ P(x)lµ ®a thøc chøa x vµ Q(x) lµ mét trong nh÷ng hµm sè: , cos , sin ax e ax ax th× ta thêng ®Ỉt ' ( ) ( ) ( ) ( ) du P x dx u P x dv Q x dx v Q x dx =  =   ⇒   = =    ∫ BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC • NÕu tÝnh tÝch ph©n ( ) ( )P x Q x dx β α ∫ mµ P(x) lµ ®a thøc cđa x vµ Q(x) lµ hµm sè ln(ax) th× ta ®Ỉt ( ) ' ( ) ( ) ( ) du Q x dx u Q x dv P x dx v P x dx =  =   ⇒   = =    ∫ • NÕu tÝnh tÝch ph©n cos ax I e bxdx β α = ∫ hc sin ax J e bxdx β α = ∫ th× ta ®Ỉt 1 cos sin ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b =  =   ⇒   = =    hc ®Ỉt 1 sin cos ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b =  =   ⇒   = = −    Trong trêng hỵp nµy, ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn hai lÇn sau ®ã trë thµnh tÝch ph©n ban ®Çu. Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶ tÝch ph©n cÇn tÝnh. 3. Ph ¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè Bµi to¸n: TÝnh ( ) b a I f x dx= ∫ , *Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng I §Þnh lÝ . NÕu 1) Hµm ( )x u t= cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n [ ] ; α β , 2) Hµm hỵp ( ( ))f u t ®ỵc x¸c ®Þnh trªn [ ] ; α β , 3) ( ) , ( )u a u b α β = = , th× ' ( ) ( ( )) ( ) b a I f x dx f u t u t dt β α = = ∫ ∫ . VÝ dơ 1. H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a ) Tính tích phân ( ) 2 3 2 0 I cos x 1 cos x.dx π = − ∫ (§H-KA-2009) BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC b) 1 2 3 0 5I x x dx= + ∫ c) ( ) 2 4 0 sin 1 cosJ x xdx π = + ∫ Gi¶i: a) I = 2 2 5 2 0 0 cos x.dx cos x.dx π π − ∫ ∫ Ta có: I 2 = 2 2 2 0 0 1 cos x.dx (1 cos2x).dx 2 π π = + ∫ ∫ = 1 1 x sin 2x 2 2 2 4 0 π π   + =  ÷   M t khác xét Iặ 1 = 2 2 5 4 0 0 cos x.dx cos x.cosx.dx π π = ∫ ∫ = 3 2 2 2 5 0 1 2sin x 8 (1 sin x) d(sin x) sin x sin x 2 5 3 15 0 π π   − = − + =  ÷   ∫ V y I = Iậ 1 – I 2 = 8 15 4 π − b) Ta cã ( ) ( ) 3 3 2 2 5 5 3 3 d x d x x dx x dx + + = ⇒ = ( ) 1 3 3 0 5 5 3 d x I x + ⇒ = + ∫ ( ) 1 1 1 3 1 2 3 3 3 3 2 0 1 1 1 1 ( 5) 2 5 ( 5) ( 5) 5 1 0 0 3 3 9 1 2 x x d x x x + + = + + = = + + + ∫ 4 10 6 5 3 9 = − . c) Ta cã 2 4 0 (sin 1) (sin )J x d x π = + ∫ 5 1 6 sin sin 2 5 5 0 x x π   = + =  ÷   VÝ dơ 2. H·y tÝnh c¸c tÝch sau: a) 4 2 0 4 x dx− ∫ b) 1 2 0 1 dx x+ ∫ BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC Gi¶i: a) §Ỉt 2sin , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −     . Khi x = 0 th× t = 0. Khi 2x = th× 2 t π = . Tõ 2sinx t= ⇒ 2cosdx tdt= 4 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin .2cos 4 cos− = − = = ∫ ∫ ∫ x dx t tdt tdt π π π . b) §Ỉt , ; 2 2 x tgt t π π   = ∈ −  ÷   . Khi 0x = th× 0t = , khi 1x = th× 4 t π = . Ta cã: 2 cos dt x tgt dx t = ⇒ = . 1 4 4 2 2 2 0 0 0 1 . . 4 1 1 cos 4 0 ⇒ = = = = + + ∫ ∫ ∫ dx dt dt t x tg t t π π π π Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thĨ gỈp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tỉng qu¸t h¬n nh: NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng 2 2 2 2 ,a x a x+ − vµ 2 2 x a− (trong trong ®ã a lµ h»ng sè d¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®ỉi nµo kh¸c th× nªn ®ỉi sang c¸c hµm sè lỵng gi¸c ®Ĩ lµm mÊt c¨n thøc, cơ thĨ lµ: • Víi 2 2 a x− , ®Ỉt sin , ; 2 2 x a t t π π   = ∈ −     hc [ ] cos , 0;x a t t π = ∈ . • Víi 2 2 a x+ , ®Ỉt , ; 2 2 x atgt t π π   = ∈ −  ÷   hc ( ) , 0;x acotgt t π = ∈ . • Víi 2 2 x a− , ®Ỉt { } , ; \ 0 sin 2 2 a x t t π π   = ∈ −     hc ; cos a x t = [ ] 0; \ 2 t π π   ∈     . *Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng II §Þnh lÝ : NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iƯu vµ cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n [ ] ;a b sao cho ' ( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= = th× ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I f x dx g u du= = ∫ ∫ . BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC VÝ dơ 3: TÝnh 1 2 3 0 5I x x dx= + ∫ Gi¶i: §Ỉt 3 ( ) 5u x x= + .Tacã (0) 5, (1) 6u u= = . Tõ ®ã ®ỵc: ( ) 6 5 6 1 2 2 4 10 6 6 5 5 6 5 5 3 9 9 9 9 I udu u u= = = − = − ∫ VÝ dơ 4: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng II: a) ( ) 1 5 0 2 1x dx+ ∫ b) 2 ln e e dx x x ∫ c) 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ d) 2 2 1 (2 1) dx x − ∫ e) 2 3 3 2 cos(3 ) 3 x dx π π π − ∫ Gi¶i: a) §Ỉt 2 1u x= + khi 0x = th× 1u = . Khi 1x = th× 3u = Ta cã 2 2 du du dx dx= ⇒ = . Do ®ã: ( ) 1 3 6 5 5 6 0 1 3 1 1 2 1 (3 1) 1 2 12 12 u x dx u du+ = = = − ∫ ∫ = 60 2 3 . b)§Ỉt lnu x= . Khi x e= th× 1u = . Khi 2 x e= th× 2u = . Ta cã dx du x = ⇒ 2 2 1 2 ln ln 2 ln1 ln 2 1 ln e e dx du u x x u = = = − = ∫ ∫ . c)§Ỉt 2 1u x x= + + . Khi 0x = th× 1u = . Khi 1x = th× 3u = . Ta cã (2 1)du x dx= + . Do ®ã: 1 3 2 0 1 3 4 2 2 2ln 2(ln 3 ln1) 2ln3 1 1 x du dx u x x u + = = = − = + + ∫ ∫ . d)§Ỉt 2 1u x= − . Khi 1x = th× 1u = . Khi 2x = th× 3u = . Ta cã 2 2 du du dx dx= ⇒ = . Do ®ã: 2 3 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 ( 1) 1 (2 1) 2 2 2 3 3 dx du x u u = = − = − − = − ∫ ∫ . BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC e)§Ỉt 2 3 3 u x π = − . Khi 3 x π = th× 3 u π = , khi 2 3 x π = th× 4 3 u π = . Ta cã 3 3 du du dx dx= ⇒ = . Do ®ã: 2 4 3 3 3 3 4 2 1 1 1 4 3 cos(3 ) cos sin sin sin 3 3 3 3 3 3 3 x dx udu u π π π π π π π π π   − = = = −  ÷   ∫ ∫ 1 3 3 3 3 2 2 3   = − − = −  ÷   . 3.Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. §Þnh lÝ . NÕu u(x) vµ v(x) lµ c¸c hµm sè cã ®¹o hµm liªn tơc trªn [ ] ;a b th×: ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x v x u x dx a = − ∫ ∫ hay b b a a b udv uv vdu a = − ∫ ∫ . ¸p dơng c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau: • Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng ' udv uv dx= b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hỵp cđa f(x) lµm u(x) vµ phÇn cßn l¹i ' ( ) .dv v x dx= • Bíc 2: TÝnh ' du u dx= vµ ' ( )v dv v x dx= = ∫ ∫ . • Bíc 3: TÝnh ' b b a a vdu vu dx= ∫ ∫ vµ b uv a . • Bíc 5: ¸p dơng c«ng thøc trªn. VÝ dơ 5: a)Tính tích phân 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = + ∫ (§H-KB-2009) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 1 2 1 1 3 2 2 1 3 ln x dx ln x I dx 3 dx (x 1) (x 1) (x 1) dx 3 3 I 3 (x 1) (x 1) 4 ln x I dx (x 1) + = = + + + + − = = = + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC t u = lnx Đặ dx du x ⇒ = 2 dx dv . (x 1) = + Ch n ọ 1 v x 1 − = + 3 3 3 3 2 1 1 1 1 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 = − + = − + − = − + + + + ∫ ∫ ∫ V y : ậ 3 I (1 ln 3) ln 2 4 = + − b) TÝnh 1 ln e x xdx ∫ Gi¶i: §Ỉt lnu x dv xdx =   =  2 2 dx du x x v  =   ⇒   =   2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 4 e e e e x e x e x xdx x xdx + = − = − = ∫ ∫ . VÝ dơ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) 2 5 1 ln x dx x ∫ b) 2 0 cosx xdx π ∫ c) 1 0 x xe dx ∫ d) 2 0 cos x e xdx π ∫ Gi¶i: a) §Ỉt 5 4 ln 1 1 4 dx u x du x dv dx v x x  = =     ⇒   =   = −    . Do ®ã: 2 2 2 2 5 4 5 4 1 1 1 1 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4 ln 2 4 4 64 4 4 256 x x dx dx x x x x −   = − + = − + − =  ÷   ∫ ∫ . b) §Ỉt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   . Do ®ã: ( ) 2 2 0 0 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 x xdx x x xdx x π π π π π π = − = + = − ∫ ∫ . c)§Ỉt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do ®ã: BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC ( ) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 x x x x xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − = ∫ ∫ . d) §Ỉt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = =   2 2 0 0 cos sin sin 2 0 x x x e xdx e x e xdx π π π ⇒ = − ∫ ∫ . §Ỉt 1 1 1 1 sin cos x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = = −   2 2 2 0 0 cos cos cos 2 0 x x x e xdx e e x e xdx π π π π ⇒ = + − ∫ ∫ . 2 2 2 2 0 0 1 2 cos 1 cos . 2 x x e e xdx e e xdx π π π π − ⇔ = − ⇔ = ∫ ∫ *C¸ch ®Ỉt u vµ dv trong ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. ( ) b x a P x e dx ∫ ( )ln b a P x xdx ∫ ( )cos b a P x xdx ∫ cos b x a e xdx ∫ u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chó ý: §iỊu quan träng khi sư dơng c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn lµ lµm thÕ nµo ®Ĩ chän u vµ ' dv v dx= thÝch hỵp trong biĨu thøc díi dÊu tÝch ph©n f(x)dx. Nãi chung nªn chän u lµ phÇn cđa f(x) mµ khi lÊy ®¹o hµm th× ®¬n gi¶n, chän ' dv v dx= lµ phÇn cđa f(x)dx lµ vi ph©n mét hµm sè ®· biÕt hc cã nguyªn hµm dƠ t×m. Cã ba d¹ng tÝch ph©n thêng ®ỵc ¸p dơng tÝch ph©n tõng phÇn: [...]... 2 π 2 b) K ∫ = cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx ; 0 π 2 c) 4sin 3 x M= dx 1 + cos x 0 ∫ Gi¶i π 2 a) J= π 2 1 1 cos5 xdx − cos9 xdx 2 π 2 π ∫ − 2 ∫ − 2 π π 1 1 4 = sin 5 x 2 − sin 9 x 2 = π 18 π 45 10 − − 2 2 b) Ta cã 2 cos x(sin 4 x + cos 4 x) = cos x ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2sin 2 x cos 2 x    1  1   1  3 = cos x  1 − sin 2 2 x ÷ = cos x 1 − ( 1 − cos 4 x )  = cos x + cos x cos 4 x 4  2 ... x 4  2   4  4 3 1 = cos x + ( cos5 x + cos3 x ) 4 8 π 2 ∫ K = cos x(sin 4 x + cos 4 x)dx = 0 π 2 π 2 π 2 3 1 1 cos xdx + cos5 xdx + co3 xdx 40 80 80 ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC π π π 3 1 1 3 1 1 11 = sin x 2 + sin 5 x 2 + sin 3 x 2 = + − = 4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1 − cos 2 x)sin x c) = = = 4(1 − cos x)sin x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x ⇒ M = 2 2.2.D¹ng 2:... b sin x cos x + c cos 2 x + d dx I= 2 ( a + d ) sin x + b sin x cos x + ( c + d ) cos 2 x I= Ph¬ng ph¸p: ∫ ∫ BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC dx cos 2 x = ( a + d ) tg 2 x + btgx + ( c + d ) ∫ §Ỉt t = tgx ⇒ dt = VÝ dơ 12 TÝnh: I= ∫ dx ⇒ I = cos 2 x ∫ dt ( a + d ) t 2 + bt + ( c + d ) ®· tÝnh ®ỵc dx sin x + 2sin x cos x − 3cos 2 x 2 dx dx Gi¶i:Ta cã cos 2 x I= = sin 2 x + 2sin x cos x − 3cos 2 x tg... sin x + b cos x + c TÝch ph©n ∫dx tÝnh ®ỵc TÝch ph©n ∫ a cos x − b sin x dx = ln a sin x + b cos x + c + C a sin x + b cos x + c TÝch ph©n ∫ a sin x + b cos x + c tÝnh ®ỵc VÝ dơ 13 TÝnh: dx I= ∫ cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x Gi¶i: B»ng c¸ch c©n b»ng hƯ sè bÊt ®Þnh, t×m A vµ B sao cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC cos x + 2sin... cã sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 • Nh÷ng trêng hỵp ®Ỉc biƯt: +) NÕu R ( sin x,cos x ) lµ mét hµm sè ch½n víi sinx vµ cosx nghÜa lµ R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) th× ®Ỉt t = tgx hc ph©n vỊ d¹ng h÷u tØ theo biÕn t +) NÕu R ( sin x,cos x ) lµ hµm sè lỴ ®èi víi sinx nghÜa lµ: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) th× ®Ỉt t = cos x +) NÕu R ( sin x,cos x ) lµ hµm sè lỴ ®èi víi cosx nghÜa... dx 1 + cos 2 x 0 ∫ x = π − t ( 0 ≤ t ≤ π ) ⇒ dx = −dt ( π − t ) sin ( π − t ) dt x sin x Khi ®ã dx = − 1 + cos 2 x 1 + cos 2 ( π − t ) 0 π π 0 ∫ ∫ π π π sin t t sin t = dt − dt 1 + cos 2 t 1 + cos 2 t 0 0 ∫ ∫ π π π sin x x sin x = dx − dx 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 ∫ ∫ π π x sin x π sin x ⇔2 dx = dx 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 ∫ ∫ π VËy π x sin x π sin x π2 dx = dx = 1 + cos 2 x 2 0 1 + cos 2 x... (sin x)dx α 2 π −α ∫ xf (cos x)dx = π ∫ α π 2 π −α sin n x π dx = sin n x + cos n x 4 α f (cos x)dx BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC Gi¶i : T¬ng tù nh trªn ta cã: π 2 I= ∫ 0 sin n x cos n x dx = dx =J n n n n sin x + cos x sin x + cos x 0 π 2 ∫ +) VËy I+J= 0 π 2 ∫ VËy I= 0 π 2 ∫ π 2 sin x cos n x π dx + dx = sin n x + cos n x sin n x + cos n x 2 0 n ∫ sin n x π dx = sin n x + cos n x 4 π VÝ dơ 21:... I= ∫ ∫ dx cos 2 x ∫ dt 1 t −1 1 tgx − 1 = ln + C = ln +C t − 1) ( t + 3) 4 t + 3 4 tgx + 3 ( 2.2.3 TÝnh m sin x + n cos x + p dx a sin x + b cos x + c Ph¬ng ph¸p: +)T×m A, B, C sao cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x +) VËy I= ∫ m sin x + n cos x + p dx = a sin x + b cos x + c = A∫ dx + B ∫ a cos x − b sin x dx dx + C ∫ a sin x + b cos x + c... a) I = ∫ 0 sin 2 x cos x + 4 sin x 2 ( §H-KA-2006) 2 dx b) I = π2 ∫ x sin x dx 0 π 2 d ) I = ∫ ( 2 x − 1) cos 2 x.dx 0 BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC π 2 sin 2 x + sin x c) I = ∫ 1 + 3 cos x 0 dx (§H-KA-2005) π 4 x dx 1 + cos 2 x 0 f )I = ∫ π 2 sin 2 x cos x dx 1 + cos x 0 e) I = ∫ (§H-KB-2005) π 2 g)I = ∫ sin x − cos x 1 + sin 2 x π 4 π 2 π 3 tan x h) I = ∫ π 4 π dx cos x 1 + cos 2 x dx 4 k ) I... 4 dx 31 I= ) I=∫ ∫ x7 2 1+ x cos x 1 + cos 2 x I= π 2 8 − 2x 4 32 dx 29 dx I= 3 sin x ∫ sin 3 x + cos 3 x dx 35 1 − x dx 37 x2 1 I =∫ 0 4dx 38 (4 − x ) 2 3 I= e ∫x 2 ln 2 xdx 1 2 2  x −1  ∫  x + 2  dx   −1 π 2 I= cos xdx ∫ 11 − 7 sin x − cos 2 x dx 0 2 1 2 3 I=∫ tgx 34 −1 x + 5 + 4 28 π 3 π 4 2dx ∫ 1 36 4 I = ∫ cos 2x sin x + cos x dx 0 30 4 0 I= π 2 ∫ 0 sin 2xdx cos 2 x + 4 sin 2 x B Phần ứng . ( ) 2 4 4 2 2 2 2 cos (sin cos ) cos sin cos 2sin cosx x x x x x x x   + = + −   ( ) 2 1 1 3 1 cos 1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos cos cos4 2 4 4 4 x x x. = − − = +  ÷       ( ) 3 1 cos cos5 cos3 4 8 x x x = + + . 2 2 2 2 4 4 0 0 0 0 3 1 1 cos (sin cos ) cos cos5 co3 4 8 8 K x x x dx xdx xdx xdx π