Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng Bi MT S TNH CHT TỔNG QUÁT CỦA TÍCH PHÂN I Mục tiêu dạy - HS nắm vững tính chất hàm số chẵn, hàm số lẻ - Nắm vững tích phân với cận đối xứng hàm chẵn hàm lẻ từ áp dụng vào tính số tích phân cụ thể - HS nắm vững sáu toán tích phân biết áp dụng chúng II Nội dung dạy Bài toán Chứng minh rằng, f(x) hs lẻ liên tục đoạn [-a ; a] a ∫ f ( x)dx = −a Ví dụ Tính tích phân sau: π a) ∫π cos x[ln( x + − − 2 d) ∫ sin(sin x + mx)dx b) ∫ ( x + x + − x − x + 1) dx x 2π 1+ x  dx 1− x   c) ∫ (cos x + sin sin x) ln + x )]dx −1 Bài toán Chứng minh rằng, f(x) hs chẵn liên tục đoạn [-a ; a] a a 0 −a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −a Ví dụ Cho ∫ e x2 − dx = α Tính −1 b+ a ∫ e − ( x −b ) 2a2 dx với a, b dương b−a Bài tốn Chứng minh rằng, f(x) hs chẵn liên tục đoạn [-a ; a] a a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx = −∫a f ( x)dx = −∫a f ( x)dx với b > − Ví dụ Tính tích phân sau: ∫ a) − ln( x + 1) dx c) ∫ −x +1 −1 2007 dx (5 x + 1) − x 2 x e dx b) ∫ x −1 (e + 1)( x + 1) d) −2 a Ví dụ Cho b ∈ R I(a) = ∫ x ln( x + + x ) ∫ (1 + x −a π 2 (2 x + 1) + x dx e) ∫π − dx Tính lim I(a) a →∞ )(1 + e bx ) Bài toán Giả sử f(x) liên tục đoạn [0 ; 1] π π 0 ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx Ví dụ Tính tích phân sau: a) π n sin x ∫ sin n x + cos n x dx c) π sin x ∫ sin x + cos x dx sin x dx 5x +1 Nguyên hàm, tích phân ứng dụng b) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng cos x sin x + cos x ∫ π sin d) dx π e) ∫     − tan (cos x) dx    cos (sin x ) f) cos x dx x + cos x π sin n x cos x ∫ sin n−1 x + cos n−1 x dx Bài toán Chứng minh rằng, f(x) hs liên tục đoạn [0 ; 1] π ππ f (sin x)dx 2∫ ∫ xf (sin x)dx = Tổng quát: Nếu f(x) liên tục [-a ; a] f(x) = f(a + b - x), ∀x ∈ [-a ; a] b ∫ xf ( x)dx = a b a+b f ( x)dx ∫ a Ví dụ Tính tính phân sau: π π cos x + x sin x dx b) ∫ + cos x x sin x dx a) ∫ + cos x c) ∫  53 x +    x  dx +5 sin (2 x + 1) 4x −   Bài toán Giả sử f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T b ∫ f ( x)dx = b + nT ∫ f ( x)dx a + nT a Ví dụ Tính tích phân sau: 4π 2007 π sin x cos10 x dx a) ∫ + cos 16 x Ví dụ Với < t < b) ∫ 2π − cos x dx c) π , đặt I(t) = t dx ∫ + cos x tan x ∫ cos x dx Tính I(t) chứng minh rằng: ( tan t +3 tan t )  π tan t +  > e 4  Ví dụ Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 x2 Tính In = ∫ (2ax + b) n +1 e ax + bx + c dx (n ∈ N ) áp dụng tính x1 π 15 cos x − cos x dx ∫ (1 − cos x) sin xe Bài tập nhà 1) 4) x ∫11 + x dx − π 2) π sin x ∫ (sin x + cos x) dx 5) ∫ ln + sin x dx 7) ∫ x sin x cos xdx 8) + cos x π π x + sin x ∫1 + x dx − π 3) − 6) ∫π − x sin x dx 1+ 2x ∫π sin x cos x sin x dx 1+ ex π sin x − cos x ∫ (sin x + cos x) π 9) x + cos x dx x ∫π sin 2 dx Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng π π ∫ cos x cos x − cos x dx 10) − 11) π ∫π − (sin x + cos x )6 x dx 3) 6x + 7x x ( x + x + + x − x + 1) dx ∫ + 3x −1 12) Bài TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Mục tiêu dạy - HS nắm vững hai công thức đổi biến số - HS vận dụng thành thạo cơng thức tốn liên quan II Nội dung dạy * Công thức đổi biến số dạng β b ∫ f ( x)dx = α f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt ∫ a * Quy tắc đổi biến số dạng * Công thức đổi biến số dạng b ∫ f (ϕ ( x ))ϕ '( x)dx = a ϕ (b ) ∫ ϕ f (t )dt (a) * Quy tắc đổi biến số dạng Tính tích phân sau: 1) x − 2x ∫ x +1 dx ∫ 4) ln 7) 10) 1− x dx 8) ∫ x (1 − x ) dx 7 ) π dx 13) ∫ sin x cos x dx 16) ∫ + cos x 3 11) 14) − cos3 x sin x cos5 xdx 17) 2x − ∫ dx ∫x + x4 11 π 2 cos x ∫ sin x + cos x dx ∫ π sin dx x cos x (3 x + 1) ln e2x ∫ 6) (e x + 1) 9) 1+ ∫ π 3) π ( x + + ln x ) ln x dx 5) ∫ x dx ∫ x(1 + x dx ex +1 x −1 e ∫ ∫1+ x x2 + 2) x dx dx x2 + dx x4 − x2 + 12) π 15) ∫ π sin x + cos x dx + sin x 18) dx ∫ sin x − sin x ( x + 1)dx 19) ∫ x(1 + xe x ) Đặt t = + xex 20) ln(ex)dx ∫ + x ln x x 21) ∫ x (1 + ln x)dx Nguyªn hàm, tích phân ứng dụng 22) x dx 23) ∫ x + 4x2 + − x dx 28) 29) x2 −1 Bài ∫ x2 dx − x2 x4 + 27) ∫ dx x +1 dx x cos x ∫ 2 xdx 26) ∫ x + x +1 x dx ∫ 24) dx 25) x e +3 Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng 30) x3 + x x2 + dx TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I Mục tiêu dạy - HS nắm vững cơng thức tích phân phần hiểu chất công thức - HS vận dụng thành thạo cơng thức tốn liên quan II Nội dung dạy 31) π π   ÷ 2 ∫ sin xdx π 34) ∫ (3x − 1)2 sin(4 x − π )dx 37) ∫π − x sin x dx cos x −1 35) 43) ∫ x tan xdx π 1+ cos x 46) ∫ ln (1 + sin x) dx + cos x ln ( x + 1) dx 49) ∫ x3 38) x9 ∫ (1 + x )3 dx Bài x ∫ π sin (2 x + ) dx 36) ∫ sin x ln(tan x)dx 39) π π x + sin x ∫ + cos x dx 0 ∫π cos x ln(1 + cos x)dx 41) ∫ esin x sin x cos3 xdx 42) 44) ∫ cos(ln x)dx 45) ∫ cos x − 47) ∫ 53) ∫ esin x dx ecos x 48) ∫ x x + a dx x + 3dx 1 50) a 52) + x − 1)e x +3dx π e ( x + + ln x ) ln x dx 40) ∫ x ∫ (x − π 33) ∫ x lg xdx 0 π 10 32) ∫ x(sin + cos x)dx x ln( x + + x ) + x2 + sin x ∫ + cos x e dx x dx 51) 54) dx ∫ (1 + x −1 π 2 ) x dx ∫ ( x sin x + cos x)2 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng I Mc tiờu bi dy - HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần, bảng nguyên hàm - HS nắm vững phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ vô tỉ - HS vận dụng thành thạo vào giải toán II Nội dung dạy Bài toán tổng quát Cho P(x) Q(x) đa thức Tính tích phân sau: b P ( x) ∫ Q( x) dx a Giáo viên nêu cách giải sau áp dụng vào giải tập sau: Bài Tính tích phân sau: 4x +1 dx 1) ∫ 2 x − 5x + 4) ∫ −1 x − 3x + x + dx 2) ∫ x − 3x + ( x + ) dx (x − x + 3) 0 3) x2 ∫ ( x + 1)( x + 2)(3 − x) dx 3dx 2dx 3dx 4dx =∫ +∫ −∫ +∫ = + 3ln 2 x − −1 ( x − 1) x − −1 ( x − ) 3 −1 −1 dx dx dx ( x − 1) dx =∫ − ∫ − = ln 5) ∫ x ( x + 1) x x + ∫ x − x + 3 1 2 2 (Nếu việc giải hệ để tìm hệ số gặp khó khăn ta gán cho x = ⇒ A = 1; x = -1 ⇒ B = - 1/3 ) 6) ∫ ( x + 3x + 2) dx 7) ∫x dx + x3 1  x2 − 2 2x − 2x + 2 dx = dx − ∫ dx ÷ = ln − 2 8) ∫ ∫ x +1  x − 2x + x + 2x +  0 ( ) Bài Tính tích phân sau: dx x− = ln +c 1) ∫ ( x − ) ( x + 5) x + 2) dx ( x + ) − ( x + 3) dx = = ∫ ∫ ( x + 3) ( x + ) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + )  1 1  ( x + 3) ( x + ) − − + +c  ÷ = ln 18 ∫  x + x + x + x +  18 ( x + 6) 6 x 5dx ( x − 1) ( x − )  1 = ∫ d ( x ) = ∫ − 3) ∫ 12 6 x − 3x + ( x − 1) ( x − )  ( x − ) ( x − 1)   ÷ ( x6 ) d ữ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng x6 = ln +c x −1 2 dx x − ( x − 3)  xdx dx  x − = dx =  ∫ − +c 4) ∫ ÷ = ln x − 3x ∫ x ( x − 3) 3 x − ∫ x  x2 4 e e e dx ( x + 3) − x  dx dx = ∫ dx =  ∫ − ∫ 5) ∫ x + 3x5 x ( x + 3) 3 x 1 x ( x + 3)  e  ÷= ÷  4 e e e e e  dx ( x + 3) − x dx  dx dx x dx  1 x4  ÷= − − + = − − ln  ∫ x5 ∫ x ( x + 3) ÷ ∫ x ∫ x ∫ x +  12 x 36 x + 1 1 1  d ( 3x − ) dx 1 dt = ∫ = ∫ = 6) ∫ x − x − 12 x − ( )( ) ( 3x − 2) ( 3x − 2) − 11 t ( t − 11)   2 t − ( t − 11) tdt dt ( 3x − ) − 11 = ∫ dt = ∫ − = ln +c t ( t − 11) ( t − 11) ∫ t 3x − ) ( BTVN 1, ∫ x6 + dx x (1 + x ) ln13 ex x + 11x + dx 2, ∫ x + 3x + 3x − −1 3, x −x ∫ x6 + x + x + dx 5, ( x − 1) ∫ x( x − 5)( x5 − 5x + 1) dx 7, ∫ sin x − cos x + dx 4, 6, π dx ∫ 3sin x + cos x + Bài ∫ ln (3 + e x ) e x − dx sin x + cos x − TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VƠ TỈ e ÷ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng A Mc tiờu bi dy - HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hố tốn tích phân, bảng nguyên hàm - HS nắm vững phương pháp tính tích phân hàm vơ tỉ - HS vận dụng thành thạo vào giải toán B Nội dung dạy dx I Dạng Tích phân dạng: ∫ ax + bx + c du = ln u + u + k + c Thật vậy: Đặt Nx: ∫ u +k   u dt dx t = u + u + k ⇒ dt =  + t ÷dx ⇒ = t u2 + k  u2 + k  du dt = ∫ = ln t + c ∫ u2 + k t * Nếu a > 0, biến đổi * Nếu a < 0, ax + bx + c = u + k ax + bx + c = k − u , đặt t = k.sinu Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ 3) 2) 2x − 5x + 2 −1 ∫ −1 5) dx dx − x − 3x dx ∫ 4) dx 3x − x + dx ∫ − x − 10 x ∫ ( x + 1) ( x + ) Cách 1: Làm theo phương pháp Cách 2: * Nếu x > -1, đặt: 2dt dx   t = x + + x + ⇒ dt =  + ÷dx ⇒ t = x + x +  x +1 x +  dx dt ⇒∫ = 2∫ = 2ln t + c = 2ln x + + x + + c t ( x + 1) ( x + ) ( ) * Nếu x < -2 , đặt:   −1 2dt dx t = −( x + 1) + −( x + 2) ⇒ dt =  − = ÷dx ⇒ −  −( x + 1) −( x + 2) ÷ t x + x +   dx dt ⇒∫ = −2∫ = −2ln t + c = −2ln −( x + 1) + −( x + 2) + c t ( x + 1) ( x + ) ( Cách Sử dụng phép ơle ) Nguyên hàm, tích phân ứng dụng II Dng Tích phân dạng: Biến đổi: ∫ ( mx + n ) dx ax + bx + c = Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng ( mx + n ) dx ax + bx + c ( 2ax + b ) dc m mb  dx  ∫ ax + bx + c +  n − 2a ÷∫ ax + bx + c 2a   Bài Tính tích phân sau: ( x + ) dx 1) ∫ x + 4x + 0 ( x − 1) dx 3) ∫ − x2 − 4x + −2 III Dạng Tích phân dạng ( x + ) dx −1 2) x2 + 2x + ∫ 4) ∫ f ( x, 2x −1 ∫ −4 x + 12 x − dx ) ax + bx + c dx Cách giải: Sử dụng phép Ơle + Nếu a > 0, đặt ax + bx + c = t ± ax + Nếu c > 0, đặt ax + bx + c = tx ± c + Nếu ttb2: ax2 + bx + c có nghiệm x0, đặt ax + bx + c = t ( x − x0 ) Bài Tính tích phân sau: dx dx 1) ∫ (HVKTQS – 99) 2) ∫ + x + x2 + x − x2 − x + dx dx 3) ∫ 4) ∫ + x ( x + 1) 1+ 1− x − x ( Bài ) TÍCH PHÂN CÁC HM S Vễ T (TIP) Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng A Mục tiêu dạy - HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá tốn tích phân, bảng ngun hàm - HS nắm vững phương pháp tính tích phân hàm vô tỉ - HS vận dụng thành thạo vào giải tốn B Nội dung dạy IV Dạng Tích phân dạng ∫ Cách giải: Tổng quát: dx ( mx + n ) ax + bx + c ( px + q ) dx ∫ ( mx + n ) ax + bx + c Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ ( x + 1) dx ∫ (2 x + 3) 2) x + 2x + 2 − dx x + 12 x + (3 x + 2)dx ∫ ( x + 1) x + 3x +  ax + b  f  x, n ÷dx ∫ cx + d   ax + b dt n − b n ⇒x= Cách giải: Đặt t = cx + d a − ct n Bài Tính tích phân sau: xdx 1− x π = x + − 3 x + + c (đhan-01) dx = − 1) ∫ 2) ∫ 1+ x x +1 V Dạng Tích phân dạng: ( 3) ∫ ) 3  x +1  x +1    4) ∫ ÷ −6 ÷  dx = I x −1   x −1 x −1     x +1 1+ t 12t ⇒x= ⇒ dx = dt x −1 t −1 t − 1) ( x − dx × = 2ln − x+2 x+2 Đặt t = ⇒ I = ∫ ( t − t ) dt =  x +  −  x +  + c  ÷  ÷  x −1  x −1 VI Một số tích phân khác Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ x3 − x dx = − ∫ x − x d ( − x ) (HVHCQG – SP – 01) Nguyªn hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng t t = x ⇒ 2tdt = d ( − x ) ⇒ ∫ x3 − x dx = − 2) x5 dx ∫ 3) x d ( x + 3) = ∫ Đặt t = x + 2 x +3 x +3 x2 + dx Đặt t = x + x +1 ∫ ( − t ) t.2tdt ∫ x + 1.d ( x + 1) x x2 + 1 dx = ∫ 4) ∫ x − 3x + 2 ( x − 1) ( x − ) t dt dt dt =∫ + 2∫ Đặt t = x + ⇒ I = ∫ ( t − ) ( t − ) ( t − 3) ( t − ) ( t − ) dt dt ( t − 3) ( t + ) − 2∫ = ln +c t2 − t − 2 ( t + 3) ( t − ) = 3∫ xdx x +1 + x +1 6) ∫ (2 x − 1) 3 − xdx 5) 7) ∫ x5 dx ∫ Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt x +3 Bài Tính tích phân sau: d ( x + 1) xdx dt = ∫ 1) ∫ Đặt t = x + ⇒ I = ∫ t −2 ( x − 1) x2 + ( x2 − 1) x2 + 1 2) ∫ xdx ( 3x − 5) − x 3) ∫ (x dx − 2) x2 + Đặt t = − x Đặt t = Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ (3− x ) 2) ∫ a − x2 dx (4−x ) − x2 2 3) ∫ x a − x dx ( a > 0) x x2 + Nguyên hàm, tích phân ứng dụng 4) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng x dx (1 x ) BTVN x−8 x dx 1) ∫ x( x + 1) 4) ∫ 7) ∫ −1 10) 13) ∫ (x 16) ∫x 19) ∫x 2 dx ( x − 1)( x + 1) 11) − x + x − 3dx ∫ 14) ∫x 17) − 1) x + 1+ x dx ∫ x− + b) cx + d xdx ∫ 8) + x2 + 2x + xdx ∫ 5) x dx, a > 2a − x dx ∫ (ax dx 2) ∫ dx x2 − x + x2 + x + dx x dx 1+ x ax − x3 dx a+x dx a−x dx 3) ∫ 6) ∫x 9) ∫ (ax x2 + a2 dx + b) cx + d 12) ∫ x3 − x dx + x3 dx x2 x dx 15) ∫ 18) ∫ (a − x x5 + ) a − x2 BÀI TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC I Mục tiêu dạy - HS biết cách tính tính phân hàm số lượng giác - Có nhìn tổng qt tích phân hàm số lượng giác II Nội dung dạy A Lí thuyết B Bài tập * Dạng dx ∫ a sin x + b cos x + c Bài Tính tích phân sau: x  d  tan ÷ dx dx 2  =∫ =∫ 1) ∫ x x x x x x 3sin x + cos x  tan + − tan 6sin cos +  cos − sin ÷ 2 2 2  dx 2) ∫ 2sin x + 5cos x + a sin x + b cos x + c * Dạng ∫ m sin x + n cos x + p dx Tồn cách phân tích nhất: asinx + bcosx + c = α(msinx + ncosx + p) + β(mcosx – nsinx) + γ, với x ⇔ asinx + bcosx + c = (αm - βn)sinx + (αn - βm)cosx + αp + γ, với x Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng Bi Tớnh cỏc tớch phõn sau: 1) ∫ −3sin x + cos x − dx sin x + cos x + α = 1, β = 2, γ = −6 π 2) ∫ sin x − cos x + dx sin x + cos x + 5cos x − 4sin x 4) ∫ cos x + sin x dx ( ) 3) 5) dx cos x + sin x − ∫ sin x − cos x + dx α = , β = − ,γ = 2 cos xdx ∫ + tan x = ∫ 2sin x + cos x = 24 x + 25 ln cos x + 3sin x + c * Dạng ∫ f ( sin x;cos x ) dx f hs hữu tỉ sinx cosx + f ( − sin x;cos x ) = − f ( sin x;cos x ) đặt t = cosx + f ( sin x; − cos x ) = − f ( sin x;cos x ) đặt t = sinx + f ( − sin x; − cos x ) = f ( sin x;cos x ) đặt t = tanx + Có thể đặt t = tan x Bài Tính tích phân sau: π dx 1) ∫ sin x cos6 x 4) 6) 2) ∫ 4sin x dx + cos x π π dx 3− ∫ cos x ( sin x − cos x ) = ln ∫ sin dx x cos5 x cos3 x 3) ∫ dx sin x 5) ∫ π dx sin x cos5 x Cách 1: Đặt t = cosx ⇒ dài Cách 2: Mũ sinx cosx đơn vị ∫ sin 7) d ( tan x ) d ( tan x ) dx = 8∫ = 8∫ =− + 3ln tan x + tan x + tan x + c 3 x cos x tan x ( sin x )  tan x   ÷  + tan x  sin xdx ∫ cos x + sin x 8) ∫ dx sin x cos x Bài Tính tích phân sau: dx (ĐHBK – 00) + sin x − cos x sin x cos xdx ( sin x + cos x ) − 2) ∫ = dx sin x + cos x ∫ sin x + cos x 1) ∫ 11 9) tan xdx Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng BI TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC (TIẾP) I Mục tiêu dạy - HS biết cách tính tính phân hàm số lượng giác - Có nhìn tổng quát tích phân hàm số lượng giác II Nội dung dạy C Lí thuyết D Bài tập * Một số tích phân khác Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ sin xdx 2) ∫ cos xdx Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ sin x cos xdx 3) ∫ tan xdx 4) ∫ cot xdx dx 3) ∫ sin x cos x 2008 2) ∫ sin x cos xdx 4) ∫ cos5 xdx sin x sin xdx 5) ∫ cos x cos x Bài Tính tích phân sau: 1) dx ∫ sin x 2) dx ∫ cos x dx ∫ sin x − cos x 3) Bài Tính tích phân sau: cos x dx 4) ∫ sin x + cos x 7) π ∫ sin x 3) ∫ dx π cos x 2) ∫ sin xdx + cos x π 5) ∫ π ∫ sin x − sin x dx tan x sin x π cos xdx + cos x dx ∫ sin 3x + cos 3x π π π 1) ∫ sin( x − )(2 + 2sin x)dx 4) 6) cos x cos( x + π ) π 8) ∫ tan( x + ) cot( x + )dx Bài Tính tích phân sau: π 1) x + cos x dx = x ∫ − sin − π Do f ( x ) = π x ∫ − sin − π 2 x dx + x hs lẻ nên − sin x π cos x ∫ − sin − π π x x ∫ − sin π − 2 x dx = + π d ( sin x ) = ln x ∫ − sin − π dx = 2π 2) I = ∫ sin ( sin x − nx ) dx ( n ∈ ¢ ) Cách 1: Đặt x = 2π − t ⇒ 2π 2π 0 ∫ sin ( sin x − nx ) dx = ∫ sin ( sin t − nt ) dt ⇒ I = dx Nguyên hàm, tích phân ứng dơng Cách 2: Đặt x = π − t Lª Văn Lục THPT Đoàn Thợng ⇒I= −π −π ∫ sin ( sin x − nx ) dx = − ∫ sin ( sin t − n ( π − t ) ) dt = ± ∫ sin ( sin t + nt ) dt = Do hs f ( t ) = sin ( sin t + nt ) hs lẻ BT: 1) 3) 5) cos x + 3sin x dx cos x + 2sin x 2) ∫ 4sin 3sin x + cos x ∫ 3sin x + cos x dx 4) sin x ∫ 3sin x − sin x − 3sin x dx ∫ π sin x sin x dx x + sin x cos x + cos x − 6) ∫ cos x tan xdx ∫ tan x + cot x dx π cos6 x 7) ∫ dx π sin x 8) ∫ sin x cos xdx 9) ∫ cos x sin xdx 10) sin x cos( x + π ) 15) 12) ∫ sin 3xdx π π sin xdx ∫ sin x + cos4 x 14) dx 16) π 17) ∫ 4sin xdx 18) + cos x 19) ∫ sin xdx + cos x ∫ sin 20) cos xdx x − cos3 x 22) dx 23) ∫ sin x cos5 x 25) π 27) π 24) dx ∫ + tan x x dx ∫ (sin x − cos x) cos π π sin x − sin xdx tan x sin x ∫ π ∫ dx 3 sin x cos5 x cos x − sin x ∫ (1 + sin x)(3 − cos x)dx 26) ∫ (cos x + sin x)dx π 28) + sin x dx α ∫ π + tan x tan x cos xdx x − cos x ∫ 16sin π cos xdx ∫ (sin x + cos x + 2) dx ∫ π sin x cos π π 21) + cos x ∫ sin x − 2sin x dx π 11) ∫ sin x cos xdx 13) x Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng π 29) ∫ tan xdx2006 + (cos x) π 30) sin xdx ∫ ex −1 π 31) ∫ (sin x + cos x − sin x cos x)dx 10 10 − cos x(2 cot x + 3cot x + 1) sin x + cot x e dx sin x ∫π 32) 4 BÀI TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Mục tiêu dạy - HS nắm vững kiến thức GTTĐ tích phân, đặc biệt tính chất - HS giải thành thạo tích phân có chứa dấu GTTĐ II Nội dung dạy A Lí thuyết Một số phép biến đổi vi phân thường gặp + d ( f ( x)) = f ' ( x)dx hay f ' ( x)dx = d ( f ( x)) + dx = d (ax + b) a + cos xdx = d (sin x) sin xdx = − d (cos x) + + xdx = d (ax + b) a dx = d (tan x ) cos x dx = −d (cot x) + sin x dx = d (ln x ) + x + e x dx = d (ae x + b) a + n n +1 + x dx = a(n + 1) d (ax + b) dx + = d (x + x + a ) x2 + a x + x2 + a  1   + 1 − dx = d  x +  x  x    1   + 1 + dx = d  x −  x x    Một số tính chất tích phân b 1) Đảo cận, đảo dấu: ∫ a b 2) Tách cận tích phân: ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b 3) Không phụ thuộc biến số tích phân: ∫ a b b a a f (t ) dt = ∫ f ( x) dx = ∫ f (u )du 4) Bất đẳng thức tích phân: f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a ; b] : b ∫ a b f ( x)dx ≥ ∫ g ( x )dx a Quy tắc đổi biến số Bước 1: Đặt x = ϕ(t) (hoặc t = ϕ(x)) ⇒ dx = ϕ’(t)dt (hoặc dt = ϕ’(x)dx) Bước 2: Đổi cận x = a ⇒ ϕ(t) = a t = Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng x = b ⇒ ϕ(t) = b ⇒ t = β Bước 3: Áp dụng công thức β b ∫ f ( x)dx = α f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt ∫ a Cơng thức tích phân phần b b b ∫ udv = uv |a − ∫ vdu a a b Muốn tính tích phân I = ∫ f ( x) dx ta làm sau: a Bước Giải phương trình f(x) = với x ∈ (a ; b) Giả sử nghiệm x1 x2 Bước Tách cận tích phân b ∫ I= a x1 x2 b a x1 x1 x2 f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x )dx + a x2 ∫ b f ( x)dx + x1 ∫ f ( x)dx x2 Bài Tính tích phân sau: π 2 a) ∫x − x dx e) b) ∫ x − x + xdx c) ∫ π − π ∫ cos x f) 2 ( − cos 2x ) dx = ∫ π x2 − 4x + dx x +1 g) ∫ π h) − ( x − 1) dx ∫2 x d) K = ∫ + sin 2xdx tan x + cot x − 2dx π sin xdx = x+3 0 Bài Tính tích phân sau: a) π ∫ c) tan x + sin x − x dx x2 − x + ln ( + x ) dx 0 b) ∫ ∫ x2 + 1 d) − 10 dx x2 − x + − e − x dx ∫ Bài Cho f(x) hàm số liên tục ¡ thoả mãn f ( x) + f (− x) = − cos x 3π Tính I = ∫π f ( x)dx − 3π Đặt t = - x ⇒ ∫π − − f ( x)dx = − 3π ∫ 3π f (−t )dt = 3π ∫π − f (−t )dt = 3π ∫π − f ( x )dx Nguyên hàm, tích phân øng dông 3π 3π − − ∫π  f ( x) + f ( − x )  dx = ∫π   ( − cos x ) dx = Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng ∫π sin x dx Bài Tìm m để I(m) = ∫ x x − m dx đạt giá trị nhỏ BÀI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRỊN XOAY I Mục tiêu dạy - HS nắm vững ý nghĩa hình hc ca tớch phõn Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng - HS nắm vững cơng thức tính diện tích, thể tích - HS giải thành thạo toán liên quan II Nội dung dạy A Lí thuyết Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a x = b b cho công thức sau S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x = g(y), y = a y = b b cho công thức sau S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy a Nếu hình phẳng giới hạn hai đường y = f(x), y = g(x) trước tiên ta giải phương trình f(x) = g(x) để tìm nghiệm x1 < x2 < x3 Khi x3 S= ∫ f ( x ) − g ( x) dx = x1 x2 ∫ x1 x3 f ( x ) − g ( x) dx + ∫ f ( x) − g ( x ) dx x2 D = {y = f(x), trục Ox, x = a, x = b} Cho D quay xung quanh Ox vật thể b trịn xoay tích V = π ∫ y dx a D = {x = f(y), trục Oy, y = a, y = b} Cho D quay xung quanh Oy vật thể b trịn xoay tích V = π ∫ x dy a * Chú ý + D = {y = f(x), y = g(x), x = a, x = b} f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a ; b] b 2 VOx = π ∫  f ( x) − g ( x)  dx   a + Nếu hình phẳng D giới hạn nhiều đường ta tìm giao điểm đường chia hình phẳng D thành hình phẳng đơn giản cho vận dụng cơng thức B Bài tập Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ln x a) x = 1, x = e, y = 0, y = x b) y2 = 2x, y = x, y = y = c) y = - − x x2 + 3y = d) y2 + x – = x + y – = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = |x2 – 1| y = |x| + b) x = y , x + y – = y = c) y = x, y = y = – x d) y = x2, y = x2 v y = x Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng Bi Cho hm s y = Gọi (C) phần đồ thị hàm số ứng với x > A x B điểm (C) có hồnh độ a) Viết phương trình Parabol qua O, A B b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) Parabol Bài Cho hình phẳng giới hạn hai Parabol y2 = 2x x2 = 2y a) Tính diện tích hình phẳng b) Tính VOx VOy Bài a) Viết phương trình tắc (E) biết tiêu cự 8, tâm sai 4/5 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (E) câu a) tiếp tuyến (E) biết tiếp tuyến qua điểm A(0 ; 15 ) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x – 4x + tiếp tuyến kẻ từ điểm A( ; -1) Bài Cho hình phẳng D giới hạn y2 – 2y + x = x + y = a) Tính diện tích D b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài Cho hình phẳng D giới hạn y = 2x2 2x – y + = a) Tính diện tích D b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài Cho hình phẳng D giới hạn y = x2 – 2x y = -x2 + 4x a) Tính diện tích D b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài 10 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y = x2 (x > 0), y = -3x +10, y = a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bg y 61π VOx = π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3 x + 10 ) − 1 dx = a) (đvtt)    ( 10 − y ) =π∫ −   b) VOy ( y)  101π  dy = (đvtt) 54   O BÀI DIỆN TCH HèNH PHNG x Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thỵng THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRỊN XOAY I Mục tiêu dạy - HS nắm vững ý nghĩa hình học tích phân - HS nắm vững cơng thức tính diện tích, thể tích - HS giải thành thạo toán liên quan II Nội dung dạy A Lí thuyết Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a x = b b cho công thức sau S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x = g(y), y = a y = b b cho công thức sau S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy a B Bài tập Bài 11 Cho hình phẳng D giới hạn y = x2 y = x2 + c) Tính diện tích D d) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành e) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài 12 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P): y = 2x – x2 trục Ox a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bg y A 16π a) VOx = π ∫ ( x − x ) dx = 15 (đvtt) b) y = 2x – x2 ⇔ x = ± − y ⇒ cung OA có pt: x = − − y cung AB có pt: x = + − y ( VOy = π ∫  + − y   ) − (1− 2 O 8π − y  dy = (đvtt)   ) x B -1 y Bài 13 Cho hình phẳng D giới hạn y = |x2 – 4x + 3| y = x + a) Tính diện tích D b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành Bg -3 O -1 x Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng a) S = 109/6 (đvdt) Bài 14 Cho hình phẳng D giới hạn y = x2 x = -y2 a) Tính diện tích D b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối trịn xoay tạo thành c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài 15 Cho hình trịn tâm I(2 ; 0) bán kính R = Tính thể tích hình trịn xoay sinh hình trịn quay xung quanh: a) Ox b) Oy Bài 16 Cho Hình phẳng D giới hạn (E): ( x − 4) y + = 16 a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài 17 Cho hình phẳng D giới hạn (P): y2 = 2x (C): x2 + y2 = (P) chia đường trịn thành hai phần, tính diện tích phần y  y2  S = ∫  − y − ÷dy = 2π + (đvdt)  0 2 S2 S1 Ta có: S1 + S = π ( 2 ) = 8π ⇒ S1 = 6π − (đvdt) O 2 x -2 Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = − 2sin y = − 2sin S= 3x = cos x π 3x 12 x π , y = 1+ ,x = π y 7 +1 π × − 3∫ cos xdx = 2π − (đvdt) 2 O π π π x Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng 27 x2 y= Bi 19 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P1): y = x ; (P2): ; (H): y = x 27 c) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành d) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bg y HD cách vẽ (H) (P1) ∩ (H) = A(3;9); (P2) ∩ (H) = B(9;3) P1 (H) (P1) ∩ (P2) = O(0;0) 9/2 VOx = 583π (đvtt) 3 P2 VOy = π ( 81 + 27 ln 3) (đvtt) O BTVN Bài 20 Cho hình phẳng D giới hạn y = sin|x| y = |x| - π a) Tính diện tích D b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Bài 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 x ... phân hàm số lượng giác - Có nhìn tổng qt tích phân hàm số lượng giác II Nội dung dạy C Lí thuyết D Bài tập * Một số tích phân khác Bài Tính tích phân sau: 1) ∫ sin xdx 2) ∫ cos xdx Bài Tính tích. .. hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thỵng I Mục tiêu dạy - HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần, bảng nguyên hàm - HS nắm vững phương pháp tính tích phân. .. cos x − TÍCH PHÂN CC HM S Vễ T e ữ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Lê Văn Lục THPT Đoàn Thợng A Mc tiờu bi dy - HS nm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hố tốn tích phân, bảng