Đại số Các chủ đề Toán thức Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC A KIẾN THỨC CẦN NẮM: 2) 1) A2  A 3) A.B  A B  A 0, B 0  5) A2 B  A B  B 0  7) A  B B  AB 0, B 0  9)  A 0 A  B 0    B 0 AB  M A B M  A B A B 11) A xác định A 0 A A   A 0, B 0  B B  A2 B  A 0, B 0  6) A B   A2 B  A  0, B 0  4) A A B  B B 8)  A 0 hay B 0 A B A B  10)   B  0  A 0, B 0, A B  12) Công thức phức tạp: A  A2  B A  13) Biến đổi bậc lẻ: k  N A2  B A B  k 1 A2 k 1  A k 1 AB 2 k 1 A.2 k 1 B  A  0, B  0, A A2 k  A 2k AB 2 k A k B  AB 0   B k 1 A k 1 A  B k 1 B k 1 A2 k 1.B  A.2 k 1 B 14) Biến đổi bậc chẵn: k  N 2k  B 0  2k A 2k A  B 2k B 2k A2 k B  A k B  AB 0, B 0   B 0  15) Giả sử a, b 0 Với n  N ; n 2 , ta có: n a  n b  a b  a n b n n a  n b  a  b  an  bn 16) Một số đẳng thức cần nhớ thêm:  a b  c  a  b  c 2ab  2bc 2ac 2 a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a     17) Một số dạng bình phương đặc biệt thường gặp: 2 4  1     1    3    2  Trường THCS Long Hòa Trang Đại số Các chủ đề Toán thức  15   5 2 20  5 2 3 2 Chú ý: Khi rút gọn biểu thức chứa bậc hai:  Trước tiên cần tìm điều kiện xác định thức phân thức  Kết rút gọn để dạng tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể toán B MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức P Phương pháp giải: Một số phương pháp sau tham khảo để giải toán:  Dùng phép biến đổi thức thơng thường SGK  Tính P từ âm, dương P mà suy P  Nhân thêm lượng tính P 2, P 3, suy P  Đặt ẩn phụ  Sử dụng đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức M     Cách 1: Dùng phép biến đổi thông thường: 82  Ta có: M      8 7 1   2 71   2 Cách 2: Tính M  M Ta có M           2  2 Suy ra: M  Cách 3: Trong có  7;  7; 42   7 9 32 nên ta tính M Dễ thấy M >  Ta có: M      8        8  2 Suy M  Cách 4: Trong có 42  9  nên ta dùng cơng thức phức tạp Ta có: M  4  4   16   16     16          2    2  16       2 Trường THCS Long Hòa Trang Đại số Các chủ đề Toán thức 230  220 222  212 Ví dụ 2: Tính N  Ta dùng phép biến đổi thông thường 220  210  1 230  220  28 24 16 Ta có: N  22 12  12 10 2   1       Tính N Ví dụ 3: Cho N 99 9400 09 10 chỉs¯ 10 chỉs¯ Ta dùng phép biến đổi thơng thường kết hợp với đẳng thức để giải tốn Ta có:     N  99 9400 09  99 94 x 100 9                    10 chæs¯ 10 chæs¯  10 chæs¯   11 chæs¯   99 97  99 97       99 97    99 972 Suy N 99999999997 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức A  x  x   x  x  Đối với tốn trước tiên ta nên tìm điều kiện xác định biểu thức  x  0  x  x  x  Điều kiện xác định A là:  Cách 1: Ta tính A Ta có: A  2x  2x   2x  2x   x   2 x  1  x   2 x  1      x  1    x  1   2x   2x   Nếu x 1 A  x      x   2 Do A   x  A  x     2 2x  A  4x  2 Cách 2: Tính A2 Nếu  x  2 x  Do  x 2x  x  Ta có:    A2  x  x   x   2x    2x   2 x  x  x  2 x  x  Trường THCS Long Hịa Trang Đại số Các chủ đề Tốn thức Nếu x 1 A   A 0   x  A2 4 x  , A  x  2 Nếu Cách 3: Đặt ẩn phụ: Đặt x   y 0 , ta có x   y Ta có: 2x  2x   A y 1  y    2x  2x   y 1  y y 1 y   2  y   y 1  2 1 Với  y  (tức x  ) A   y   y  1  y  x  2 2 Cách 4: Dùng cơng thức phức tạp (vì x  x  0 ) Với y 1 (tức x 1 ) A  Ta có:  x  x2  x 1 x A     x  x       x  x2  x 1     x x  x     x x Nếu x 1 A  2x   4x  Nếu x  A 2 2 2 Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức A     Cách 1: Ta có:   1   3 1   2 3 1  3 1   2 3 3 1  1  Vậy A = Cách 2: Tính A3   Ta có: A 7     3        14  A Ta có phương trình: A3  A  14 0  A3   A  0   A    A2  A     A   0   A    A2  A   0  A 2 Trường THCS Long Hòa Trang Đại số Các chủ đề Toán thức Bài tập tự luyện: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau tính: 1/    20 2/    3/ 2 2  2 2 4/ 1 1    3 3 5/ 2  2 42 2 2 4 8/ C   10   7 3  7 31/ 12  140  32/ 11/ 12  29  12  29 12/ 2010  2009  13/ 76  42  76  42 14/ 4  28  14    36/    10    0,  37/  15 50  200  450  : 10 35/ 16/ 10  24  40  60 17/  24  32  48 38/ 18/ 2   13  48 3 2 29  12 Bài 2: Tính A biết: a/ A 13  42 Trường THCS Long Hòa  2  1 39/   10  19/   20  40 5    15  10 34/ 4      15    1 5 33/ 11   2009 15/  2  56  81 21/ 30/ 14   10/ 16  20/     29/  28  7 7   11 27/ 10  21  28/  24  7/ B    29  12 9/ D   26/  15  6/ A   2      :  12   15   23/    3   1  2 2  24/    2  2  10    25/ 5 1 1      22/  40/ 1 1  2 3 2 3 41/ M  b/ A 46  2  2  2 2 2 c/ A 12  15 Trang Đại số Các chủ đề Toán thức Bài 3: Rút gọn biểu thức sau tính giá trị biểu thức (nếu được) 2 16/ 1/ a  b  b  a , a b        1 a a   1 a   a   2/   ,  1 a   1 a   3/   a 1  a 1 : a   a  a 1   a a x   4/ x 2 x  x  3 x 17/  a    M     :  ,  a  a  a   a 1 a   5/ x2 x  x x 6/ 1 1 x  1 x     x2 7/ x 3  x   x 8 6 x   a 3     x    18/ A  x  2 x   x  2 x  19/ B   a  a  a  1  a 8/  x  x  x  9/ x   16 x  56 x  49,  5 10/ 15a  8a 15 16,  a    3   7 11/ 35a  10 35.a  25,  a      12/ 3x  27  x  3x , x 3   20/ C    1 2x 1 2x 3  ,  x   14/   x 1   x  2  15/ A 4 x  x  12 x  4,  x   7  x   x2  2x   x2  21/ D   x  3 x  12 x  12 M 15  33  x  48, 121 13/ x  10   15  a a  x 3  x y x y  x  y  xy  B    :   ,   xy  xy   xy      x  2   22/ P  x2  5x   x  x 3x  x   x    x 1 x x x 23/ Q x  x2  y2  x x2  y2 2 x  y 24/ A  , x  y 0 x2 x  x x x  2x   x  2x   2x  Bài 4: Cho biểu thức A 5 x  x   x  a/ Rút gọn biểu thức A; b/ Tìm giá trị x để A   x1  Bài 5: Cho biểu thức B   x 1 x 1   x      x  1  x a/ Rút gọn biểu thức B; Trường THCS Long Hòa Trang Đại số Các chủ đề Toán thức b/ Tìm giá trị x để A 2 x  x  3  x  1   x  3 Bài 6: Cho biểu thức C   x  1  x  3 a/ Rút gọn biểu thức C; b/ Tìm giá trị biểu thức x   2 c/ Tìm giá trị x để P >  x  4x2  x  3x  x D    Bài 7: Cho biểu thức  : 2   x  x  x  x  2x a/ Rút gọn biểu thức D; b/ Tính giá trị biểu thức D x  2 Bài 8: Cho biểu thức E  x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x1 a/ Rút gọn biểu thức E; x b/ Tìm giá trị x để số nguyên E Bài 9: Rút gọn tính giá trị biểu thức M  Bài 10: Cho biểu thức A   x  4 x thỏa x  10 x  x  20 x2   x 3 x  x  x  a/ Rút gọn biểu thức A; b/ Tính giá trị biểu thức A x  ; 2 c/ Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x   x2  x2 ,b  ,  x 1 Bài 11: Cho a  x x   x2 a b Hãy tính giá trị biểu thức P   ab Bài 12: Cho biểu thức Q  x2  4x   1, x  x 2  a/ Rút gọn biểu thức Q; b/ Tính giá trị biểu thức Q x 5 Bài 13: Cho biểu thức: C  Trường THCS Long Hòa 3x  x   x x  x 1 x  x  1 x Trang Đại số Các chủ đề Toán thức a/ Rút gọn biểu thức C; b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức C nhận giá trị nguyên  x 2 x   Bài 14: Cho biểu thức: D  x 2  2 x a/ Rút gọn biểu thức D; b/ Tìm giá trị x để biểu thức D>; c/ Tìm x để D  x  Bài 15: Cho biểu thức: B  2x   x  x 6 4x  x    3 x    :   x   2 x x  2 x  x 1  x  3 x a/ Rút gọn biểu thức B; b/ Tìm giá trị x để biểu thức B đạt giá trị nguyên; c/ Tìm x để B <  Bài 16: Cho biểu thức: A     a   a   :   a    a  a a  a  a   a/ Rút gọn biểu thức A; b/ Tìm x để A > 1; c/ Tính A a 6   Bài 17: Cho biểu thức: P   x x  x    x      x x 2   x  x  a/ Rút gọn biểu thức P; b/ Tìm P với x 3  2 Bài 18: Cho biểu thức: A  x   x  x2 1  x , xR Xác định giá trị x để biểu thức A nhận giá trị số tự nhiên Bài 19: Rút gọn biểu thức: 1 1     1 2 2009  2010 2010  2011 1 1     2/ B  1 2 2009  2010 2010  2011 1/ A  3/ A   20092  20092 2009  20102 2010 Bài 20: Cho biểu thức: A  x  x2  2x x x2  2x  x x2  2x x  x2  2x a/ Tìm điều kiện xác định biểu thức A; b/ Rút gọn biểu thức A; Trường THCS Long Hòa Trang Đại số Các chủ đề Tốn thức b/ Tìm x để A < Bài 21: Cho biểu thức: A   1  , a 0 a  a  1 a/ Rút gọn biểu thức A; b/ Áp dụng tính tổng sau: B  1 1 1 1 1          1  2 2 2 2009 2010 2010 20112 Bài 22: a/ Nêu cách tính nhẩm 997 b/ Tính tổng chữ số A biết Bài 23: Cho biểu thức M  A 99 96 (100 chữ số 9) a 6 a 1 a/ Tìm giá trị nguyên a để biểu thức M nhận giá trị nguyên b/ Chứng minh a  M nhận giá trị nguyên c/ Tìm giá trị hữu tỉ a để M nhận giá trị nguyên Bài 24: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau:    y  1      x 2    :        ,  a/ C    x xy xy   x y  x  y  xy y     y 2   x  y      1  a2  b2   :  , x  ,b  a  b/ A     2ab x 1   x  x 1   x 2a  x  1 a a  B  , x    c/  ,0  a 1 2 a  a   x2  x x  d/ M  a  b   Bài 25: Cho a  a  1  b  1 c  1    a, b.c   ,    ab  bc  ca 1  1  1 Tính a  b7 (khơng dùng máy tính bỏ túi) , b 2 Hướng dẫn: Áp dụng công thức: a n  b n a n  b n  a k b n  k  a n  k b k   a k b n  k  a n  k b k   a k  b k   a n  k  b n  k    a k b n k  a n  k b k  a  b7  a3  b3   a  b   a 3b3  a  b  Bài 26: Cho biểu thức M  Trường THCS Long Hòa a 2 x 6 , N a x 1 Trang Đại số Các chủ đề Toán thức a/ Tìm giá trị nguyên a để biểu thức M, N đạt giá trị nguyên; b/ Tìm giá trị hữu tỉ a để biểu thức M, N đạt giá trị nguyên Bài 27: Tính giá trị biểu thức sau: 1/   10  2/ 42 3 10  3/    4/ 45  29  45  29 5/ 1620  12 17457  1620  12 17457 6/   48  7/ x 2 28  16   48   x    x , x 0 Cơng thức bổ trợ: n  A , nªu n chần An A, nêu n lở   n n A A m n A n m  A  A 0,n m  Bài 28: Tính giá trị biểu thức sau: 1/ 4  4  4  4 3 1 1 2  2/ 3 1 1 1 1 2 Dạng 2: So sánh chứng minh biểu thức chứa thức: Phương pháp giải: Dùng phép biển đổi thông thường SGK So sánh lũy thừa (bình phương, mũ ba, …) Bình phương vế Dùng bất đẳng thức So sánh thông qua trung gian Thông qua hiệu thương hai số A, B ta so sánh A B Ví dụ 1: Cho số thực x 0 Hãy so sánh x với x Vì x 0 nên x 0 Ta chia làm ba trường hợp: Trường THCS Long Hòa Trang 10 Đại số TH1: TH2: Các chủ đề Toán thức  x 0 x x  x x    x 1 x  x  x  x  x  x   x   x    x  x 0 TH3: x  x  x  x  x  x   x   x     x  Vậy: x = x = x x , x > x  x , < x < x x Ví dụ 2: So sánh hai số sau: a   a  3; a   a   Cách 1: Ta so sánh bình phương:   a 1   4  a   4a  a   2a    a   1  a   1 Ta có: a  2a   2  a  2   2a    a   4a  Vậy a   a   a  Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bouniakovski Nội dung bất đẳng thức sau: Với số thực a, b, x, y Ta có: ax  by   a  b   x  y  Dấu xảy a b  x y Trong trường hợp này, ta chọn a 1; b 1; x  a 1; y  a  Bài giải: a   a    12  12    a  1   a  3  2 a  Dấu khơng xảy Vậy a 1 a 3  1 a 1  a   a  Ví dụ 3: So sánh  15 65  (khơng dùng máy tính bỏ túi) Ta so sánh qua trung gian Ta có:  15   16 7 65   64  7 Vậy  15  65  Ví dụ 4: Khơng dùng máy tính bỏ túi, chứng minh:   Ta có:   80  18  81  16 9  5 Ví dụ 5: Cho biểu thức 1 1     1 2 119  120 120  121 1 1 B     34 35 A Chứng minh rằng: A < B Trường THCS Long Hòa Trang 11 Đại số Các chủ đề Toán thức Giải: Trục mẫu khử liên tiếp ta A = 10 Để tính B, ta biển đổi dạng biểu thức A phương pháp “làm giảm” Ta có: 2   2 2 34 35 2 2      1 2 34  34 35  35 2 2 B     1 2 34  35 35  36 B B2      1     36  35 2   1 10 Vậy A < B 2 1  Ví dụ 6: So sánh hai biểu thức sau: A  11  96 ; B  Ta có: A  11  96  2  B  2 1  1 A  B 2    1 2   3  1  2  2 1   2  1  2  1 Vậy A > B Bài tập tự luyện Bài 1: Khơng dùng máy tính bỏ túi bảng bậc hai, so sánh số sau: 13  b/ 11 c/ 26  17 10 5 5    d/ A  40 1 2  98  99 99  100 7 7      e/ 70 99 100 f/  2 g/  h/  16 i/ 11  j/ 2009 2011 2010 k/   l/ 15  17 a/ Trường THCS Long Hòa Trang 12 Đại số Các chủ đề Toán thức m/ 2009  2011 2010 n/ 2011  2010 2010  2009 o/ 3 23 p/ 3 1333 33 2 Bài 2: Cho B  2010   2009  1; C  2.2009 20102   20092  Hãy so sánh B C Bài 3: n  N , chứng minh rằng: a/  n  1 b/  2  n  n  1  n n 1  n   2n  1    2n  1 1 Bài 4: Chứng minh rằng: a b  ab ,  a, b 0  Dấu “=” xảy nào? (Bất đẳng thức cô-si (Cauchy)) a b a b  ,  a, b 0  b/ 2 c/ a  2,  a   a a/ Bài 5: Chứng minh: a/ x yy x  x xy y   x  y,  x  0, y   x3   x  x  1,   x 1 b/ x1 c/ a  b  c  ab  bc  ca ,  a, b, c 0  Bài 6: Chứng minh rằng: x  y  z  3xyz  2  x  y  z    x  y    y  z    z  x   Từ chứng tỏ x3  y  z  xyz a/ với x, y, z 0 a b c  abc , dấu “=” xảy a = b = c (BĐT Cauchy) b/ Với a, b, c 0 Bài 7: Cho a, b, x, y  , chứng minh rằng: ax  by   a  b   x  y  (Bất đẳng thức Bouniakovski) Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: n  a  n  a  n ,  a n Áp dụng: chứng minh rằng: 101  99  0,1 (khơng dùng máy tính bỏ túi) Bài 9: Chứng minh rằng: Trường THCS Long Hòa  n 1   n  2 n  n  n  , n N* Trang 13 Đại số Các chủ đề Toán thức 1    , chứng minh 18 < S < 19 100  n 1  n ,  n  N  Bài 10: Chứng minh rằng: n 1 1     100 Áp dụng: Chứng minh rằng:  2500 Bài 11: Cho A  x    x , chứng minh A 4  m  n  mn Bài 12: Chứng minh rằng: m  n  mn Áp dụng: Cho S 1  Áp dụng: Tính 10 2 5 Bài 13: Chứng minh rằng: S  Áp dụng: Tính S   n  1 1   n  n n 1 n , n 1  n N  * 1   1  2011 2010  2010 2011 Bài 14: Cho A  60  60   60 Chứng minh < A < tìm  A (phần nguyên A) Bài 15: Cho A  20  20   20 , B  24  24   24 Chứng minh  A  B  tìm  A  B  Một số toán dạng khác: Bài 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: 1/  x 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ x 5x2   4x2  4x  1 x  x 1 x 2x  1 1 x2  Bài 2: Cho hai số có tổng 19 hiệu 17 Hãy tính tích hai số Bài 3: Chứng minh với a b 0, a  b  a  b , " "  a b Áp dụng: Tìm giá trị lớn biểu thức A  x   x  Bài 4: Chứng minh với a, b 0, a  b  a  b , " "  ab 0 Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x    x Bài 5: Tìm hai số x, y biết x  y  12 4 x  y  Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức Trường THCS Long Hịa Trang 14 Đại số Các chủ đề Tốn thức Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết:  x  y  z  , a  b  c 3 b/ x  y  z  35 4 x   y   z  2 n  n Bài 7: Chứng minh n   n  n 1    Áp dụng: Cho S 1  Chứng minh 86 < S < 89 2010  n 1  n ,  n  N  Bài 8: Chứng minh n 1 1     100 Áp dụng: Chứng minh S 1  2500 Bài 9: Cho x  y 10 Chứng minh x  y 20 a/ x a  y b  z c      Bài 10: Trục mẫu thức biểu thức sau: (a, b, c > c trung bình nhân a b) a  b  2c ,  a, b, c, d  0; ab cd ; a  b c  d  b/ B  a b c d Bài 11: Tìm số tự nhiên x y cho x > y > thỏa x  y  931 a/ A  1 1 1  2    a b c a b c Bài 12: Cho a, b, c 0; a  b  c 0 Chứng minh rằng: Áp dụng: Cho x  y  z Chứng minh  x  y   y  z   z  x  1   x y y z z x Bài 13: Cho a, b, c, d  Chứng minh tồn số dương hai số 2a  b  cd 2c  d  ab Trường THCS Long Hòa Trang 15 Đại số Trường THCS Long Hịa Các chủ đề Tốn thức Trang 16 ...  Bài 7: Cho biểu thức  : 2   x  x  x  x  2x a/ Rút gọn biểu thức D; b/ Tính giá trị biểu thức D x  2 Bài 8: Cho biểu thức E  x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x1 a/ Rút gọn biểu. ..  1, x  x 2  a/ Rút gọn biểu thức Q; b/ Tính giá trị biểu thức Q x 5 Bài 13: Cho biểu thức: C  Trường THCS Long Hòa 3x  x   x x  x 1 x  x  1 x Trang Đại số Các chủ đề Toán thức. .. Rút gọn biểu thức C; b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức C nhận giá trị nguyên  x 2 x   Bài 14: Cho biểu thức: D  x 2  2 x a/ Rút gọn biểu thức D; b/ Tìm giá trị x để biểu thức D>;