Đang tải... (xem toàn văn)
Kĩ năng: Biết vận dụng định lý trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh hai đường thẳng vuông góc.. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh a.[r]
(1)Định lý Con nhím và ứng dụng giải toán hình học phẳng Trần Mạnh Sang Mục tiêu Sau bài này, học sinh cần nắm a Kiến thức: Biết định lý Con nhím và cách chứng minh định lý b Kĩ năng: Biết vận dụng định lý việc giải số bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh hai đường thẳng vuông góc Chuẩn bị giáo viên và học sinh a Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, số bài tập cho học sinh b Học sinh: Ôn lại định nghĩa và tính chất vecto, các phép toán: Cộng, trừ vecto, nhân vecto với số, các quy tắc tìm tổng hai vecto Dự kiến phương pháp giảng dạy Vấn đáp, gợi mở, trực quan, thuyết trình Tiến trình dạy học Thực bài học tiết Tiết Có nhiều bài toán hình học phẳng mà giải theo phương pháp hình học thúy thì khó khăn Tuy nhiên, sử dụng công cụ vecto thì việc giải bài toán trở lên đơn giản Một các định lý vecto có ứng dụng lớn là định lý Con nhím Chúng ta cùng nghiên cứu định lý Con nhím và các ứng dụng nó Trước hết chúng ta cùng nhắc lại số kiến thức vecto: Định nghĩa , phép cộng , trừ hai vecto, nhân vecto với số, các quy tắc hình bình hành, quy tắc điểm Ta đến với hai kết quan trọng sau: 1.Cho A ABC và điểm M thuộc cạnh BC Khi đó ta có: MC MB AM AB AC A BC BC Chứng minh Kẻ MN song song với AB N Theo định lý Talet, ta có: AN MC AB BC suy MN MB AC BC AN NM AN MC AB AB AB BC MN MB AC AC AC BC Ta có: MC MB AM AN NM AB AC BC BC Lop10.com C M B (2) 2.Cho A ABC với BC a, CA b, AB c Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó: aIA bIB cIC Chứng minh Kẻ phân giác AA’, BB’, CC’ góc A, B, C Việc tính tổng nhiều vecto, chúng ta thường có bước tổng hợp cặp vecto Ta dựng hình bình hành ANIM cho C’ thuộc IN và B’ thuộc IM Khi đó AI AM AN A Áp dụng định lý Talet ta có AM AB ' AB c IC B ' C CB a AN AC ' AC b IB C ' B CB a M B' N C' I Hay c AM a IC AN b IB a B A' C Suy c b AI IC IB a a aIA bIB cIC Chúng ta đến với bài toán sau: Bài toán: Đường tròn tâm I nội tiếp A ABC , tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB M, N, P Chứng minh rằng: aIM bIN cIP Chứng minh Tacó biến đổi: A aIM bIN cIP a IA AM b IB BN c IC CP aIA bIB cIC a AM bBN cCP a AM bBN cCP N MC MB AN CN a AB AC b BC BA a b a b BP AP c CB CA c c MC CN AB AN AP BC BP MB CA Ta có điều phải chứng minh Lop10.com P I B M C (3) Chúng ta cùng đến với kết chính phần này Định lý Con nhím: Cho đa giác lồi A1 A2 An và ei 1 i n là vecto đơn vị vuông góc với Ai Ai 1 ( xem An 1 A1 ) và hướng ngoài đa giác Khi đó ta có đẳng thức: A1 A2 e1 A2 A3 e2 An A1 en Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp Với n=3, ta xét định lý tam giác ABC Định lý đúng bài toán trên Giả sử định lý đúng với n=k, ta xét với n=k+1 Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với A1 Ak và hướng ngoài tam giác A1 Ak Ak 1 Trong tam giác A1 Ak Ak 1 , ta có: A1 Ak e Ak Ak 1 ek Ak 1 A1 ek 1 Theo giả thiết quy nạp, đa giác A1 A2 Ak ta A_ có k+ A1 A2 e1 A2 A3 e2 Ak 1 Ak ek 1 Ak A1 (e) A_ Suy A1 A2 e1 A2 A3 e2 Ak Ak 1 ek Ak 1 A1 ek 1 Vậy định lý chứng minh A_ Chúng ta đến với số bài tập áp dụng Bài 1: Với J là điểm A ABC Hạ JM, JN, JP vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng: a b c JM JN JP JM JN JP Bài tập là bài tập đơn giản, nhận mạnh với chúng ta rằng, vecto xét đây là vecto đơn vị Từ hệ thức trên ta thấy, các vecto IM , IN , IP có cùng độ lớn thì ta có hệ thức: aJM bJN cJP Bài 2: Cho A ABC , I là tâm đường tròn bàng tiếp ACB tam giác Gọi M, N, P lần lượt là hìnhchiếu vuông góc I trên các cạnh BC, AC, AB Chứng minh rằng: bIN cIP a aIM b aIA bIB cIC Chứng minh Lop10.com A_ k (4) C Bài tập nhấn mạnh cho chúng ta điều: Vecto đơn vị có hướng ngoài đa giác a Xét A ABC , có IP AB IN AC IM BC IP IN IM Và có IP hướng vào tam giác, ta phải chọn IP Áp dụng định lý nhím cho A ABC , ta có: aIM bIN cIP b aIA bIB cIC A P B M N I Tacó: aIA bIB cIC a ( IM MA) b( IN NB ) c( IP PC ) aMA bNB cPC Ta có: BM CB AB AC AM CM CM BM CM BM CM AM AC AB AC AB CB CB a a Tương tự ta có: AN CN BN BC BA b b Vậy aMA bNB cPC ( BM AC CM AB ) ( AN BC CN BA) ( AP.CB BP.CA) Chúng ta kết thúc bài toán Tiết Bài 3: Cho A ABC không đều, BC là cạnh nhỏ Đường tròn nội tiếp tâm I tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB X, Y, A Z G là trọng tâm A XYZ Trên các tia BA, CA lấy các điểm E, F cho: BE=CF=BC Chứng minh rằng: IG EF e E Chứng minh F Với bài toán sử dụng vecto để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta thường chứng minh Y vecto có giá là hai đường cùng phương với vecto vuông góc với đường còn lại Z G I Lop10.com B X C (5) Gọi e là vecto vuông góc với EF, có độ dài IX và hướng phía ngoài tứ giác BCFE Áp dụng định lý connhím cho tứ giác BCFE, ta có BC.IX FC.IY EB.IZ EF.e BC IX IY IZ EF.e 3.BC.IG EF.e Hay IG cùng phương với e Suy IG EF Nhận thấy, với phương pháp vecto, chúng ta không cần thiết phải xác định điểm G trên hình vẽ mà giải bài toán Chúng ta đến với số bài tập tương tự Bài 4: Cho A ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM DE Chứng minh Xét tam giác EAD, ta có: D AB AD AC AE Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với ED và hướng phía ngoài tam giác EAD Áp dụng định lý nhím A EAD ta có: AD AE AB AC ED.e AB AC E A Do ta có hai tam giác ABD và ACE cân A nên AE AC và AD=AB Vậy ta có: AB AC ED.e AM ED.e Hay AM cùng phương với e , suy AM DE C M B Bài 5: Cho A ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O D là trung điểm AB và G là trọng tâm A ACD Chứng minh rằng: A OG CD Chứng minh Gọi E là trung điểm đoạn AC OD AB Nhận thấy , A ADC , có OE AC OD OE D G E O Vậy ta có thể áp dụng định nhím cho A ABC v B Lop10.com C (6) Gọi vecto v vuông góc với DC, có hướng phía ngoài miền tam giác ADC và có độ lớn OD Áp dụng định lý nhím cho A ABC , ta có: AD.OD AC.OE DC.v AC.OD AC.OE DC.v AC.OD AC OA OC DC.v 2 AC OD OA OC DC.v AC.OG DC.v Suy OG cùng phương với v , hay OG CD Ta nhận thấy, muốn ứng dụng phương pháp vecto vào việc chứng minh đường thẳng vuông góc thì chúng ta phải gắn đường vào cạnh đa giác Ta đến với bài toán Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD K là hình chiếu vuông góc B trên AC M, N là trung điểm AK và CD Chứng minh rằng: BM MN Chứng minh Bài toán đưa yêu cầu chứng minh BM MN Ta xem xét để tìm A đa giác chứa hai đường và chúng ta có thể áp dụng định lý nhím cho đa M giác đó Nhận thấy, BK MC và BC NC , ta có thể áp dụng định lý nhím cho A MNC K Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với MN và N D có hướng phía ngoài A MNC Áp dụng định lý nhím cho tam giác MNC, ta có MC NC BK BC MN e (1) BK BC MC NC BK BC theo MB Ta phải tính BK BC KC KM BM BC Nhận thấy BK MC MC Kết hợp với (1), ta có MC KC KM NC BM BC BC MN e 0 BK MC MC BC MC KC MC KM NC BM BC BC MN e BK MC BK MC BC KC KM NC BM BC BC MN e BK BK BC Lop10.com B C (7) Ta có: cot BAC AK MK AB NC BK BK BC BC Hay MK NC BK BC Vậy ta có KC BM MN e BK Suy BM cùng phương với e , hay BM MN Tiết Bài 7: Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc các cạnh BA, BC saho cho BM=BN H là hình chiếu vuông góc B trên CM Chứng minh DH HN Bài 8: Cho A ABC cân A.H là trung điểm BC, D là hình chiếu H trên AC, A M là trung điểm HD Chứng minh rằng: AM BD Ta xét A BHD , có AH BH AD HD e là vecto đơn vị vuông góc với BD, hướng D ngoài M B C H Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD h , cạnh đáy AB a, CD b a b Tìm mối liên hệ a, b, h cho: a AC BD b BD AM, đó M là trung điểm BC c BD CI với I là trung điểm AD A d AC BI a B Giải a Xét A ADC h M Có AB AD BD AC BH DH E D Theo định lý Con nhím, có AD AC DC BA BD BH BA BD BH Ta có nhận xét: BD BA BH Suy ra: Lop10.com b H C F (8) AD AC DC BA BD BH Hay h h2 b2 b a h2 a h h ab Bài toán này cho ta điều kiện để hai đường chéo hình thang vuông vuông góc với nhau, đó là : Bình phương đường cao tích hai đáy b BD AM Câu b, chúng ta áp dụng câu a để giải toán Tuy nhiên ta phải tìm hình thang vuông có hai đường chéo song song trùng với hai đường thẳng BD và AM Kẻ HE song song với AM và cắt BD E Khi đó, tứ giác DEBH là hình thang vuông có hai đường chéo là BD và HE Ta có BD AM BD HE Theo câu a, ta có: DH DE.HB a DE.h h a2 a a a.cot EHD DE DE Kẻ AM cắt DC F, dễ thấy ABFC là hình bình hành nên CF a Suy cot EHD cot AFD Vì h a ab h a ( a b) h ab h Câu c và d chúng ta làm tương tự Bài toán đã giải Bài 10: Cho A ABC vuông A có AB c, AC b Tìm điểm D AC cho BD AM với AM là trung tuyến A ABC B P Giải Ta dựng tam giác có cạnh là hai đường, sau đó áp dụng định lý Con nhím cho tam giác đó M Dựng tam giác AMN, với N là hình chiếu M trên AC Kẻ BP MN BP MN Trong A AMN có BD AM BA AN A Áp dụng định lý Con nhím A AMN ta có: MN AN AM BP BA BD BP BA BD (1) Bên cạnh đó, D nằm A và N thì: Lop10.com D N C (9) DN AD BD BN BA AN AN Nên từ (1) ta có MN AN AM DN AM AD BP BA BN BA BP BA BD AN BD AN MN AN AM AD AM DN BP BN BA BP BD AN BA BD AN c b a AD a DN BP BN BA b BD b 2c BD b Do ta có: BN BP BA nên ta suy c b a AD a DN b 2c BD b BD b a BD DN c BD 2ac AD b 2c 2c DN AD b 2c Trường hợp b 2c thì N nằm ngoài A và N, ta là tương tự Bài toán giải Bài 11: Cho A ABC vuông A, gọi M là trung điểm BC Lấy các điểm B1 , C1 trên AB, AC cho AB AB1 AC AC1 Chứng minh rằng: AM B1C1 Chứng minh Ta dựng tam giác có cạnh là B hai đường trên Xét tam giác B1 AC1 , có AC1 MN AB1 MN1 Ở đây N1 , N là trung điểm AB, AC Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với B1C1 và hướng phía ngoài tam giác B1 AC1 Áp dụng định lý Con nhím cho tam giác B1 AC1 ta có: AB1 AC1 MN1 MN B1C1 e MN1 MN AB1 AC1 MN1 MN B1C1 e AC AB Do đề bài có: AB AB1 AC AC1 nên ta có Lop10.com B1 M N1 A C1 N2 C (10) AB1 MN1 MN B1C1 e AC AB1 MA B1C1 e AC Suy MA cùng phương với e , hay AM B1C1 Tiết Bài 12: Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Gọi E, F là trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: I, E, F thẳng hàng Chứng minh Ta có kí hiệu hình vẽ C Ta có nhận xét sau: z z t IM IB IC tz tz IN z ID y IC yz yz IP y IA x ID x y x y IQ x IB t IA xt xt M t B z t E I Q N F x Áp dụng định lý Con nhím cho tứ giác ABCD, ta có: A y x P y D t z IM z y IN y x IP x t IQ y t IA IC x z IB ID y t IE x z IF Suy IE cùng phương với IF hay I, E, F thẳng hàng Bài 13: Cho A ABC , điểm O miền tam giác Các điểm A1 , B1 , C1 là hình chiếu vuông góc O trên BC , CA, AB Lấy các điểm A2 , B2 , C2 thuộc các tia OA1 , OB1 , OC1 cho OA2 a, OB2 b, OC2 c Chứng minh rằng: O là trọng tâm tam giác A2 B2C2 Chứng minh Theo hình học túy, để chứng minh O là trọng tâm tam giác A2 B2C2 là không đơn Lop10.com B2 A B1 C2 C1 O B A1 A2 C (11) giản Chúng ta cùng đến với phương pháp vecto để giải bài toán trên Muốn chứng minh O là trọng tâm tam giác A2 B2C2 , ta cần chứng minh OA2 OB2 OC2 Thật vậy, ta có OA2 OB2 OC2 OA2 OB2 OC2 OA1 OB1 OC1 OA1 OB1 OC1 OA1 OB1 OC1 a b c OA1 OB1 OC1 0 ( định lý Con nhím A ABC ) Vậy O là trọng tâm tam giác A2 B2C2 Bài toán có thể mở rộng đa giác lồi Cho đa giác lồi A1 A2 An , điểm O miền đa giác Các điểm A1 ', A2 ', , An ' là hình chiếu vuông góc O trên A1 A2 , A2 A3 , , An A1 Lấy các điểm A1 '', A2 '', , An '' thuộc các tia OA1 ', OA2 ', , OAn ' cho OA1 '' A1 A2 , OA2 '' A2 A3 , , OAn '' An A1 Khi đó ta có O là trọng tâm đa giác A1 A2 An A1' A2 A1 A2' A4' O A4 A3 A3' Bài 14: Tìm tất điểm N A ABC thỏa mãn: NA1 NB1 NC1 , đó A1 , B1 , C1 là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BC, CA, AB Lop10.com (12) Chứng minh Nhận thấy, các vecto NA1 , NB1 , NC1 vuông góc với cạnh tam giác, vì ta có thể áp dụng định lý Con nhím A ABC Gọi e1 , e2 , e3 là các vecto đơn vị vuông góc với các cạnh BC, CA, AB và hướng phía ngoài A ABC Áp dụng định lý Con nhím cho có A ABC , ta ae1 be2 ce3 a b c NA1 NB1 NC1 NA1 NB1 NC1 A B1 C1 N B A1 N' A' C (Trực chuẩn hóa các vecto) Do N thỏa mãn NA1 NB1 NC1 nên ta có: a b c NA1 NB1 NC1 Lấy N1 đối xứng với N qua đường phân giác góc A, đó ta có Khoảng cách từ N1 đến AC NC1 , Khoảng cách từ N1 đến AB NB1 Suy SA AN1B SA AN1C Gọi A ' là giao đường phân giác góc A với BC Từ SA AN1B SA AN1C c.NA1.sin BAN1 b.NA1.sin CAN1 c.sin BAN1 b.sin CAN1 c.AA'.sin BAA ' b.AA'.sin CAA ' SA BAA' SA CAA' Suy A ' là trung điểm BC Hay AA’ là đường trung tuyến A ABC , N thuộc đường thẳng đối xứng với AA’ qua đường phân giác góc A Tương tự ta có: N là giao đường đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác góc Bài toán giải Kết luận bài học Qua bài học này, các em cần nắm định lý Con nhím, cách chứng minh và vận dụng giải số bài hình học phẳng Hầu hết các tính chất ta có hình học phẳng có thể mở rộng sang hình học không gian Các em biết Định lý Con nhím mở rộng không gian học vecto không gian phần hình học 12 Lop10.com (13)