ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x − π π   = ∈ −     sin ; ; 2 2 Đặt x a t với t π   = ∈   cos ; 0;hoặc x a t với t − 2 2 x a { } π π   = ∈ −     ; ; \ 0 sin 2 2 a Đatë x với t t π π         = ∈       ; 0. \ cos 2 a hoặc x vơiù t t + 2 2 a x π π   = ∈ −     tan ; ; 2 2 Đặt x a t với t π   = ∈   cos ; 0;hoặc x a t với t + − − + a x a x hoặc a x a x = cos2Đatë x a t − − ( )( )x a b x = + − 2 ( )sinĐatë x a b a t + 2 2 1 a x π π   = ∈ −     tan ; ; 2 2 Đặt x a t với t Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ Giải: Đặt x = cost, ; 2 2 t π π   ∈ −     ⇒ = − sindx t dt Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Đổi cận: Khi đó: 0 0 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 sin .sin 1 1 cos sin sin 1 1 cos cos cos cos (tan ) 1 .( 0; sin 0 sin sin ) 4 4 4 0 t t x t t t I dx dt dt dt dt x t t t t t t vì t nên t t t π π π π π π   − − = = − = = = −  ÷     = − = − ∈ ≥ ⇒ =     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tính 2 3 2 0 cos x I dx x = ∫ Giải: Đặt x=asint, ; . cos 2 2 t dx a tdt π π   ∈ − ⇒ =     Đổi cận: Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 4 4 4 4 2 2 2 0 0 sin (1 sin ). cos sin cos 1 sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 ) 2 4 8 8 4 16 0 a I x a x dx a t a t a tdt a t tdt a a a a td t dt t t π π π π π π = − = − = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 2 x 2 2 4 π t 1 0 x 0 a t 0 2 π ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Bài 3: Tính 1 2 2 0 1I x x = − ∫ Đặt x=sint, ; . cos 2 2 t dx tdt π π   ∈ − ⇒ =     Đổi cận: Khi đó: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 1 1 1 sin 1 sin .cos sin cos sin 2 4 4 1 1 1 (1 cos4 ) ( sin 4 ) 2 8 8 4 16 0 I x x dx t t tdt t tdt tdt t dt t t π π π π π π = − = − = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 4: Tính 1 3 2 0 1I x x dx = − ∫ Giải: Đặt 2 2 2 1 1t x t x xdx tdt = − ⇔ = − ⇒ = − Đổi cận: Khi đó: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 3 x 0 1 t 0 2 π x 0 1 t 1 0 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2) 2 4 0 0 0 0 1 2 1 1 (1 . . ( ) 3 5 15 0 t t I x x dx x x xdx t t t dt t t dt   = − = − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 5: Tính 2 3 ln e e dx I x x = ∫ Giải: Đặt ln dx t x dt x = → = Đổi cận: 2 2 3 3 4 1 2 1 15 ( ) 64 ln 4 1 e e dx dt Khi đó I x x t t = = = − = ∫ ∫ Bài 6: Tính 2 3 0 sin cosI x xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 4 x e e 2 t 1 2 x 0 2 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Khi đó: 1 2 3 3 0 0 1 sin cos 6 I x xdx t dt π = = = ∫ ∫ Bài 7: Tính 1 3 4 4 0 ( 1)I x x dx = + ∫ Giải: Đặt t = x 4 +1 3 3 4 4 dt dt x dx x dx ⇒ = ⇒ = Đổi cận: 1 2 3 4 4 4 3 0 1 2 1 1 31 ( 1) 4 20 20 1 Khi đó I x x dx t dt t   = + = = =  ÷   ∫ ∫ Bài 8: Tính 12 12 0 0 sin 4 tan 4 cos4 x I xdx dx x π π = = ∫ ∫ Đặt t = cos4x; 4sin4 sin4 4 dt dt xdx xdx ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: Khi đó: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 5 x 0 1 t 1 2 x 0 12 π t 1 1 2 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2 1 cos4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t x t t π π = = = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ . Bài 9: Tính 2 3 0 cosI xdx π = ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 3 4 2 2 0 0 0 cos cos cos (1 sin ) cos x xdx xdx x dx π π π = = − ∫ ∫ ∫ Đặt: t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 0 0 0 0 3 5 cos (1 sin ) cos (1 ) )1 2 ) 1 2 5 3 5 18 0 Khi đó I xdx x xdx t dt t t dt t t t π π π π = = − = − = − +   = − + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 10: Tính 4 4 0 1 cos I dx x π = ∫ Giải: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 6 x 0 2 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Đặt t=tanx; 2 1 cos dt dx x ⇒ = Đổi cận: Khi đó: 1 3 4 4 2 2 4 2 0 0 6 1 1 1 4 (1 tan ) (1 ) 3 3 cos cos 0 t I dx x dx t dt t x π π π   = = + = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 11: Tính 3 2 2 6 cos sin x I dx x π π = ∫ Giải: Đặt t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 2 2 1 cos (1 sin ) 1 1 1 1 cos ( 1) 1 2 sin sin 2 x x t Khi đó I dx xdx dt dt t t x x t t π π π π   − − = = = = − = − − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 7 x 0 4 π t 0 1 x 6 π 2 π t 1 2 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Bài 12: Tính 2 3 3 0 sin cosI x xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: Khi đó: 1 1 2 2 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 4 6 sin cos sin (1 sin )cos (1 ) ( ) 1 1 4 6 12 0 I x xdx x x xdx t t dt t t dt t t π π = = − = − = −   = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 13 : Tính 2 2 sin 0 sin2 x I e xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sin 2 x; sin2dt xdx ⇒ = Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 8 x 0 2 π t 0 1 x 0 2 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Khi đó: 2 1 2 sin 0 0 1 sin2 1 0 x t t I e xdx e dt e e π = = = = − ∫ ∫ Bài 14: Tính 2 2 0 sin2 1 cos x I dx x π = + ∫ Giải: Đặt t = 1+cos 2 x; sin2 sin2dt xdx xdx dt ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: 1 2 2 2 0 2 1 2 sin2 (ln ln2. 1 cos 1 x dt dt Khi đó I dx t t t x π = = − = = = + ∫ ∫ ∫ Bài 15: Tính 4 3 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Đặt t = tanx 2 2 2 (1 tan ) (1 ) 1 dt dt x dx t dt dx t ⇒ = + = + ⇒ = + Đổi cận Khi đó: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 9 x 0 2 π t 2 1 x 0 4 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- 1 1 1 1 1 3 2 2 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 ( 1) tan ( ) 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ln( 1) ln2 (1 ln2) 2 2 2 2 2 0 t t t t d t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t π + = = = − = = − = − + + + + = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 16: Tính 1 0 1 1 I dx x = + ∫ Giải: Đặt t = 2 ; 2x t x dx tdt ⇒ = ⇒ = Đổi cận: 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2( ln 1 2(1 ln2). 1 1 0 1 t Khi đó I dx dt dt t t t t x   = = = − = − + = −  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ Bài 17: Tính 1 3 3 4 0 1I x x dx = − ∫ Giải: Đặt 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 t x t x x dx t dt = − ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 10 x 0 1 t 0 1 x 0 1 t 1 0 [...]... 1+ x 0 1 + (x 0 3 e Bài 20: Tính I = ∫ 1 3 1 + ln x dx x Giải: Đặt t = ln(2-x) ⇒ dt = −dx 2−x x e 1 e t Khi đó: I = ∫ 1 1 2 1 + ln x dx = x Gv: Trần Quang Thuận 12 Đổi cận: 2 2 1 1 2 ∫ t.2tdt = 2 ∫ t dt = 2 t 3 2 2(2 2 − 1) = 31 3 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân -1 ln(2 − x ) dx Bài 21: Tính I = ∫ 2− x 0... giải tích phân -dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt = x x 1 t 1 Đổi cận: e 2 2 2 1 dt dx = ∫ = ln t = ln 2 Khi đó: I = ∫ x (1 + ln x ) t 1 1 1 e 1 ∫ 5 x3 Bài 25: Tính I = x e dx 0 Giải: 3 2 2 Đặt t = x ⇒ dt = 3x dx ⇒ x dx = x 0 1 t 0 dt 3 Đổi cận: 1 Khi đó: 1 1 1 1 1 t1 1 t e 1 1 1 t I = ∫ x e dx = ∫ te dt = te − ∫ e dt = − e t = 30 3 3 3 0 3 0 30 0 5 x3 Bài 26: Tính. .. 3 4 3 16 4 Bài 30: Tính I = ∫ 1 dx x (1 + x ) Giải: Đặt x = t 2 ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận 18 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân -x 1 4 t 1 2 Khi đó: 4 2 2 1 1  2tdt dt I=∫ =∫ 2 = 2∫ = 2∫  − ÷dt t(1 + t ) x (1 + x ) 1 t (1 + t )  t 1+ t  1 1 1 dx 2 = 2(ln t − ln t + 1 Bài 31: Tính I = 1... 16 π 2 3 Bài 32: Tính I = ∫ cos xdx π 6 Giải: π 2 π 2 π 2 π 2 π 6 π 6 π 6 π 6 I = ∫ cos3 xdx = ∫ cos2 x cos xdx = ∫ (1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ (1 − sin 2 x )d (sin x )  sin3 x  π 1 1 1 5 =  sin x − = ÷ = 1− − + 3 2 3 2 24 24  π 6 π 4 sin 4 x 4 0 sin x cos x Bài 33: Tính I = ∫ 4 Giải: Gv: Trần Quang Thuận 20 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân ... Phương pháp giải tích phân -π 2 π 2  sin x − cos x  − d (sin x + cos x ) π I = ∫ dx = −(ln sin x + cos x = ln 2 ÷ =∫ sin x + cos x 2 π  sin x + cos x  π 4 4 π 4 π 2 Bài 36: Tính I = sin3 xdx ∫ 0 Giải: π 2 π 2 π 2 π  cos3 x  1 2 I = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ (1 − cos x )d (cos x ) = −  cos x − ÷ 2 = 1− = 3  3 3 0 0 0  0 3 2 Bài 37 :Tính I = ∫... x ) + C = x + sin 2 x + C sin x  2  Bài 38: Tính I = sin 3x ∫ sin x dx Giải: sin3x 3sin x − 4sin3 x 1 dx = ∫ dx = ∫ (3 − 4sin2 x )dx = 3x − 2∫ (1 − cos2 x )dx = 3x − 2 x + 2 sin2x + C sin x sin x 2 = x + sin2 x + C I=∫ 1 Bài 39: Tính I = ∫ 0 x dx x4 + x2 + 1 Gv: Trần Quang Thuận 22 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân ... ÷ = − + = 11 10  0 12 11 10 660  12 12 11 Bài 42: Tính I = 10 π 2 dx ∫ 1 + cos x 0 Giải: Gv: Trần Quang Thuận 25 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân -x π π π d ÷ 2 2 2 2 dx dx x π I=∫ =∫ = ∫   = tan =1 x 1 + cos x 0 2 2 2 x 0 0 cos2 2 cos 2 2 0 1 ∫ Bài 43: Tính I = x 1 + 3x dx 15 8 Giải: 1 Ta có: ∫x... −a Bài 52: Tính I = 2 x +1 ∫ 3 0 3x + 2 dx Giải: t3 − 2 Đặt t = 3x + 2 ⇒ t = 3x + 2 ⇒ 3t dt = 3dx ; x = 3 3 3 Gv: Trần Quang Thuận 31 2 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân -x 0 t 3 Đổi cận: 2 2 2 t3 − 2 2 5 2 3 t 2 dt = 1 (t 4 + t )dt = 1  t + t  2 = Khi đó: I =  ÷ ∫ t 3 3∫2 3 5 2  3 2 3 2 2 Bài 53: Tính. .. Bài 46: Tính I = π 2 dx ∫ 1 + sin 2 x π 6 Giải: π 2 π 2 π 2 π 2 dx dx dx 1 dx =∫ =∫ = ∫ 2 2 2π  π π 1_ sin 2 x π (sin x + cos x ) π   π  cos2  x − ÷ 4 4 4  2 cos  x − 4 ÷ 4  4    I=∫  ππ 1 1 = tan  x − ÷ = 2 4 2 2  π 4 Bài 47: Tính I = π 4 cos2 x ∫ (sin x + cos x + 2) dx 0 3 Giải: Gv: Trần Quang Thuận 28 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích. .. x 0 Bài 22: Tính I = ∫ Giải:  π π ; ÷ ⇒ cos xdx = (1 + tan 2 t )dt  2 2 Đặt sin x = tan t với t ∈  − x t 0 π 2 0 π 4 Gv: Trần Quang Thuận 13 Đổi cận: Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân -Khi đó: I = π 2 π 4 cos x ∫ 1 + sin 0 π 2 2 x π 4 1 + tan t π dt = ∫ dt = 2 4 0 1 + tan t 0 dx = ∫ 2 1 dx sin x Bài . NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI. NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- -- Bài 3: Tính 1 2 2 0 1I x x