PDE Fourier Series (slide)

Như vậy một hàm tuần hoàn, không liên tục thì khó có thể biểu diễn được theo cách trên.... CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CÓ CHU KỲ.[r]

CHƯƠNG 0

Nhắc lại phương trình vi phân

-Phương trình tách biến -Phương trình tuyến tính

CHƯƠNG CHUỖI FOURIER Chuỗi Fourier đầy đủ

Chuỗi Fourier sin Chuỗi Fourier cosin Hội tụ khả vi

KHAI TRIỂN TAYLOR

Một hàm khả vi vơ hạn lần khai triển thành dạng chuỗi Taylor quanh điểm x0 nằm khoảng xác định

Dạng sau:

Trong đó:

 

 



 

0

0

) (

n

n n x x c

x f

   !

0

n x f

c

VÍ DỤ

ĐỊNH NGHĨA HÀM TUẦN HOÀN

Một hàm số xác định R gọi tuần hoàn tồn số T>0 cho:

Giá trị nhỏ T gọi chu kỳ hay đơn giản chu kỳ hàm f

Dễ thấy f hàm tuần hồn với chu kỳ T thì:

 x T  f  x x R

f    

x nT  f  x x R

VÍ DỤ

Hàm sinx cosx hàm tuần hoàn với chu kỳ Hàm hàm tuần hoàn với chu kỳ 2L

Nhận xét Chuỗi hàm có tuần hồn khơng? Chu kỳ bao nhiêu?

 

 

 

 

 

1

0 cos sin

2 1

n

n n

L x n b

L x n a

BIỂU DIỄN HÀM TUẦN HỒN

Vì hàm cos(nx) sin(nx) có chu kỳ nên tổ hợp tuyến tính hàm hàm tuần hoàn với chu kỳ

Nhưng tổ hợp tuyến tính liên tục

VÍ DỤ

Hàm xung hay hàm sóng bình phương

Là hàm tuần hồn chu kỳ khơng liên tục R

 x  f  x f

x x x

f  

  

 

  

 

 

2 &

0 ,

0 ,

0 )

FOURIER (1976 – 1830)

Bài báo “Lý thuyết giải tích nhiệt lượng” năm 1822 Mỗi hàm f(x) với chu kỳ biểu diễn chuỗi lượng giác vô hạn dạng:

Chuỗi gọi chuỗi Fourier

Biểu diễn hàm thành chuỗi Fourier ứng dụng nhiều toán đặc biệt phương trình đạo hàm riêng

 

 



 



1

0 cos sin

2 1 )

(

n

n

n nx b nx

a a

CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CÓ CHU KỲ

Sinh viên cần nhớ tích phân sau:

Các hàm cos(nx) sin(mx) tạo thành tập trực giao tương hỗ hàm khoảng

Hai hàm thực u v gọi trực giao khoảng [a,b] nếu:

0 sin cos , , sin sin , , cos cos                           dx nx mx m n L m n dx nx mx m n m n dx nx mx

    0

BIỂU DIỄN FOURIER

Giả sử hàm f(x) liên tục khúc chu kỳ biểu diễn chuỗi Fourier

Giả sử:

-Chuỗi bên phải hội tụ f với x

-Khi chuỗi nhân với hàm liên tục chuỗi

nhận tích phân số hạng

 

 



 



1

0 cos sin

2 1 )

(

n

n

n nx b nx

a a

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ a0

Lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số a0 xác định công thức:

 

  0 0

1 2 1 sin cos 2 1 a dx a dx x f nxdx b nxdx a dx a dx x f n n n                                              

 f x dx

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ ai

Nhân hai vế với cosnx lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số xác định công thức:

 

 

  m m   n

n n n n n a nxdx x f a mxdx mx a mxdx x f mxdx nx a mxdx x f mxdx nx b mxdx nx a mxdx a mxdx x f                                                                 cos cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos 1

  cos  1,2,3, 

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ bi

Nhân hai vế với sinmx lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số bi xác định công thức:

 

 

  m m   n

n n n n n b nxdx x f b mxdx mx b mxdx x f mxdx nx b mxdx x f mxdx nx b mxdx nx a mxdx a mxdx x f                                                                 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin sin 1

 sin  1,2,3, 

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho f(x) hàm liên tục khúc chu kỳ xác định với x Khi chuỗi Fourier hàm f(x) chuỗi:

Trong đó:

 

 



 



1

0 cos sin

2 1 )

(

n

n

n nx b nx

a a

x f

  cos  0,1,2,3, 

1



 



n nxdx x

f an

 



 sin  1,2,3, 

1



 



n nxdx

x f bn

 

CHÚ Ý

Có thể chuỗi Fourier hàm không hội tụ hàm điểm xác định TXĐ hàm số Do thay viết dấu = ta sử dụng ký hiệu sau:

Phần sau (mục hội tụ) nói rõ vấn đề

Ta xét chuỗi Fourier hàm liên tục khúc nhiều hàm ứng dụng liên tục khúc không liên tục

 

 



 



1

0 cos sin

2 1 )

(

n

n

n nx b nx

a a

MỞ RỘNG HÀM

Nếu hàm ban đầu xác định khoảng [- , giả sử f()=f(- )

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hoàn chu kỳ xác định:

a) Sinh viên vẽ đồ thị

b) Tìm chuỗi Fourier  

      

 

 

 

 

 

 

t

x x

x x

f

2

0

VÍ DỤ Ta có:                                               2 cos cos sin sin cos cos cos cos cos 2 0 0   n n n n n nx n a nxdx n n nx x nxdx x a nxdx dv x u TPTP nxdx x nxdx x f nxdx x f a n n n                      1 0               

 f x dx f x dx xdx

VÍ DỤ

Ta có:

   

 

 1

VÍ DỤ

Vậy chuỗi Fourier cần tìm:

 

 

 



 

  

le

n n

n n

nt n

nt x

f

1

1

2

sin 1

cos 2

) (

VÍ DỤ HÀM SĨNG BÌNH PHƯƠNG

 x  f  x f

x x x

f  

  

 

  

 

 

2 &

0 ,

0 ,

0 )

(

 







 

 f x nxdx

bn 1 sin

 











 f x dx

a0

 







 

 f x nxdx

VÍ DỤ Ta có chuỗi Fourier hàm sóng bình phương

       

 , ,

1

sin

2 ~

0

  



 





x k

x k

x f

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ ta có:

Có nghĩa tích phân hàm f(x) khoảng có độ dài ln

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân khoảng [0, ] để có cơng thức thuận tiện

    

  

 



2

a

a f x dx

dx x

f

   

 

 

 

 

2

2

sin

cos

nxdx x

f b

nxdx x

f a

CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Xét hàm f(x) liên tục khúc có chu kỳ P=2L Ta muốn xây dựng chuỗi Fourier cho hàm

Đặt hàm g sau:

Dễ thấy:

  

  

  



Lu f

u g

u  f Lu  f Lu L f Lu g u

g  

  

      

 

 

   



 

 

 

 

 2

CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Như hàm g(u) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2pi Giả sử có chuỗi Fourier tương ứng

Với:

 

 



 



1

0 cos sin

2 1 )

(

n

n

n nu b nu

a a

u g

  cos   0,1,2,3, 

1



 



n du

nu u

g an

 



 sin   1,2,3, 

1



 



n du

nu u

g bn

 

BIẾN ĐỔI

Đặt: f  x f Lu g u

L x u

Lu

x  

BIẾN ĐỔI Ta có: Trong đó:            

0 cos sin

2 1 n n n L x n b L x n a a x

f  

   

 sin  1,2,3, 

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho hàm f(x) liên tục khúc có chu kỳ 2L xác định với x Khi chuỗi Fourier hàm f(x) chuỗi

Trong đó:            

0 cos sin

2 n n n L x n b L x n a a x

f  

   

 sin  1,2,3, 

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ ta có:

Có nghĩa tích phân hàm f(x) khoảng có độ dài ln

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân khoảng [0, 2] để có cơng thức thuận tiện

    

  

L a a L

L f x dx f x dx

2

   

 

 

L n

L n

dx L

x n x

f L

b

dx L

x n x

f L

a

2

2

sin

cos

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hồn với chu kỳ P=2L=4:

Đáp án                   , , 0 2 x x x x f               sin sin sin sin

4 n x t t t

VÍ DỤ

Xét hàm số sau:

Đồ thị hàm số:

TÍNH TỐN HỆ SỐ FOURIER

Ta có:

TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ

Như vậy, theo định lý 2.5, [-2,2] ta có:

Chú ý hàm ban đầu có điểm nhảy x=0

ĐỊNH LÝ HỘI TỤ

Giả sử f hàm tuần hoàn, trơn khúc Khi chuỗi Fourier hội tụ:

a) Đến giá trị f(x) điểm mà f liên tục

b) Đến giá trị điểm mà f khơng liên tục

Chú ý.

là giá trị trung bình giới hạn

trái phải hàm f điểm x.

Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn, trơn khúc hội tụ đến giá trị trung bình hàm số với x.

   

   

 f x

x f

VÍ DỤ

Cho f(x) hàm chu kỳ với f(x)=x2 0<x<2

Nếu x số nguyên chẵn giá trị f(x) xác định bởi:

Hãy tìm chuỗi Fourier hàm

   

   

 f x

x f

VÍ DỤ

Đáp án:

Nếu thay x=0 ta có:

Nếu thay x=1 ta có:

          1 2 sin cos 4 n n n t n n t n x f       1 1 4 2 2 2                  n

n n n

CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE

Hàm chẵn hàm lẻ

Hàm số f(x) xác định với x gọi chẵn

Hàm số f(x) xác định với x gọi lẻ

Tính chất:

- Hàm chẵn đối xứng qua Oy

- Hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O

 x f  x x

f   , 

 x f  x x

ĐỒ THỊ

Đồ thị chuỗi Fourier

ĐỒ THỊ HÀM CHẴN – LẺ

Hàm chẵn: đối xứng qua Oy

VÍ DỤ

+ Tích hai hàm chẵn  Hàm chẵn + Tích hai hàm lẻ  Hàm chẵn

+ Tích hàm chẵn hàm lẻ  Hàm lẻ

+ Chuỗi Fourier hàm chẵn gồm phần tử cosine

+ Chuỗi Fourier hàm lẻ gồm phần tử sine

  sin ;   1



 x g x x n

x

TÍNH CHẤT

Nếu f(x) hàm chẵn tuần hoàn với chu kỳ 2L thì:

+ Hàm: hàm chẵn

+ Hàm: hàm lẻ

+ Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ miền đối xứng

 

L x n x

f cos 

 

L x n x

f sin 

       

   

a a

a a

TÍCH PHÂN HÀM CHẴN – LẺ

Trên tập xác định đối xứng

Hàm chẵn có tích phân gấp lần nửa miền

ÁP DỤNG VỚI HỆ SỐ FOURIER

Nếu f(x) hàm chẵn

Nếu f(x) hàm lẻ

Khai triển Fourier có chuỗi hàm sine cosine

  sin 0

1



 



L

L

n dx

L x n x

f L

b 

  cos 0

1



 



L

L

n dx

L x n x

f L

MỞ RỘNG CHẴN VÀ LẺ

Nếu hàm số tuần hồn với t chuỗi Fourier xác định

Tuy nhiên hàm số xác định khoảng 0<x<L ta muốn biểu diễn giá trị hàm dạng chuỗi hàm Fourier thì???

1 Mở rộng hàm số toàn khoảng (-L,L) tức mở rộng giá trị hàm số (-L,0)

2 Mở rộng tuần hoàn toàn trục số theo cơng thức

3 Tìm chuỗi Fourier

x L f  x

CHÚ Ý

- Với cách mở rộng (-L,0) khác cho chuỗi Fourier khác

- Các chuỗi hội tụ hàm ban đầu (0,L) khác khoảng (-L,0)

- Ta thường đưa mở rộng tự nhiên:

HAI CÁCH MỞ RỘNG

1 Mở rộng chẵn

2 Mở rộng lẻ

   

 

  

 

 

 



0 0

x L

t f

L x

t f x

fE

   

 

  

 

 



 



0 0

x L

t f

L x

t f x

KHAI TRIỂN FOURIER SINE

KHAI TRIỂN FOURIER COSINE

VÍ DỤ

Khai triển hàm f(x)=x theo cách

a) Hàm chẵn

Ta mở rộng f(x)=x (- ,0) Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

 

  

 

 

 



0 0

x x

x x

x f





  , 

, )

(x  x x  

Khai triển Fourier:

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

            

0 cos sin

2 n n n L x n b L x n a a x

f  

   n n a a b 0              

0

Ta mở rộng f(x)=x (- ,0) Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM LẺ

 

  

 



 



0 0

x x

x x

x f



Khai triển Fourier:

VÍ DỤ - HÀM LẺ

            

0 cos sin

2 n n n L x n b L x n a a x

f  

   n n a a b 0            1 sin sin , / n n n n n nx nxdx x b a

b Chuoãi :



CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE

Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) liên tục khúc khoảng [0,L] Khi đó:

Chuỗi Fourier cosine hàm f chuỗi:

Chuỗi Fourier sine hàm f chuỗi:

          L n n n dx L x n x f L a L x n a a x f

0 cos cos

2             L n n n dx L x n x f L b L x n b a x f

0 sin sin

2

VI PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý Giả sử hàm số f liên tục với x, tuần hoàn với chu kỳ 2L, có đạo hàm f’ đạo hàm trơn khúc với x

Khi đó, chuỗi Fourier f’ chuỗi:

Nhận việc lấy vi phân phần chuỗi:

             cos sin ' n n n L x n b L n L x n a L n x

f    

            

0 cos sin

2 n n n L

x n b L x n a a x

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý Giả sử hàm số f liên tục với x, tuần hoàn với chu kỳ 2L chuỗi Fourier:

Có thể khơng hội tụ Khi đó:

và chuỗi bên vế phải hội tụ với x

            

0 cos sin

2 n n n L

x n b L x n a a x

f  

                    

0 sin cos

n n n x L x n b L x n a n L x a dt t

f  

ĐỊNH LÝ 2.13

ĐỊNH LÝ 2.13

ii) Nếu f liên tục [0,L] f(0)=f(L)=0 f’ trơn từng khúc [0,L] Khi chuỗi Fourier sine hàm f lấy đạo hàm theo thành phần chuỗi kết chuỗi Fourier cosine f’ Chuỗi hội tụ đến f’ điểm mà f’’ tồn tại.

BÀI TẬP 1

BÀI TẬP 2