toán tài chính k57c nguyenvantien0405

Do đó, nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên (chi phí biên) và thể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phí theo số lượng [r]

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG

DỤNG

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Hệ số góc đường cong đạo hàm

2.2 Ứng dụng đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân

2.3 Tối ưu hàm biến, điểm cực trị 2.4 Ứng dụng kinh tế

HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình tổng quát: Dạng đặc biệt:

Với a, b là???

Gọi a hệ số góc đường thẳng D Ax By C 

y ax b 

2

tan y y y

a

x x x 

 

  

NHẬN XÉT

• Ý nghĩa hệ số góc: x thay đổi đơn vị y thay đổi a đơn vị

• Đường thẳng D nếu: • a>0

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG

Tiếp tuyến cát tuyến đường tròn

HỆ SỐ GĨC ĐƯỜNG CONG

Hệ số góc cát tuyến

   

   

2

f a h f a y y

k

x x a h a f a h f a

k

h

  

 

  

VÍ DỤ 1

Cho hàm số y=x2

a) Tìm hệ số góc cát tuyến với a=1 h=2 Vẽ đồ thị f(x) hai cát tuyến

b) Tìm biểu diễn hệ số góc cát tuyến với a=1 h khác

HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG

Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc đồ thị hàm số điểm (a, f(a)) xác định bởi:

(nếu giới hạn tồn tại)

Khi đó, đường tiếp tuyến đồ thị hàm số chỉnh

đường thẳng qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho cơng thức trên.

   

0

lim

h

f a h f a h



ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm hàm số x định nghĩa sau:

(nếu giới hạn tồn hữu hạn)

Nếu hàm số có đạo hàm điểm thuộc (a,b) ta nói hàm số khả vi (a,b)

Nếu giới hạn khơng tồn hàm số khơng có đạo hàm hay không khả vi

( ) 0 ( ) ( )

' lim

h

f x h f x

f x

h

®

+

VÍ DỤ 2

Tìm đạo hàm hàm: x=2 theo định nghĩa

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

( ) 8 9

f x = x - x +

( )2 ( )

2

0

2 8 2 9 3 4

lim lim 4

h h

h h h h

h h

® ®

+ - + + +

-= =

-( )

' 2 4

f =

-( ) ( )

0

2

lim

h

f h f

h

®

-VÍ DỤ 3.

Tổng doanh thu công ty (đơn vị triệu $) t tháng cho công thức sau:

a) Cho biết ý nghĩa S(25) S’(25)

b) Sử dụng kết câu a để ước lượng tổng doanh thu sau 26 tháng; sau 27 tháng

  2

VÍ DỤ 4.

Một hãng sản xuất vải với chiều rộng vải cố định Chi phí sản xuất x (mét) vải là:

A) Cho biết ý nghĩa đơn vị f’(x)

B) Trong thực tế, nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?

   $

VÍ DỤ 5.

Gọi D(t) nợ quốc gia Mỹ thời điểm t Bảng cho ta số xấp xỉ giá trị hàm vào cuối năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000 Giải thích ước lượng giá trị D’(1990)

T 198 0

1985 1990 1995 2000 D(t

)

930,

1945,

3233,

4974,

ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI

Đạo hàm trái f(x) a là:

Đạo hàm phải f(x) a là:

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

' lim lim

x a h

f x f a f a h f a

f a

x a h

-

-® ®

- +

-= =

-( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

' lim lim

x a h

f x f a f a h f a

f a

x a h

+ +

+

® ®

- +

-= =

-ĐỊNH LÝ

Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm điểm a khi có đạo hàm trái; đạo hàm phải a hai đạo hàm nhau.

Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm a hàm số liên tục a Chiều ngược lại khơng đúng.

( ) ( ) ( )

' ' '

f a = L Û f a- = f a+ = L

( ) ( ) ( )

' lim

x a

f a L f x f a

®

VÍ DỤ 6

Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy khơng tồn đạo hàm hàm số

( ) e01/x ,,x 00

f x x ìï ạ ùù = ớù = ùùợ ( ) ( )

' ; ' 0

f - +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 0 0

0 0

' lim lim lim 0 0

' lim lim

h u h u h h h h

f h f e u

f

h h e

f h f e

HÀM SỐ ĐẠO HÀM

Với a cố định ta có:

Thay a x ta có:

Với giá trị khác x ta tính f’(x) giới hạn tồn hữu hạn Như giá trị f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên xem f’ hàm theo x gọi đạo hàm hàm f

( ) 0 ( ) ( )

' lim

h

f a h f a

f a

h

®

+

-=

( ) 0 ( ) ( )

' lim

h

f x h f x

f x

h

®

+

HÀM SỐ ĐẠO HÀM

Hàm số đạo hàm hàm y=f(x). Ký hiệu:

Tập xác định hàm f’ tập giá trị x cho f’(x) tồn Nó nhỏ TXĐ hàm số f(x).

( ) '; '; df dy d; ;

f y f x

VÍ DỤ 7

Tìm hàm số đạo hàm hàm y=x2. Ta có:

Giới hạn tồn hữu hạn với x thuộc TXĐ Vậy đạo hàm hàm số:

( ) ( ) ( )2 2

0

lim lim

h h

f x h f x x h x

x

h h

® ®

+ - +

-= =

' 2

VÍ DỤ 8

Tìm đạo hàm hàm: Ta có:

Vậy:

Chú ý: tập xác định hàm f(x) là: [0; )

( ) 0 ( ) ( ) 0

' lim lim

2

h h

f x h f x x h x

f x

h h x

® ®

+ - +

-= = =

( ) ( )

' D : 0;

2

f x T X

x

= + ¥

( )

QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1

Cho u, v hai hàm theo x Khi đạo hàm theo x hàm sau là:

Đạo hàm dạng:uv

Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:

( ) ( )

( )

' ' ' ' '

' '

' ' '

i u v u v ii ku k u

u u v u v

iii u v u v u v iv

v v ± = ± = Â ổ ửữ -ỗ ữ = + ỗ ữỗ ữ= ỗ ố ứ

( )uv u vv '.lnu v.u'

u é ù ¢= ê + ú ê ú ë û v

QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2

Đạo hàm hàm hợp:

Ví dụ: Hàm hàm hợp hàm:

Vậy:

( )

0 x g. x

y = f g x Þ y¢= f g¢ ¢ ( )

ln cos

y = x

( ) ln( ) ; ( ) cos( )

f x = x g x = x

( )

1

sin tan

cos

x g x

y f g x x

x

-CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1

Đạo hàm hàm hợp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

3

1 ln

5 sin cos

6 cos sin

1 tan cos cot sin x x

C x x

e e x x x x x x x x x x

a ¢ a a

-¢= = -¢= ¢= ¢= ¢= ¢= ¢= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

3 '

1

4 ln '

5 sin '.cos

6 cos sin

1

7 tan '

cos

8 cot '

s

'

in

u u

e e u

u u

u

u u u

CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 2

Đạo hàm hàm hợp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 .ln 10 log ln 11 arcsin 1 12 arccos 1 13 arctan 1 14 arccot x x a

a a a

VÍ DỤ 9

Tìm f’(x) biết:

Ta có:

( ) ln

1 cos x e f x x = + ( ) 1

ln cos 3

1 sin 1 sin

' 1 1

3 1 cos 3 1 cos

y x x

VÍ DỤ 10

Tìm f’(x) biết: Ta có:

Vậy:

( ) 3 14 27

.sin

x

f x y

x x

+

= =

( 2) ( )

2

4

ln ln 1 ln 7ln sin

3

' 2 4 7cos

3 sin

1

y x x x

y x x

y x x x

= + -

-= -

-+

2

2

3

2 7cos

'

.sin sin

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ CHO BỞI THAM SỐ Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:

Khi hàm số cho gọi hàm cho phương trình tham số

Ví dụ: Cho hàm tham số hóa sau

Đặt: ta có dạng tham số sau:

( ) ( )

x x t

y y t

ìï = ïïí ï = ïïỵ lnx y x = t

x = e

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THAM SỐ Cho hàm y=f(x) dạng tham số:

Khi đó:

Ví dụ:

( ) ( )

x x t y y t ìï = ïïí ï = ïïỵ / / t x t y

dy dy dt

y

dx dx dt x

¢ ¢= = = ¢ 2 1

1 ln

t t

t t

t

x t t

x e t y e t t x e y

e e x

ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC

Hàm số có hàm ngược là: Khi đó:

Ví dụ: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany

( )

1

x = f - y

1 1

y x

x y

x y

y x

¢= ¢=

¢ ¢

2

1 1 1

1 tan 1

x

y

y

x y x

¢= = =

¢ + +

ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC

Ví dụ: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny

Ví dụ: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy

2

1 1

cos 1 sin 1 2

x

y

y

x y y x

do p y p

Â= = = = Â - -ổ ửữ ç - £ £ ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ( ) 2

1 1

sin 1 cos 1

0

x

y

y

x y y x

do y p

-

-¢= = = =

¢ - -

ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

Hàm y=f(x) với x(a;b) hàm ẩn cho phương trình F(x,y)=0 thay y=f(x) vào ta đẳng thức đúng

Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).

Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn:

( , ) 2 1

F x y = x +y =

2

1 , 1;1

y = - x x Ỵ -êéë ùúû

2

2 , 1;1

ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Cho phương trình: F(x;y)=0 Để tính: y’x

B1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x Chú ý y hàm theo x

B2 Giải phương trình tìm y’

B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình

Ví dụ: Cho phương trình:

Tính đạo hàm y theo x

3 ln y 0

ĐẠO HÀM HÀM ẨN

B1 Lấy đạo hàm theo x

B2 Giải tìm y’

( ln y) 0

x

x + y - x e ¢ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

*

3

3

' ' ' ' y y y y y y

x y xye x ye x y xye x

y y

ye x y xye

y x ye y Û + - + = Û - + - = -Û = -( ) ( )

2 '

3x y 2x.ey ey.y'.x *

y

ĐẠO HÀM HÀM ẨN

B3 Tính y’(0).

Ta có:

Thay x=0 y(0)=1 vào ta có:

( )

3 ln 0

0 ln

y

x y x e

x y y y

+ - = = Þ = Û = = ( ) ( ) 2

3 '

1

y

y

x y xye y x ye -= -( ) ( ) ( ) 1 1 0

3

' 0

0.1

-ĐẠO HÀM CẤP CAO

Cho f hàm khả vi Đạo hàm (nếu có) f’ gọi đạo hàm cấp hàm số f(x)

Ký hiệu:

Đạo hàm cấp hàm f đạo hàm đạo hàm cấp

( ) d df d f22

f

dx dx dx

ổ Â ỗ ữ ÂÂ= Â = ỗ ữỗ ữữ=

ỗ

ố ứ

( ) 22 33

d d f d f

f

dx dx dx

ổ Â ỗ ữữ ÂÂ= ÂÂ = ỗỗ ữ=

ữ ỗ

ĐẠO HÀM CẤP CAO

Đạo hàm cấp n hàm f đạo hàm đạo hàm cấp (n-1)

Ví dụ: Cho hàm:

Tìm đạo hàm cấp n hàm số Giải:

( ) ( ( 1) )

1

n n

n n

n n

d d f d f

f

dx dx dx

-ổ Â ỗ ữ

ữ = = ỗỗ ữữ=

ỗ

ố ứ ( ) x

f x = xe

( ) ( ) x ( )x x x ( 1) x

ĐẠO HÀM CẤP CAO

Ta có:

Tương tự:

Tổng quát:

( ) ( 1) x x ( 1) x ( 2) x

f ¢¢x = éëêx + e ùúû¢=e + x + e = x + e

( ) ( ) ( )4 ( ) ( )

3 x; x

f ¢¢¢x = x + e f x = x + e

( )n ( ) ( ) x

ĐẠO HÀM CẤP CAO THƯỜNG GẶP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1

)

1

) !

)

1 !

) ln

) sin sin

2

) cos cos

2 n n n n n n

ax n ax

n n

n

n n

n n

i x a n x a

ii n

x a x a

iii e a e

n

iv x

x

v ax a ax n

vi ax a ax n

a a

a a a

CHÚ Ý ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

)

1 !

) ln

) sin sin

2

) cos cos

2 n n n n n n n n n n n

i ax b n ax b

n

iv ax b

ax b

v ax b a ax b n

vi ax b a ax b n

a a

a a

a a a

VÍ DỤ 12

Tính đạo hàm cấp n của:

( ) ( ) ( )

1

) )

3

1

a f x b g x

x x

x x

= =

- +

-ĐẠO HÀM CẤP CAO HÀM ẨN

Biết: CM: Đạo hàm vế theo x:

Do đó:

Thay y’ vào:

4 16

x +y =

7 48x y y ¢¢= -3 3

4x 'y y y' x y

+ = Þ =

-( )

3 3

3

3 '

3 ' x xy y

x x y x y y

y

y y y

 ổ ửữ - -ỗ ữ ÂÂ= -ỗỗ ữ = - = ữ ỗ ố ứ ( )

2 4 2

4 7

3

3

3 48

x x y

x x y x

CÔNG THỨC LEIBNITZ

Dễ thấy:

Mở rộng:

Gần giống khai triển nhị thức Newton

( )

( ) ( )

f g f g g f

f g f g g f g f g f g ¢= ¢ + ¢

¢¢= ¢ + ¢ ¢= ¢¢ + ¢¢+ ¢¢

( )( ) ( ) ( )

0

n n k k n k

n k

f g C f g

-=

VÍ DỤ 13

Tính đạo hàm:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 2 3

3 4 3 2 2 3 4

f g f g f g f g g f

f g f g f g f g f g g f

¢ ¢

= + + +

¢ ¢

= + + + +

( ) ( 2 ) ( )10 ( )

1 sin ???

VI PHÂN

Vi phân điểm

Vi phân khoảng

SỐ GIA

Cho hàm số y=f(x), ta nghiên cứu thay đổi y x thay đổi lượng nhỏ

 Sự biến thiên x gọi số gia x, ký hiệu ∆x  Sự biến thiên y gọi số gia y, ký hiệu ∆y

Ví dụ Cho hàm số y=x3

Khi x thay đổi từ lên 2,1 y thay đổi từ lên 9,621 Ta có:

   

2,1 0,1 2,1 2,1 1,261

x y f f

SỐ GIA VÀ ĐẠO HÀM

Chú ý Trong công thức tính đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x ta có:

Nếu giới hạn tồn tại, tức hàm số có đạo hàm với biến đổi nhỏ x ta có:

         

0 0

' lim lim lim

h x x

f x h f x f x x f x y

f x

h x x

    

     

  

 

 

0

' lim

x

y y

f x

x x

 

 

 

VI PHÂN

Như ∆x≠0 nhỏ thì:

Nên ta có:

Ta xấp xỉ độ biến thiên y biểu thức VP Biểu thức đặt tên vi phân, ký hiệu dy hay df

 

' .

y f x x

  

 

0

' lim

x

y y f x

x x

 

 

 

 

 

' .

ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN

Xấp xỉ vi phân y dy

ỨNG DỤNG VI PHÂN

0

y

0

x x0 + Dx

( )0

f x

( )

f x + Dx

x

D

( ) ( )0

f x + Dx - f x

f D

( )0

'

f x Dx

( )0

'

f x x khi x

ỨNG DỤNG VI PHÂN TÍNH GẦN ĐÚNG

Cho hàm f(x) khả vi lân cận x0 Ta có:

Hay công thức:

( ) ( )0 '( )0 .

f x + Dx » f x + f x Dx

( ) ( )0 '( ) (0 . 0)

VÍ DỤ 16

Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1

b) Tính gần đúng: Giải:

( )

f x = x +

4,03

( ) ( )

2 3

f x df x dx

x x

 = ị =

+ +

( )1 1 1( 1)

4

2

df = dx = dx = x

VÍ DỤ 17

Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1

b) Tính gần đúng: Giải:

Nếu tính máy tính:

( )

f x = x +

4,03

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

4

1 0,03

4,03 1,03 1,03 2,0075

4

f x f x

f

» +

-= » + - = + =

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

Định lý giá trị trung bình (tham khảo) Cơng thức Taylor

ĐỊNH LÝ FERMAT

Cho hàm số y=f(x) xác định lân cận x0

Nếu f(x) đạt cực đại x0 có đạo hàm x0 thì:

( )0

' 0

ĐỊNH LÝ ROLLE

Nếu hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a)=f(b) thị tồn điểm c thuộc (a,b) cho f’(c)=0

ĐỊNH LÝ LAGRANGE

Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho:

( ) ( ) ( )

'

f b f a

f c b a

-ĐỊNH LÝ CAUCHY

Nếu f(x), g(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) g(x) khác (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) '

'

f b f a f c g b g a g c

-CÔNG THỨC TAYLOR

Khai triển hàm số phức tạp thành dạng đơn giản Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức

Ví dụ: khai triển Taylor x=0

( ) ( )

( )

2 1

2

2

arctan 1 0

3 5 2 1

1 0

2! 3! !

n

n n

n

x n

x x x

x x x

n

x x x

e x x

n

-= - + + + - +

CÔNG THỨC TAYLOR

Cho hàm số f(x): Liên tục [a,b]

Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b) Xét x0(a,b) Khi [a,b] ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

2

0

0 0

1 0 ' " 1! 2!

! 1 !

n n

n n

f x f x

f x f x x x x x

f x f c

x x x x

PHẦN DƯ TRONG CÔNG THỨC TAYLOR

Dạng Lagrange:

Dạng Peano: (thường dùng hơn) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ! n n n f c

R x x

n

+

+

=

-+

( 0)

lim n 0

n x

R

x x

đƠ =

- 0( 0)

n n

CÔNG THỨC MACLAURIN

Cho hàm số f(x): Liên tục [a,b]

Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b)

Xét x0=0 (a,b) Khi [a,b] ta có:

( )

( )0 ' 0( ) " 0( ) ( ) ( )0 0( )

1! 2! !

n

n n

f x

f f

f x x x x

n

=

CÔNG THỨC L’HOSPITAL

Áp dùng tìm giới hạn dạng:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

Định lý: Cho giới hạn: có dạng

Nếu thì

0

lim ;

0

lim lim

x a

x a x a

f x g x

f x f x

L L

g x g x

® đ đ Ơ Ơ Â = = Â 0 ; 0 ¥ ¥ ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a x a

f x f x

L

g x g x

đ đ

Â

= =

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Định lý Weierstrass

Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a;b], tức tồn x1, x2 cho:

1 [ , ] [ , ]

( ) max ( ) ( ) ( )

x a b x a b

f x f x f x f x

 

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Định lý giá trị trung gian

Giả sử hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a)≠f(b) Khi lấy giá trị c nằm f(a) f(b) tồn

 

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Hệ Định lý giá trị trung gian

Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b)<0 tồn cho f(x0)=0

ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC

Cho mơ hình cân thị trường QS=QD Trong đó:

Chứng minh mơ hình có giá cân thuộc khoảng (3;5)

2 50

0,1 5 10; .

2

S D

Q P P Q

P

   

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1 Ý nghĩa đạo hàm Giá trị cận biên

3 Hệ số co dãn

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Phân tích cận biên kinh tế kinh doanh

Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, nghĩa đạo hàm

Do đó, C(x) hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản phẩm C’(x) chi phí cận biên (chi phí biên) thể tốc độ biến thiên tức thời hàm tổng chi phí theo số lượng sản phẩm

CÁC HÀM CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ

Định nghĩa. Gọi x số lượng sản phẩm sản xuất khoảng thời gian Khi đó, ta có hàm kinh tế sau:

Các hàm cận biên thể tốc độ biến thiên tức thời theo sản phẩm mức sản xuất cho trước

Hàm kinh tế Hàm cận biên

Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x)

Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên:

R’(x) Tổng lợi nhuận:

HÀM CHI PHÍ C(X)

- Là tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm,

- Khơng phí để sản xuất sản phẩm

Để tìm chi phí sản xuất sản phẩm ta sử dụng giá trị hàm chi phí sau:

Tổng chi phí sản xuất (x+1) sản phẩm: C(x+1) Tổng chi phí sản xuất x sản phẩm: C(x)

Chi phí sản xuất sản phẩm thứ (x+1): C(x+1) – C(x)

VÍ DỤ 18 (PHÂN TÍCH CHI PHÍ)

Một cơng ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe Tổng chi phí hàng tuần ($) để sản xuất x bình cho bởi:

a) Tìm hàm chi phí cận biên

b) Tìm chi phí cận biên mức sản xuất 500 bình tuần giải thích ý nghĩa

c) Tìm chi phí xác để sản xuất sản phẩm thứ 501

  10000 90 0,05

HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM BÌNH QN CẬN BIÊN   Chi phí Doanh thu Lợi nhuận

Tổng Tổng chi phí

Tổng doanh

thu Tổng lợi nhuận

Cận biên

Chi phí cận

biên Doanh thu cận biên Lợi nhuận cận biên

Bình quân (trung bình) Trung bình cận biên  

TC C x TR R x   TP P x  

 

'

MC C x MR R x '  MP P x ' 

 

 

C x

AC C x x

  AR R x  R x 

x

  AP P x  P x 

x

 

 

'

VÍ DỤ 19.

Một cửa hàng sản xuất nhỏ sản xuất mũi khoan sử dụng ngành cơng nghiệp dầu khí Giám đốc ước tính tổng chi phí hàng ngày ($) để sản xuất x mũi

khoan là:

A) Tìm AC MAC

B) Tính giá trị AC MAC x=10 giải thích ý nghĩa C) Sử dụng kết câu b) ước lượng chi phí trung bình cho mũi khoan mức sản lượng 11 mũi khoan ngày

  1.000 25 0,1

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA CHI PHÍ

Cho hàm chi phí C=C(Q)

Hàm cận biên chi phí: MC(Q)=C’(Q)

VÍ DỤ 20

Giả sử chi phí trung bình để sản xuất sản phẩm là:

A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm B) Tìm giá trị cận biên hàm chi phí Nêu ý nghĩa Q=50

2 500

0,0001 0,02 5

C Q Q

Q

GIẢI

Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm:

Giá trị cận biên chi phí:

Khi Q=50 MC(50)=3,75 Như Q tăng lên đơn vị (từ 50 lên 51) chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị

3

. 0,0001 0,02 5 500

C =QC = Q - Q + Q +

2

0,0003 0,04 5

dC

MC Q Q

dQ

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA DOANH THU

Cho hàm doanh thu R=R(Q)

Hàm cận biên doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

VÍ DỤ 21

Số vé bán Q giá vé p hãng xe bus cho công thức:

A) Xác định hàm tổng doanh thu

B) Xác định doanh thu cận biên p=30 p=32

10000 125

TIÊU DÙNG VÀ TIẾT KIỆM CẬN BIÊN

Cho hàm tiêu dùng C=C(I) I tổng thu nhập kinh tế quốc dân

Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) tốc độ thay đổi tiêu dùng theo thu nhập

Hàm tiết kiệm: S=I-C

VÍ DỤ 22

Cho hàm tiêu dùng là:

Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên xu hướng tiết kiệm cận biên I=100

( )

5 2 3

10

I C

I

+ =

GIẢI

Ta có:

Khi I=100 ta có: ( )

( )

3

2

5 30 3

10

I I

MC I

I

é + - ù

ê ú

ë û

=

+

( 100) 0,536 ( 100) 0,464

TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN, CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(ĐL Fermat) Hàm số đạt cực trị điểm dừng điểm mà hàm số liên tục khơng có đạo hàm

Các điểm mà đạo hàm triệt tiêu hàm số liên tục khơng có đạo hàm gọi điểm tới hạn hàm số

ĐỘ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI VÀ TƯƠNG ĐỐI

Định nghĩa: đại lượng x thay đổi lượng Δx ta nói: Δx độ thay đổi tuyệt đối x

Tỷ số gọi độ thay đổi tương đối x

Ví dụ Chẳng hạn, hộ giá 200 triệu đồng Nếu tăng thêm triệu độ thay đổi tuyệt đối triệu, độ thay đổi tương đối 0,5%

HỆ SỐ CO DÃN

Hệ số co dãn y theo x tỷ số độ thay đổi tương đối y độ thay đổi tương đối x ( x thay đổi lượng Δx)

Ký hiệu:

Thể % thay đổi y x thay đổi 1%

( ) ( )

' /

. .

/

y x

f x

y y y x

x

x x x y f x

e = D = D »

VÍ DỤ 24

Cho hàm cầu Q=30-4p-p2 Tìm hệ số co dãn P=3 Giải

Ta có:

Vậy thời điểm P=3, tăng giá 1% cầu giảm 3,3%

( )

( )

2

2 2

4 2

30 4 4 30

3 3,333

Q P Q P

P P

P

P

P P P P

e e

+

-

-= =

- - +