ĐỀ THAM KHẢO THI HSG KHỐI 9 MÔN: TOÁN TG: 150’ (không kể thời gian phát đề) Bài 1: Cho là hai số ,x y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện 0, 0, 1x y x y> < + = a) (2đ) Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : y x y x y x A xy y x x y x y   −   = − +   − − −   b) (1đ) Chứng minh rằng: 4A < − Bài 2: (3đ)Giải hệ phương trình 2 2 2 6 7 14 x y z xy yz zx x y z  + + =  + − =   + + =  Bài 3: (3đ) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 4 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + = Hãy tính ( ) ( ) ( ) 2010 2010 2010 4 4 4S x y z= − + − + − Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. 1. Chứng minh: a) (1đ) CD = AC + BD b) (1đ) AC.BD = R 2 2. (2đ) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất. Bài 5: a) (3đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n, luôn có: ( ) 1 1 1 n+1 1 1n n n n n = − + + + c) (1đ) Tính tổng 1 1 1 1 S= . 2+ 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2011 2010 2010 2011 + + + + + + + + Bài 6: a) (2đ) Giải phương trình: 6 3 1 2 0x x x x+ + − − + − − = b) (1đ) Cho các số thực a, b, c, thỏa điều kiện a + b + c =0. Chứng minh rằng ab + 2bc + 3ca ≤ 0 ĐÁP ÁN Bài 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 : 2 : . 2 : 2 : : . . y x y x y x A xy y x x y x y y x y x y x xy y x y x y x x y x y y x y x y x xy y x y x y x y x y x y x y x xy y x y x y x y x xy y x y x y x xy y x x y y x xy   −   = − +   − − −     − = − +   − + − − +       − = − +   − − −       − + − − =   −     − − − = − − − = − + − = ( ) ( ) 2 2 2 y x xy y x − = − ( vì 0, 0, 1x y x y> < + = ) (2đ) b) ( ) ( ) 2 2 4 1 4 4 y x y x xy A xy xy xy − + − = = = − < − vì 0xy < (1đ) Bài 2: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 1 7 2 14 3 x y z xy yz zx x y z  + + =  + − =   + + =  Từ (1) và (3) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 14 22x y z x y z⇒ + + − + + = − = 2 2 2 22 11(4) xy yz xz xy yz xz ⇔ + + = ⇔ + + = Từ (2) 7xy yz xz⇒ + = + Thay vào (4) ta được 7 11 2xz xz xz+ + = ⇒ = ( ) ( ) 2 7 9 6 9 0 6 9 0 3 y x z xz y y y y y ⇒ + = + = ⇔ − − = ⇔ − + − = ⇔ = 1 2 3 2 2 1 x z x z xz x z  =    = + =    ⇒ ⇔   = =     =    Vậy hệ phương trình có hai bộ nghiệm(x; y; z) là (1; 3; 2) và (2; 3; 1) (3đ) Bài 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 6 10 34 0 4 4 4 2 6 9 10 25 0 4 4 3 5 0 2 3 5 0 3 0 3 5 0 5 2 0 4 x y z xy xz yz y z x xy xz y z yz y y z z x x y z y z y z x y z y z y y z z x y z x + + − − + − − + = ⇔ + − − + + + + − + + − + = ⇔ − + + + + − + − = ⇔ − + + − + − =    − = =     ⇔ − = ⇔ =     − − = =   Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 4 4 4 4 4 3 4 5 4 1 1 1 1 0 S x y z= − + − + − = − + − + − = − + = − + = (3đ) Bài 4: 1a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) có: CM = AC; MD = BD Suy ra: CD = CM + MD = AC + BD (1đ) b) Ta có: OC; OD lần lượt là phân giác của 2 góc kề bù · MOA và · MOB nên · 0 90COD = COD∆ vuông tại O, MO CD⊥ nên: 2 . .OM CM MD AC BD= = 2 .AC BD R⇒ = (1đ) 2. Tứ giác ABCD có µ µ 0 90A B= = nên ABCD là hình thang vuông nên: ( ) 2 2 2 2 . 2 . 4 2 ABDC ABDC S AB AC BD R CD R AB R S R = + = ≥ = ⇒ ≥ Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi AB = CD hay M là chính giữa nửa đường tròn. Vậy ( ) 2 ABDC ax S 2m R= (2đ) Bài 5: a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n+1 1 1 . 1 1 1 . 1 . 1 n n n n n n n n n n n n n n n = + + + + + + − = + + + + − 1 1 1 . 1 1 n n n n n n + − = = − + + (3đ) a) Áp dụng đẳng thức ở trên lần lượt với n = 1; 2; 3; …; 2010 ta có: 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 2010 2011 S = − + − + + − y x D C M O BA 1 2011 1 1 2011 2011 = − = − (1đ) Bài 6: a) 6 3 1 2 0x x x x+ + − − + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 3 1 2 3 6 3 1 2 3 6 3 2 6 3 1 2 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + − = + + − ≥   ⇔  + + − = + + −   ≥   ⇔  + + − + + − = + + − + + −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 6 3 1 2 3 4 4 6 3 6 3 1 2 3 4 4 6 3 3 18 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ≥   ⇔  + + − = + −   ≥   ⇔  + + − + + − = + −   ≥   ⇔  + + − + + − = − −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 0 6 3 3 6 3 3 x x x x x x x x x  ≥ ≥     ⇔ ⇔ − ≥   + − = −    + − = −   ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 6 3 3 x x x x x x  ≥   ⇔ ≤ ⇔ =   + − = −   Vậy { } 3S = ( 2đ) b) a + b + c = 0 b c a⇒ + = − và a + b = -c Do đó: ab + 2bc + 3ca = ab + ca + 2bc + 2 ca = a(b + c) + 2c(b + a) = -a 2 -2c 2 0 ≤ (1đ) . ĐỀ THAM KHẢO THI HSG KHỐI 9 MÔN: TOÁN TG: 150’ (không kể thời gian phát đề) Bài 1: Cho là hai số ,x y thay đổi luôn. yz xz⇒ + = + Thay vào (4) ta được 7 11 2xz xz xz+ + = ⇒ = ( ) ( ) 2 7 9 6 9 0 6 9 0 3 y x z xz y y y y y ⇒ + = + = ⇔ − − = ⇔ − + − = ⇔ = 1 2 3 2 2 1 x