Đang tải... (xem toàn văn)
tai lieu hay day moi nguoi
Trần Vũ Trung Tài liệu này gồm: - ðề thi tuyển sinh chương trình KSTN môn toán 2008 – 2010 - 12 ñề tự ôn tập - Hướng dẫn giải – ðáp số Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 2 “Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011” bao gồm những bài viết theo chủ ñề và một số ñề thi ñược biên soạn phù hợp với nội dung ñề thi tuyển sinh môn toán vào chương trình ñào tạo KSTN & KSCLC của trường ðại học Bách khoa Hà Nội. Bộ tài liệu gồm: 1) Hàm liên tục 2) Hàm khả vi 3) Dãy số 4) Tích phân 5) Lời giải ñề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 6) Một số ñề luyện tập (12 ñề) (Tài liệu tham khảo khác ñi kèm: 0.1. ðề thi và ñáp án môn toán KSTN 1999 – 2007 (Vũ Hữu Tiệp). 0.2. ðề thi và ñáp án môn giải tích kì thi Olympic Sinh viên các năm.) Các bài viết ñược trình bày với mục ñích hệ thống hóa một cách trọng tâm các lí thuyết và phương pháp giải toán giải tích ở bậc phổ thông. Với các bài toán ví dụ ở nhiều dạng bài thường xuất hiện trong ñề thi KSTN các năm trước ñây, bài viết mong muốn ñem ñến một sự ñịnh hình cơ bản về cấu trúc ñề thi cũng như những nội dung kiến thức cần thiết mà các bạn cần ôn tập, chuẩn bị cho kì thi sắp tới. Các bài viết không ñơn thuần chỉ là tập hợp bài toán và lời giải mà còn cung cấp một số nhận xét quan trọng ñể tiếp cận lời giải bằng cách ñặt vấn ñề một cách tự nhiên, có hệ thống. Mong rằng ñây sẽ là một tài liệu bổ ích phục vụ cho quá trình học tập môn giải tích ở phổ thông nói cũng như giúp các bạn ôn thi một cách hiệu quả. Mặc dù ñã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng chắc chắn không thể nào tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất cám ơn những ý kiến ñóng góp ñể bộ tài liệu ñược hoàn chỉnh hơn. Mọi thắc mắc, góp ý xin gửi về ñịa chỉ hòm thư: vutrunglhp@gmail.com Hà Nội, tháng 8 năm 2011 Trần Vũ Trung, Sinh viên lớp KSTN ðKTð – K55 Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 3 ðề năm 2008 Bài 1: Cho dãy số ( ) n x thỏa mãn: 1 2 1 2 2 n n x x x x n x = + + + = … Tìm giới hạn ( ) 2 lim n n n x →∞ . Bài 2: Cho số nguyên dương n . Tính tích phân: 0 sin sin nx I x π = ∫ . Bài 3: Cho hàm số ( )f x liên tục trên [0;1] thỏa mãn (0) 0f > , 1 0 1 ( )d 2008 f x x < ∫ . Chứng minh rằng phương trình 2007 ( )f x x= có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1). Bài 4: Cho hàm số ( )f x liên tục trên [0;1] và khả vi trên (0;1) thỏa mãn (0) 0f = , (1) 1f = . Chứng minh rằng tồn tại 2 số phân biệt ,a b∈ (0;1) sao cho '( ) '( ) 1f a f b = . Bài 5: Cho hàm số : [ ; ] [ ; ]f a b a b→ thỏ a mãn: ( ) ( )f x f y x y− < − v ớ i m ọ i , [ ; ]x y a b∈ ; x y≠ . Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình ( )f x x= có nghi ệ m duy nh ấ t trên [ ; ]a b . Bài 6: Cho IK là ñ o ạ n vuông góc chung c ủ a 2 ñườ ng th ẳ ng chéo nhau a và b ( , I a K b ∈ ∈ ), M và N là hai ñ i ể m b ấ t kì l ầ n l ượ t thu ộ c a và b sao cho IM KN MN + = . Trong s ố các ñ i ể m cách ñề u các ñườ ng th ẳ ng a , b và MN , hãy tìm ñ i ể m có kho ả ng cách ñế n m ỗ i ñườ ng nói trên là ng ắ n nh ấ t. *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 4 ðề năm 2009 Câu I: Cho phương trình 4 2 4 0x x mx+ − + = (1) trong ñ ó m là tham s ố . 1) Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi 6m = . 2) Tìm m ñể ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m. Câu II: 1) Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i s ố th ự c a cho tr ướ c thì hàm s ố f(x) = |x – a| có ñạ o hàm t ạ i m ọ i ñ i ể m x ≠ a và không có ñạ o hàm t ạ i ñ i ể m x 0 = a. 2) Cho tr ướ c các s ố th ự c 1 2 , , , n λ λ λ khác nhau t ừ ng ñ ôi m ộ t. Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 1 2 2 0 n n k x k x k x λ λ λ − + − + + − =… x∀ ∈ ℝ khi và ch ỉ khi 1 2 0 n k k k= = = =… . Câu III: 1) Tìm các s ố th ự c , , , , ,x y z p q r th ỏ a mãn 2 2 2 2 2 2 2 2 7 0 10 6 14 47 0 x y z x z p q r p q r + + − − − = + + + − − + = sao cho 2 2 2 2 2 2 2 2 2P x y z p q r xp yq zr= + + + + + − − − ñạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. 2) Cho 2 n ử a ñườ ng th ẳ ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ñ o ạ n vuông góc chung. Góc gi ữ a Ax, By b ằ ng 30 o . Hai ñ i ể m C, D l ầ n l ượ t ch ạ y trên Ax, By sao cho AC+BD = d (d > 0) không ñổ i. Xác ñị nh v ị trí các ñ i ể m C, D sao cho th ể tích t ứ di ệ n ABCD ñạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. Câu IV: Tìm hàm s ố :f →ℝ ℝ th ỏ a mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) f x x f x y f x f y ≤ + ≤ + v ớ i m ọ i ,x y ∈ ℝ . Câu V: Cho hàm s ố :f →ℝ ℝ liên t ụ c th ỏ a mãn: ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y λ λ λ λ + − ≥ + − v ớ i m ọ i ,x y ∈ ℝ và (0;1) λ ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng: ( )d ( ) 2 b a a b f x x b a f + ≤ − ∫ với mọi ,a b∈ ℝ ; a b< . *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 5 ðề năm 2010 Câu I. 1) Tính ( ) 2 0 sin sin dx nx x π + ∫ với n∈ ℤ . 2) Cho hàm số ( )y f x= xác ñị nh trên t ậ p s ố th ự c, th ỏ a mãn: ( ) ( )f x f y x y− ≤ − ,x y∀ ∈ ℝ và ( ( (0))) 0f f f = . Ch ứ ng minh r ằ ng (0) 0f = . Câu II. 1) Cho hàm s ố ( )f x kh ả vi liên t ụ c c ấ p hai trên [0;1], có " (0) 1 f = và " (1) 0 f = . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i (0;1) c∈ sao cho " ( ) f c c= . 2) Tính lim 30 30 30 30+ + + +⋯ ( n dấu căn thức bậc hai). Câu III. 1) Hàm số ( )f x khả vi tại 0 x ñược gọi là lồi (lõm) tại ñiểm này nếu tồn tại lân cận của ñiểm 0 x là 0 ( )U x sao cho: 0 ( )x U x∀ ∈ ta có: ( ) 0 0 0 ( ) ( ) '( )f x f x f x x x≥ + − (t ươ ng ứ ng ( ) 0 0 0 ( ) ( ) '( )f x f x f x x x≤ + − ) Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố b ấ t kì kh ả vi trên ( ; )a b s ẽ l ồ i (lõm) t ạ i ít nh ấ t m ộ t ñ i ể m 0 ( ; )x a b∈ . 2) S ố nào l ớ n h ơ n trong hai s ố sau: 1 2 3 1000 1 2 3 1000+ + + +⋯ và 2 2 2 2 2 . Câu IV. Trong một phòng có 5 người, giữa 3 người bất kì luôn tìm ñược 2 người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng minh rằng nhóm này có thể ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người ñều quen với 2 người ngồi cạnh mình. Câu V. Cho , ,A B C là các góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng: 3 tan tan tan 3 2 n n n n A B C+ + ≥ + n∀ ∈ ℕ . *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 6 Một số ñề luyện tập ðề số 1 Câu I. 1) Cho hàm số ( ) 2 1 ( ) ln 1 2011 2 f x x= + − . Chứng minh rằng 1 ( ) 2 f x ′ ≤ và phương trình ( )f x x= có nghiệm thực duy nhất. 2) Cho dãy số thực { } n u ñược xác ñịnh như sau: 1 u a= ∈ ℝ , ( ) 2 1 1 ln 1 2011 2 n n u u + = + − , với 1n ≥ . Chứng minh rằng dãy { } n u hội tụ. Câu II. Cho các số thực dương , ,a b c . Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực 0x > : 1 1 1 2 a x b x c x x + + = + + + . Câu III. 1) Cho hàm số [ ] [ ] : 0;1 0;1f → th ỏ a mãn: ( ) ( ) sin sinf x f y x y− < − , [ ] , 0;1x y∀ ∈ , x y≠ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i duy nh ấ t [ ] 0 0;1 x ∈ ñể ( ) 0 0 f x x = . 2) Gi ả s ử hàm ( )f x kh ả vi trên ñ o ạ n [ ] 0;1 và (0) (1) 0f f ′ ′ < . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i ( ) 0;1 c ∈ sao cho ( ) 0 f c ′ = . Câu IV. 1) Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 0 sin d 0x x π > ∫ . 2) Hàm ( )f x kh ả tích trên ñ o ạ n [ ] 0;1 và 1 0 ( ) 0f x dx > ∫ . Chứng minh rằng tồn tại ñoạn [ ] [ ] , 0;1a b ⊂ mà trên ñó ( ) 0f x > . Câu V. Cho 2 n ử a ñưở ng th ẳ ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ñ o ạ n vuông góc chung. Góc gi ữ a Ax, By b ằ ng 30 o . Hai ñ i ể m C, D l ầ n l ượ t ch ạ y trên Ax và By sao cho t ổ ng AC + BD = d (d > 0) không ñổ i. Xác ñị nh v ị trí c ủ a các ñ i ể m C, D sao cho th ể tích t ứ di ệ n ABCD ñạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 7 ðề số 2 Câu I. Cho dãy số { } n u ñược xác ñịnh bởi 1 1u = , 2 1 2011 n n n u u u + = + . Tìm giới hạn: 1 2 2 3 1 lim n n n u u u u u u →∞ + + + + … . Câu II. 1) Giả sử hàm ( )f x xác ñịnh và liên tục trên ℝ và ( ) ( )f f x x= , x∀ ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i 0 x ∈ ℝ sao cho ( ) 0 0 f x x= . 2) Tìm t ấ t c ả các hàm liên t ụ c th ỏ a mãn ( ) ( ) sin f x f x = , x∀ ∈ ℝ . Câu III. 1) So sánh hai s ố 2012 2011 2012 và 2011 2012 2011 . 2) Gi ả s ử hàm ( ) : , f a b → ℝ là hàm kh ả vi liên t ụ c, và v ớ i m ọ i ( ) , , x y a b ∈ , t ồ n t ạ i duy nh ấ t z mà ( ) ( ) ( ) f y f x f z y x − ′ = − . Chứng minh rằng hoặc f lồi nghiêm ngặt hoặc f lõm nghiêm ngặt trong ( ) ,a b . Câu IV. Trong phòng có 6 người, cứ 3 người thì có ít nhất 2 người quen nhau. Chứng minh rằng có 3 người ñôi một quen nhau. Câu V. Cho số nguyên dương n . Chứng minh bất ñẳng thức: 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 n + + + < … . *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 8 ðề số 3 Câu I. Cho phương trình 1 1x m x+ − − = (1). 1) Giải phương trình (1) khi 4m = . 2) Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm. Câu II. 1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần trên ñoạn [ ] ,a b , ∃ ( ) ,c a b∈ , ( ) ( ) ( ) f a f b f c = = . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i ( ) 0 , x a b ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 f x f x f x ′′ ′ + = . 2) Tìm t ấ t c ả các hàm ( )f x kh ả vi hai l ầ n trên ℝ sao cho ( ) ( ) 0 f x f x ′ ′′ = , x ∀ ∈ ℝ . Câu III. Cho hàm s ố ( ) 2 1 sin 0 0 0 x x x x x ϕ ≠ = = 1) Chứng minh rằng hàm ( )x ϕ khả vi tại ñiểm 0x = . 2) Giả sử ( )f x khả vi tại ñiểm 0x = . Tính ñạo hàm của ( ) ( ) f x ϕ tại ñiểm 0x = . Câu IV. 1) Giả sử hàm ( ) ( ) : , \{0} 0,f a a− → +∞ th ỏ a mãn 0 1 lim ( ) 2 ( ) x f x f x → + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 0 lim ( ) 1 x f x → = . 2) Chứng minh rằng với mỗi 0t ≥ , phương trình 3 8 0x tx+ − = luôn có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là ( )x t . Tính tích phân ( ) 7 2 0 ( )I x t dt= ∫ . Câu V. Trong phòng có 9 người, bất kì 3 người nào cũng có 2 người quen nhau. Chứng minh rằng có 4 người ñôi một quen nhau. *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 9 ðề số 4 Câu I. 1) Tính ( ) 2 2 0 1 tan dx I x π = + ∫ . 2) Tìm tất cả các hàm liên tục :f →ℝ ℝ th ỏ a mãn: ( ) ( 1) ( 1) 1 0f x f x f x+ + + + = . Câu II. Gi ả s ử 1 2 , , , n x x x… là các nghi ệ m ph ứ c c ủ a ph ươ ng trình 1 1 0 n n x x x − + + + + = … . Tính 1 1 1 n k k x = − ∑ . Câu III. 1) Tìm t ấ t c ả các hàm s ố d ươ ng ( )f x kh ả vi liên t ụ c trên [ ] 0;1 th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n: (1) (0)f ef= và ( ) ( ) 2 1 0 1 f x dx f x ′ ≤ ∫ . 2) Tìm tất cả các hàm khả vi ( ) : 0;f → +∞ℝ th ỏ a mãn ( ) ( ) ( )f x f f x ′ = , x∀ ∈ ℝ . Câu IV. Trên m ặ t ph ẳ ng Oxy cho 3 ñ i ể m không th ẳ ng hàng A, B, C. Bi ế t OA=1, OB=2, OC=3. Ch ứ ng minh r ằ ng di ệ n tích tam giác ABC không l ớ n h ơ n 5. Câu V. Cho các s ố th ự c phân bi ệ t 1 2 , , , n k k k… . Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 sin sin sin 0 n n a k x a k x a k x+ + + =… , x∀ ∈ ℝ khi và ch ỉ khi 1 2 n a a a = = = … . *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 10 ðề số 5 Câu I. 1) Tính ( ) 4 0 lim tan n n n x dx π →∞ ∫ 2) Tìm hàm [ ] [ ] : 0;1 0;1f → th ỏ a mãn ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x x x− ≥ − , [ ] 1 2 , 0;1 x x∀ ∈ . Câu II. 1) Cho hàm ( )f x kh ả vi trên ñ o ạ n [ ] ,a b và th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) 0f a f b= = , ( ) 0f x ≠ , ( ) ,x a b ∀ ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i dãy { } n x , ( ) , n x a b ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) lim 2011 1 n n n n f x e f x →∞ ′ = − . 2) Cho dãy { } n u : 0 3u = , 1 2 1 1 n n n u u u + = + + . Tìm ( ) lim 2 n n n u →∞ . Câu III. 1) Số nào lớn hơn trong hai số sau: 25 1 1 365 n n = − ∏ và 1 2 . 2) Tìm tất cả các hàm ( ) f x khả vi cấp hai trên [ ] , a b thỏa mãn ( ) ( ) 0 f a f b= = và: ( ) ( ) x f x e f x ′′ = , x∀ ∈ ℝ . Câu IV. Trong phòng có 100 người, mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. Chứng minh rằng, trong phòng phải có 4 người từng ñôi một quen nhau. Câu V. Giải hệ phương trình: 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 n n n n x x x nx a x x x nx a x x x nx a − + + + + = + + + + = + + + + = … … … … *** . 1 2 3 2 3 2 3 n n n n x x x nx a x x x nx a x x x nx a − + + + + = + + + + = + + + + = … … … … *** Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 11 ðề số. 14 47 0 x y z x z p q r p q r + + − − − = + + + − − + = sao cho 2 2 2 2 2 2 2 2 2P x y z p q r xp yq zr= + + + + + − − − ñạ t giá tr ị l ớ n nh