Tuyn tp bi tp hỡnh hc lp 9 ụn thi vo 10 THPT Bài 1 .Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho ã 0 45EAF = . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh: a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau n Bài 2. Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF. Bài 3. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi H là điểm chính giữa cung AB, gọi M là một điểm nằm trên cung AH; N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN = AM. Chứng minh: 1. AMH = BNH. 2. MHN là tam giác vuông cân. 3. Khi M chuyển động trên cung AH thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại điểm B. Gợi ý : 3) Gọi đthẳng qua N vuông góc với MB cắt ttuyến tại B ở Q Chứng minh AMB = BNQ BQ = BA = const 1 I BT 3 : Hai pt đồng dạng với nhau khi và chỉ khi Hoặc 1 và 2 nhỏ hơn 0 Hoặc a a , = b b' = c c' a) Chứng minh góc EHM = góc HCD b) MN// AC, AC CD, CD // HE MN HE mà MN là đường kính của vòng tròng ngoại tiếp ABHE MH = ME Từ M kẻ đường thẳng // BE như hình vẽ + PJ là đường TB của hthang BECF PJ FE + Từ đó dễ thấy MF = ME P K J N M F E H D C A B N Q H O A B M Bài 4.Cho (O) đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đờng tròn (O / ) đờng kính BC. Gọi M là trung điểm đoạn AB. Từ M kẻ dây cung DEAB. Gọi I là giao của DC với (O / ) a) Chứng minh ADBE là hình thoi. b) BI// AD. c) I,B,E thẳng hàng . Gọi ý : c: Chứng minh qua B có 2 đờng thẳng: BE và BI Cùng song song với AD Bài 5. Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1)Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2)Chứng minh AI.BK = AC.CB 3)Giả sử A,B,I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI max. Bài 6. Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó. 2 I D E M O' A C B x y a/ Chứng minh KPC = KBC = 90 b/ Chứng minh AIC BCK P K A C B I a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đờng tròn b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? c) Chứmg minh rằng: . . . 2 AB CD AC BD BC DA = = b/ SAOB là hình vuông c/ Lấy E thuộc CD Sao cho ã ã CAE BAD= chứng minh CAE BAD AB.CE = AC. AD (1) CM AB.DE = AC. CB (2) Từ (1) và (2) AB.CD = AC .BD + AD.BC (3) Cminh SAC SDA SA SC SD SB = (4) , AC SA AD SD = (5) SCB SBD BC SC BD SD = (6) Từ 4, 5, 6 AC.BD = AD. BC (7) Từ 3, 7 Đfải CM Bài 7. Cho ABC vuông ở A. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a) Chứng minh: CDEF là một tứ giác nội tiếp. b) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? c) Gọi r, r 1 , r 2 là theo thứ tự là bán kính của đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng 2 2 1 2 r r r = + . 3 E C B A O S D O D A C B E r r 2 r 1 a/ CM góc C = góc DEB b/ Chứng minh AQB = QPK( cùng bằng 1/2 sđBD ) + Từ đó suy ra KN là đường trung trực của PQ, QPlà đường trung trực của MN + KL MNPQ là hình thoi c/ CM COB AO 2 B BO BO 2 = r r 2 r 2 r = AB BC ; tương tự tacó r 1 r = AB BC r 2 1 r 2 + r 2 2 r 2 = AB 2 + AC 2 CB 2 = 1 Đpcm O1 O2 D O P L M Q N K F D A B A B C E C Bài 8. Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đ- ờng cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó. 2. MN// DE 3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi. Y 3 / Dễ chứng minh đợc HC = 2 2 2 2 AK AB 4R AB const = = Bài 9. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Lấy D trên cung AB (D khác A,B), lấy điểm C nằm giữa O và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đờng thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax và By lần lợt tại E và F . 1) CMR : Góc DFC bằng góc DBC 4 D E M H A K B C 2) CMR : ECF vuông 3) Giả sử EC cắt AD tại M, BD cắt CF tại N. CMR : MN//AB 4)CMR: Đờng tròn ngoại tiếp EMD và đờng tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc nhau tại 4 a/ Sử dụng tc góc nội tiếp b/ Chng minh tổng 2 góc của ECF bằng 1 vuông c/ ã ã ã ã MCA MDE NDC NMC= = = (cùng phụ với góc MDC) Bài 10. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đòng tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn(M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By ở C, D. 1. Chứng minh: a) CD = AC+BD b) AC.BD = R 2 2. Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất. 3. Cho R = 2 cm, diện tích tứ giác ABDC bằng 32cm 2 . Tính diện tích ABM 2 SABM nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất CD nhỏ nhất khi CD song song với AB Khi đó M là điểm chính giữa cung AB 3 Bài 11. Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO. Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB. 1) Chứng minh: a) Tứ giác ACOD là hình thoi. b) ã ã 1 2 CBD CAD= 2) Chứng minh rằng O là trực tâm của BCD. 5 N d/ Lấy Q là trung điểm của MN khi đó DQ=QM=QN DEM = DAB = DMQ = MDQ DQ là tiếp tuyến của (O') O'DQ = 90 Tương tự O''DQ = 90 Từ đó suy ra điều cần chứng minh Chú ý: MN là tiếp tuyến chung của (O') và (O'') Q O'' O' M F E A B D C 2 Dễ thấy CD = 16; S COD = 16 COD AMB( theo tỉ số CD/ AB = 4) Từ đó rút ra diện tích AMB D C O A B M 3) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tổng (MB+MC+MD) đạt giá trị lớn nhất. Bài 12. Cho ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC CMR a/MAOH là tứ giác nội tiếp b/ Tia HM là phân giác của góc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF. Bài 13. Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM . a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính AH.AK theo R. c) Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó . Bài 14. Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN, H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: a) Năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đờng tròn. b) 2 AB AM AN= ì và ã ã AHM ANO= . Bài 15. Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Hai đờng cao AI và BE cắt nhau tại H. 1/. Chứng minh CHI = CBA . 2/. Chứng minh EI CO. 3/. Cho góc ACB = 60 0 . Chứng minh CH = CO. 6 Khai thác: 1/ CM AMON là hình thoi 2/ CM MNB đều 3/ CM KM+KB= KN Dễ thấy MNB đều Lấy E trên NK sao cho KM=KE +Dễ chứng minh được MK+KB = KN (do MEN= MKB) +KN AB; MK+KN+KB 2AB =4R "Dấu = khi K là điểm chính giữa cung MB" E H N M C O A B K Bài 16. Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn. Bài 17.Cho nửa đờng tròn tâm O có đờng kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đờng tròn (Ax, By và nửa đờng tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đờng tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đờng tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. a) Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: 2 AD BE = Rì . c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. Bài 18. Cho hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 )có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B . Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đờng tròn ở E và F . (E (O 1 ); F(O 2 )). 1. Chứng minh AE = AF 2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB (C (O 1 ); D(O 2 )).Gọi P là giao điểm của CE và FD . Chứng minh rằng: a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp đợc đờng tròn . b. Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3. Khi EF quay quanh B thì I di chuyển trên đờng nào ? Bài 19. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB bằng 2R. M là một điểm tuỳ ý trên nửa đờng tròn (M khác A và B). Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D. a) Chứng minh rằng: COD vuông . b) Chứng minh rằng: AC.BD = R 2 . c) Gọi E là giao của OC và AM; F là giao của OD và BM. Chứng minh rằng: EF = R d) Tìm vị trí M để S ABCD đạt giá trị bé nhất. Bài 20. Cho M là một điểm tuỳ ý trên nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R(M không trùng với A và B). Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz của nửa đờng tròn đó. Đờng Mz cắt Ax và By tại N và P. Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt cắt Ax tại D. CMR: a) Tứ giác AOMN nội tiếp và NP = AN+BP b) N, P là trung điểm của AD và BC c) AD.BC = 4 R 2 d) Xác định vị trí điểm M để S ABCD có giá trị nhỏ nhất Bài 21. Cho (O;R) và dây cung CD cố định có trung điểm là H. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với (O) .Đờng thẳng AB cắt các đờng SO; OH lần lợt tại E, F.Chứng minh rằng: 7 a) SEHF là tứ giác nội tiếp. b) OE.OF = R 2. c) OH.OF = OE.OS. d) AB luôn đi qua một điểm cố định khi S chạy trên tia đối của tia DC Bài 22. Cho (O;R) có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. M là điểm bất kỳ thuộc đờng kính AB (M khác O,A,B). CM cắt (O) tại N (N khác C). Dựng đờng thẳng d vuông góc với AM tại M. Tiếp tuyến với (O) tại N cắt d ở E a) CMR: OMEN nội tiếp b) OCME là hình gì? tại sao? c) CMR: CM.CN không đổi d) CMR: E chạy trên đờng thẳng cố định khi M chuyển động trên đờng kính AB (M khác A,B) Bài 23. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ; Â là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. 8 Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 24. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4.Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 OE 2 ED 2 = 5 2 3 2 ED = 4cm Bài 25 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh COD = 90 0 . 3.Chứng minh AC. BD = 4 2 AB . 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 5.Chứng minh MN AB. 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90 0 . 9 3.Theo trên COD = 90 0 nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM 2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R 2 => AC. BD = 4 2 AB . 4. Theo trên COD = 90 0 nên OC OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5.Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD 6. Theo trên AC // BD => BD AC BN CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra DM CM BN CN = => MN // BD mà BD AB => MN AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 26 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lời giải: (HD) 1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI BK hayIBK = 90 0 . Tơng tự ta cũng có ICK = 90 0 nh vậy B và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Ta có C 1 = C 2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH. C 2 + I 1 = 90 0 (2) ( vì IHC = 90 0 ). I 1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) Từ (1), (2) , (3) => C 1 + ICO = 90 0 hay AC OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH 2 = AC 2 HC 2 => AH = 22 1220 = 16 ( cm) CH 2 = AH.OH => OH = 16 12 22 = AH CH = 9 (cm) OC = 225129 2222 =+=+ HCOH = 15 (cm) Bài 28 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính 10 [...]... vuông tại A); DEB = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 90 0 ; lại có ABC là góc chung => DEB CAB 2 Theo trên DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (vì hai góc kề bù); BAC = 90 0 ( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 90 0 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai * BAC = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 90 0 nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 90 0... Theo giả thi t ABHK là hình vuông => BAH = 450 Tứ giác AEDC là hình vuông => CAD = 450; tam giác ABC vuông ở A => BAC = 90 0 => BAH + BAC + CAD = 450 + 90 0 + 450 = 1800 => ba điểm H, A, D thẳng hàng 2 Ta có BFC = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên tam giác BFC vuông tại F (1) FBC = FAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Từ (1) và (2) suy ra FBC là tam giác vuông cân... là tam giác vuông cân tại F 3 Theo trên BFC = 90 0 => CFM = 90 0 ( vì là hai góc kề bù); CDM = 90 0 (t/c hình vuông) => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đờng tròn suy ra CDF = CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC là hình vuông) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta cũng có CEB = 450 (vì AEDC là hình vuông); BKC = 450 (vì ABHK là hình vuông) Nh vậy K, E, M cùng nhìn BC dới một góc bằng... có : BEH = 90 0 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 90 0 (vì là hai góc kề bù) (1) CFH = 90 0 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 90 0 (vì là hai góc kề bù).(2) EAF = 90 0 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông) 2 Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc một đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thi t AH BC... xúc (K) 28 BAC = 90 0 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn hay EAF = 90 0 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông) 3 Theo giả thi t ADBC tại H nên AHB vuông tại H có HE AB ( BEH = 90 0 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông tại H có HF AC (theo trên CFH = 90 0 ) => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE AB = AF AC ( = AH2) 4 Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật,... QH lớn nhất Bài4 5 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K 1 Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp 2 Tính góc CHK 3 Chứng minh KC KD = KH.KB 4 Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Lời giải: 1 Theo giả thi t ABCD là hình vuông nên BCD = 90 0; BH DE tại H nên BHD = 90 0 => nh vậy... 4.Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn Lời giải: 1 Ta có: BNC= 90 0( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) => ENC = 90 0 (vì là hai góc kề bù) (1) 15 AMC = 90 0 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 90 0 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 90 0 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật... (1) Theo giả thi t Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành 14 3 Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 90 0 ( gt CD AB); DNC = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 90 0 lại có C là góc chung => OMC NDC CM CO = => => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 CD CN không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí của... Mà A1 + M1 = 90 0 ( do tam giác AHM vuông tại H) => C1 + C4 = 90 0 => C3 + C2 = 90 0 ( vì góc ACM là góc bẹt) hay OCK = 90 0 Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 90 0; OCK = 90 0 => OHK + OCK = 1800 mà OHK và OCK là hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 42 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung điểm của đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB... là hai góc kề bù => MON = 90 0 hay tam giác MON vuông tại O APB = 90 0((nội tiếp chắn nửa đờng tròn) hay tam giác APB vuông tại P Theo tính chất tiếp tuyến ta có NB OB => OBN = 90 0; NP OP => OPN = 90 0 =>OBN+OPN =1800 mà OBN và OPN là hai góc đối => tứ giác OBNP nội tiếp =>OBP = PNO Xét hai tam giác vuông APB và MON có APB = MON = 90 0; OBP = PNO => APB MON 2 Theo trên MON vuông tại O có OP MN ( OP . Tuyn tp bi tp hỡnh hc lp 9 ụn thi vo 10 THPT Bài 1 .Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho. giải: 1. Theo giả thi t ABHK là hình vuông => BAH = 45 0 Tứ giác AEDC là hình vuông => CAD = 45 0 ; tam giác ABC vuông ở A => BAC = 90 0 => BAH