CHữ Số TÂN CùNG. TìM MộT CHữ Số TậN CùNG A/ KIếN THứC CƠ BảN: 1) Tìm chữ số tận cùng của tích: + Tích các số lẽ là một số lẽ. + Tích của một số tận cùng bằng 5 với bất kỳ số lẽ nào cũng tận cùng bằng 5. + Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn. + Tích của một số tận cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận cùng bằng 0. 2) Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa: a) Tìm một chữ số tân cùng: + Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) thì vẫn có tận cùng bằng 0; 1; 5 ; 6. + Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n đều có tận cùng là 1. 3 4n = .1; 7 4n = .1; 9 4n = 1 + Các số tự nhiên có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n (n 0) đều có tận cùng là 6. 2 4n = .6; 4 4n = .6; 8 4n = 6. + Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có chữ số tận cùng bằng chính nó. B/ Ví dụ : Tìm một chữ số tân cùng: 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 74 30 ; 49 31 ; 87 32 ; 58 33 ; 23 35 . 2) CMR 8 102 2 102 Chia hết cho 10. Giải: 1) Có : 74 30 = 74 4.7 .74 2 = (6). (6) = (6); 49 31 = (.9); 87 32 = 87 4.8 = (1); 58 33 = 58 32 . 58 = 58 4.8 . 58 = (6). 58 = (8); 23 35 = 23 32 . 23 3 = (1) .(7) = (7). 2) 8 102 = 8 100 .8 2 = 8 4.25 .8 2 = (6). 64 = .4 2 102 = 2 100 .2 2 = 2 4.25 .2 2 = (6) . 4 = .4. Vậy 8 102 2 102 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10. C/ Bài Tập: 1) CMR A = 51 n + 47 102 (n N) Chia hết cho 10. 2) Chứng tỏ rằng 17 5 + 24 4 13 21 chia hết cho 10. Giải: 1) 51 n = .1 47 102 = 47 100 .47 2 = 47 4.25 .47 2 = (.1).( 9) = 9 Vậy A = .1 + .9 = .0 nên chia hết cho 10. 2) Có 17 5 + 24 4 13 21 = 17 4 .17 + (6) (13 2 ) 10 . 13 = (1).17 + (6) (9) 10 .13 = (7) + (6) ( 1). 13 = (7) + (6) ( 3) = (3) + (3) = (0). Vậy số 17 5 + 24 4 13 21 chia hết cho 10. 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n: a) 7 4n - 1 chia hết cho 10. b) 3 4n+1 + 2 chia hết cho 5. c) 2 4n+1 + 3 chia hết cho 5 d) 2 4n+2 + 1 chia hết cho 5 e) 9 2n+1 + 1 chia hết cho cả 2 và 5. 2) Tìm các số tự nhiên n để n 10 + 1 chia hết cho 10. 3) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n 2 - n chia hết cho 5. Tìm chữ số tận cùng của n? Giải: 1) a/ Có 7 4n - 1 = (1) 1 = (0) nên chia hết cho 10. b/ 3 4n+1 + 2 = 3 4n .3 + 2 = (1). 3 + 2 = (3) + 2 = 5 nên chia hết cho 5. c/ 2 4n+1 + 3 = 2 4n . 2 + 3 = (6). 2 + 3 = (2) + 3 = (5) nên chia hết cho 5. d/ 2 4n+2 + 1 = 2 4n .2 2 + 1 = (6). 4 + 1 = (4) + 1 = ( 5) nên chia hết cho 5. e/ 9 2n+1 + 1 = (9) + 1 = (0) nên chia hết cho 10. ( vì 2n + 1 là số lẽ). 2) Có n 10 + 1 chia hết cho 10 => n 10 = n 5.2 = (n 5 ) 2 có tận cùng bằng 9. => n 5 tận cùng bằng 3 hoặc 7 => n tận cùng bằng 3 hoặc 7. 3) Có n 2 n = n.(n 1) chia hết cho 5 nên n hoặc n 1 chia hết cho 5 Do đó n tận cùng là 0 ; 5 hoặc n 1 tận cùng là 0 ; 5. => n tận cùng là 0 ; 5 hoặc 1; 6 . Vì n chiahết cho 2 . Vậy n tận cùng là 0; 6. TìM HAI CHữ Số TÂN CùNG TRở LÊN A/ KIếN THứC C BảNƠ : 1) Tìm hai chữ số tân cùng: + Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76. + Các số 3 20 (hoặc số 81 5 ); 7 4 ; 51 2 ; 99 2 có tận cùng bằng 01. + Các số 2 20 ; 6 5 ; 18 4 ; 24 2 ; 74 2 ; 68 4 có tận cùng bằng 76. + Số 26 n ( n > 1) có tận cùng bằng 76. 2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên: + Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 001; 376; 625. + Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 0625. + Một số chính phơng thì không có tận cùng là 2; 3; 7; 8 B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng: a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2 100 . b) Tìm hai chữ số tân cùng 7 1991 . Giải: a) Ta có: 2 10 = 1024. Bình phơng của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76. Do đó 2 100 = (2 10 ) 10 = 1024 10 = (1024 2 ) 5 = (76) 5 = 76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100 là 76. b) 7 4 = 2401. Số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01. Do đó: 7 1991 = 7 1998 .7 3 = (7 4 ) 497 . 343 = ( 01) 497 . 343 = (01). 343 = 43. Vậy 7 1991 có tận cùng bằng 43. C/ Bài Tập: 1) Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 51 51 ; b) 6 666 ; c) 14 101 . 16 101 ; d) 99 99 99 ; e) 5 n , với n > 1 Giải: 1) a) 51 51 = (51 2 ) 25 . 51 = ( ) ( ) 25 .01 .51 .01 .51 .51= = ; b) 6 666 = (6 5 ) 133 . 6 = ( 76) 133 . 6 = (76) . 6 = 56 c) 14 101 . 16 101 = (14 . 16) 101 = 224 101 = (224 2 ) 50 .224 = (76) 50 .224 = (76) . 224 = 24; d) 99 99 2 1 2 99 99 (99 ) .99 ( .01) .99 ( 01).99 .99 k k k+ = = = = = ; e) 5 n =.25. (n > 1). . CHữ Số TÂN CùNG. TìM MộT CHữ Số TậN CùNG A/ KIếN THứC CƠ BảN: 1) Tìm chữ số tận cùng của tích: + Tích các số lẽ là một số lẽ. + Tích của một số tận cùng. có tận cùng bằng 01. + Các số 2 20 ; 6 5 ; 18 4 ; 24 2 ; 74 2 ; 68 4 có tận cùng bằng 76. + Số 26 n ( n > 1) có tận cùng bằng 76. 2) Tìm ba chữ số tân