Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình đường thẳng BC.. 2.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hµm sè y=2x −1 x+1
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I(−1;2) tới tiếp tuyến (C) M lớn
Câu II (2 điểm) :
1 Giải hệ phương trình:
2
2
1
( )
x y xy y
y x y x y
.
2.Giải phương trình : sin2x −sin 2x
+sinx+cosx −1=0
Câu III (1 điểm): Tính tích phân
3
6
cotx
I dx
sinx.sin x
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích hình chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đơi cạnh đáy nhỏ.
Cõu V (1 điểm) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt : 10x ❑2+8x+4=m(2x+1).√x2+1 .
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần 2) 1 Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
1 ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y 1 0 phân giác CD:
x y Viết phương trình đường thẳng BC.
2 Cho đường thẳng (D) có phương trình:
2 2 2 2
x t
y t
z t
.Gọi đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) I(-2;0;2) hình chiếu vng góc A (D) Trong mặt phẳng qua
, viết phương trình mặt phẳng có khoảng cách đến (D) lớn nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Víi x,y lµ số thực thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:
1
3
2 1 1
xy P
xy x y xy x y
2 Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2
( ) :C x – – 0,y x y ( ') :C x2 y24 – 0x qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C A, B sao cho MA= 2MB.
2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d d’ lần lợt có phơng trình : d : x=y −2
−1 =z vµ d’ :
x −2
2 =y −3=
z+5 1
Viết phơng trình mặt phẳng () qua d tạo với d góc 300 Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh
1
2
3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
(2)Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010
Hớng dẫn chấm môn toán
Cõu Phn Nội dung
I
(2,0) 1(1,0)
Làm đỳng, đủ cỏc bước theo Sơ đồ khảo sỏt hàm số cho điểm tối đa. 2(1,0) Tập xác định : x ≠ −1
y=2x −1
x+1 =2−
3
x+1 ,
x+1¿2 ¿ y '=3
, Bảng biến thiên:
Tiệm cận đứng : x=−1 , tiệm cận ngang y=2
2 NÕu M(x0;2−
3
x0+1)∈(C) th× tiÕp tuyến M có phơng trình
x0+1
¿ ¿ y −2+
x0+1=
3
¿ hay
x0+1¿
(y −2)−3(x0+1)=0 3(x − x0)
Khoảng cách từ I(1;2) tới tiếp tuyÕn lµ
x0+1¿
¿ x0+1¿2
¿ x0+1¿2
¿ ¿
9
¿
√¿
9+¿
√¿
d=|3(−1− x0)−3(x0+1)|
√9+(x0+1)4
=6|x0+1| ¿
Theo bất đẳng thức Côsi
x0+1¿
¿ x0+1¿
2
≥2√9=6 ¿
9
¿
, v©y d 6 Khoảng cách d lớn
6
x0+1¿2
¿
x0+1¿2⇔(x0+1)2=3⇔x0=−1±√3 ¿
9
¿
(3)
Câu Ý 1
1) CâuII:2 Giải phương trình:
2 sin2x −sin 2x
+sinx+cosx −1=0⇔2sin2x −(2 cosx −1)sinx+cosx −1=0
2cosx −3¿2
2 cosx −1¿2−8(cosx −1)=¿ Δ=¿
VËy sinx=0,5 hc sinx=cosx −1
Víi sinx=0,5 ta cã x=π
6+2kπ hc x=
5π
6 +2kπ
Víi sinx=cosx −1 ta cã sinx −cosx=−1⇔sin(x −π
4)=−
√2
2 =sin(−
π
4) , suy
x=2kπ hc x=3π
2 +2kπ
2
Dễ thấy y0, ta có:
2
2
2 2
2
4
( )
( )
x
x y y
x y xy y
y x y x y x
x y y Đặt 1 , x
u v x y
y
ta có hệ: 2
4 3,
2 15 5,
u v u v v u
v u v v v u
+) Với v3,u1ta có hệ:
2 1 1 2 0 1, 2
2,
3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
.
+) Với v5,u9ta có hệ:
2 2
1 9 46
5 5
x y x y x x
x y y x y x
, hệ vô nghiệm.
KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y
Câu Phần III (1,0) Tính 3 6 cot cot
sinx sinx cos sin x sin
4 cot
sin x cot
x x
I dx dx
x x x dx x
Đặt 1+cotx=t
1
sin xdx dt
Khi
3 1 3;
6 3
(4)V y ậ
3 3 1
3 3
3
1
2 ln ln
3 t
I dt t t
t
IV
Gọi H, H’ tâm tam giác ABC, A’B’C’ Gọi I, I’ trung điểm AB, A’B’ Ta có:
' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
Suy hình cầu nội tiếp hình chóp cụt tiếp xúc với hai đáy H, H’ tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) điểm '
K II .
Gọi x cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x cạnh đáy lớn Ta có:
1 3
' ' ' ' ' ;
3 3
x x
I K I H I C IK IH IC
Tam giác IOI’ vuông O nên:
2 3 2
' 6r
6
x x
I K IK OK r x
Thể tích hình chóp cụt tính bởi: 3 ' ' h
V B B B B
Trong đó:
2 2
2
4x 3 6r 3; ' 3r 3; 2r
4
x
B x B h
Từ đó, ta có:
2
2
2r 3r 3r 21r
6r 6r
3 2
V
V Nhận xét : 10x ❑2+8x+4 = 2(2x+1)2 +2(x2 +1) Phơng trình tơng đơng với : ( 2x+1
√x2+1
¿2−m(2x+1
√x2+1
)+2=0 Đặt 2x+1
x2
+1
=t §iỊu kiƯn : -2< t √5 Rót m ta cã: m= 2t
2
+2 t
Lập bảng biến thiên hàm số ¿ , ta có kết m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: -5 < m<−4
(5)Điểm C CD x y : 0 C t ;1 t Suy trung điểm M AC
1 ;
2
t t
M
Điểm
1
: 2 7;8
2
t t
MBM x y t C
Từ A(1;2), kẻ AK CD x y: 1 0 I (điểm K BC ). Suy AK:x1 y 2 0 x y 1 0
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
0;1
x y
I x y
Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK tọa độ K1;0 . Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình:
1
4
7
x y
x y
2
Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng , ( ) //( )P D ( )P ( )D Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH AH
Mặt khác
, ,
d D P d I P IH
H P
Trong mặt phẳng P , IH IA; maxIH = IA H A Lúc (P) vị trí (P0) vng góc với IA A. Vectơ pháp tuyến (P0) n IA 6;0; 3
, phương với v2;0; 1
. Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2x 41.z1 2x - z - = 0.
VIIa
+ Ta cã :
(*)
2
xy x y
xy x y
(6)Đúng với x,y thuộc 0;1 Khi
1 1
1(1)
2 1
xy x y
xy x y x y x y
+ V× x y; 0;1 0xy1
2
1 1(2)
1 xy
xy
+Tong tù:
3
3
0 1(3)
1
x y x y
x y
Tõ (1);(2);(3) Ta cã : P3 VËy , MinP=3 x=y=1 VIb
1) + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0)
1, '
R R , đường thẳng (
2
( 1) ( 0) 0, ( 0)(*)
a x b y ax by a a b .
+ Gọi H, H’ trung điểm AM, BM.
Khi ta có: MA2MB IA2 IH2 2 I A' 2 I H' '2
2
1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]
,
IA IH
2
2
2 2
9
4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 a b 35
a b a b
2
2
2
36
35 36
a b
a b
a b
Dễ thấy b0 nên chọn
6
6
a b
a .
Kiểm tra điều kiện IA IH thay vào (*) ta cú hai ng thng tho món.
2 Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) có vectơ phơng u(1;1;1)
Đờng thẳng dđi qua điểm M '(2;3;5) có vectơ phơng u '(2;1;1)
Mp () phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u |cos(n ;u ')|=cos 600=1
2
¿
A − B+C=0
|2A+B− C|
√6√A2+B2+C2 =1
2
¿{
¿
⇔
B=A+C A+C¿2+C2
¿ ¿⇔
¿ ¿B=A+C
¿ ¿ A2
+¿
2|3A|=√6√¿
Ta cã 2A2−AC−C2=0⇔(A −C)(2A+C)=0 VËy A=C hc 2A=−C
Nếu A=C ,ta chọn A=C=1, B=2 , tức n=( 1;2;1) mp(α) có phơng trình
x+2(y −2)+z=0 hay x+2y+z −4=0
Nếu 2A=−C ta chọn A=1, C=−2 , B=−1 , tức n=(1;−1;−2) mp(α)
x − y −2z+2=0
VIIb 1,00
Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên:
a b c b c a c a b
(7)Đặt , , , , 0 , ,
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
. Vế trái viết lại:
2
3
a b a c a
VT
a c a b a b c
x y z
y z z x x y
Ta có:
2
2 z z
x y z z x y z z x y
x y z x y
.
Tương tự:
2
;
x x y y
y z x y z z x x y z
Do đó:
2
2 x y z
x y z
y z z x x y x y z
.
Tức là:
1
2
3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b